1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= 的定义域为( )（A）(0 ，1)（B） (0，2)（C） (0，1) (1，2)（D）(0 ，1)(1，22 设 f(x)=ln( -x)，则 f(x)为( )（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）无法判定3 x=0 是函数 f(x)=sinxsin 的( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点4 已知当 x0 时， -1 与 sin2x 是等价无穷小，则 a=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 若 (x)=( )（A）1（B
2、） 2（C） -1（D）-26 设 f(x)=0x(3t2+2t+1)dt，则 =( )（A）6x 2+4x+2（B） 6t2+4t+2（C） 3x2+2x+1（D）3t 2+2t+17 已知 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限存在但不连续（B）连续但不可导（C）可导（D）可导，且导数也连续8 函数 f(x)=x3-3x2-9x 的区间-3，6 上的最大值为( )（A）34（B） 54（C） 44（D）249 对于曲线 y=f(x)，在(a ，b)内 f(x)0，f“(x)0，则曲线在此区间( )（A）单调下降，凸（B）单调上升，凸（C）单调下降，凹（D）单调上升，凹10
3、函数 f(x)=0x dt 在0，1上的最小值为 ( )（A）1（B） 2（C） 0（D）-111 曲线 在 t=4 处的法线方程为( )12 设 f(x)为连续函数，则 f(2t)dt=( )（A）f(2x 2)（B） x2f(2x2)（C） 2xf(x2)（D）2xf(2x 2)13 设 f(x2)=1x，则 f(x)=( )14 若 f(0)=0， =2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）导数存在且 f(0)0（B）取得极大值（C）取得极小值（D）导数不存在15 0ke2xdx=32，则 k=( )（A）ln2（B） -ln2（C） 1-ln2（D）216 在下列广义积分中，收敛的是
4、( )17 已知 a，b ，c 两两垂直， |a|=1，|b|=2 ，|c|=3 ，则 |a+b+c|=( )（A）36（B） 14（C）（D）18 直线 与平面 3x-4y+7z-10=0 的位置关系是( )（A）平行（B）垂直（C）斜交（D）直线在平面内19 设 z=arctan =( )（A）5（B） 537（C） 37（D）323720 设区域 D 由 y=x2，x=y 2 围成，则 D 的面积为( )（A）13（B） 23（C） 1（D）121 I=01dy 3x2y2dx，则交换积分次序后得，I=( )22 已知 I=Lyds，其中 L 是由抛物线 y2=4x(y0) ，直线 x=
5、1 和 y=0 围成的闭曲线，则 I=( )23 下列命题正确的是( )24 设 f(x) 0x(t)dt=1，x0 则 f2(x)的一般表达式为 ( )25 曲线 f(x)=xsin ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有垂直渐近线（C）既有水平渐近线也有垂直渐近线（D）水平、垂直渐近线都无26 设函数 f(x)与 g(x)，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( )（A）f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)（B） f(-x)+g(x)=-f(x)+g(x)（C） f(-x)g(-x)=f(x)g(x)（D）f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)27 设把半径为 R 的球加热
6、，如果球的半径伸长R，则球的体积近似增加( )（A） R2R（B） 4R2R（C） 4R（D）4R R28 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为 ( )（A）x+sinx（B） x-sinx（C） x+cosx（D）x-cosx29 曲线 的拐点个数为( )（A）有一个拐点（B）有两个拐点（C）有三个拐点（D）没有拐点30 设曲线积分 Cxy2dx+y(x)dy 与积分路径无关，其中 (x)具有连续导数，且 (0)=0，则 (0，0) (1，1) (1，1)xy 2dx+y(x)dy 等于( )（A）38（B） 12（C） 34（D）1二、填空题31 设 f(x)= ，
7、则复合函数 f(f(x)=_32 设 f(x)=ln(x-1)+2，则其反函数 f-1(x)_33 设 =e-3，则 k=_34 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_35 曲线 y=1+ 的渐近线有_36 函数 F(x)=0xt2(t-1)dt 的极小值点 x 为_37 设 y+lny-2xlnx=0 确定函数了 y=y(x)，则 y=_38 定积分 -11(x+ )2dx=_39 过点(3 ，2，1) 且与向量 a=1，2，3 平行的直线方程为 _40 设 f(x)=xex，f (n)(x)=_41 设 f(x)=-f(-x)，且在(0，+) 内，f“(x)0，则曲线 y=f(
8、x)在(-，0)内的凸凹性为_42 幂级数 的和函数为_43 设 z= =_。44 微分方程 y“+3y+2y=e2x 的特解形式可设为 y*=_45 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 已知函数 y=y(x)由方程 exy+ysinx=cos2x 确定，求 dydx48 设 y=y(x)由方程 y=x(sinx)cosx 确定，求 y49 计算广义积分 1+ dx50 51 计算 x2dxdy 其中区域 D 为 1x2+y2452 C 其中曲线 C 为 x2+y2=a2 正向53 将函数 f(x)= 展开成(x-1)的幂级数，并指出收敛区间四、综合题54 用 a 元钱购料，建造
9、一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的 12 倍，求水池的长与宽各多少米，才能使水池的容积最大?54 由曲线 y=x3 和直线 x=2，y=0 围成一平面图形，试求：55 该平面图形的面积；56 该平面图形绕 Y 轴旋转一周形成的旋转体体积五、证明题57 证明：当 0x2 时， sinx+tanx2x湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 要使函数有意义，须 ，求解得：0x1 或1x2故选 D2 【正确答案】 B【试题解析】 所以 f(x)为奇函数3 【正确答
10、案】 B【试题解析】 显然 x=0 是 f(x)=sinxsin 的间断点由于=0，故 x=0 是 f(x)的可去间断点4 【正确答案】 B【试题解析】 =1，故 a=25 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)= 0x(3t2+2t+1)dt=2f(x)=2(3x2+2x+1)=6x2+4x+27 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)= 在 x=0 处有定义，故而连续但 f(x)= f(x)在x=0 无意义，所以 f(x)=在 x=0 处不可导8 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=x 3-3x2-9x，f(x)=3x 2-6x-9， 令 f(x)=0
11、 有 x=3，x=-1而 f(3)=-27，f(1)=5， f(-3)=27，f(6)=54 故 f(x)在-3 ，6上的最大值为 549 【正确答案】 A【试题解析】 由定理可知 f(x)0，f(x) 单减；f“(x)0，f(x)凸10 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= 0x 0，x0，1故 f(x)在0，1上单调递增所以 f(0)=0 为最小值11 【正确答案】 B【试题解析】 曲线方程为 ，t=4 对应切点坐标为 切线斜率 k=-1则法线斜率 k=1所以法线方程为 y-即 y=x12 【正确答案】 D【试题解析】 f(2t)dt=f(2x2)2x13 【正确答案】 C【试题解析】
12、 14 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f(0)=0， =2故存在 x=0 的一个邻域 U，对任意 xU，有 =20当 x0 时，f(x)f(0) ；当 x0 时，f(x)f(0)所以 f(x)在 x=0 处取得极小值15 【正确答案】 A【试题解析】 0ke2xdx= 所以 e2x=4=eln4，2k=ln4 ，k=ln2 16 【正确答案】 B【试题解析】 由公式 1+ (p0)，当 p1 时收敛，p1 时发散，可知 1+ 收敛当然，也可逐个积分找出收敛的17 【正确答案】 C【试题解析】 由 a，b ，c 两两垂直，|a|=1，|b|=2， |c|=3则|a+b+c|18 【正确答案
13、】 C【试题解析】 直线的方向量为1，-2，9 平面的法向量为 3，-4 ，7它们对应坐标不成比例，所以不平行即直线不垂直于平面；它们的点积也不等于零所以不垂直，即直线与平面不平行总之，直线和平面斜交19 【正确答案】 B【试题解析】 20 【正确答案】 A【试题解析】 首先画出积分区域图 D，如图所示求出， y=x2，x=y 2 的交点(0，0)，(1，1)在0，1区间上曲线 x=y2 在曲线 y=x2 之上故21 【正确答案】 C【试题解析】 首先根据二次积分 I=01dy 3x2y2dy 画出积分区域 D 的图形：顶点在(0 ，1) ，开口向下，与 x 轴交于-1，1抛物线和 y 轴，x
14、 轴围成的在第一象限部分由于原二次积分是把 D 看做 Y 型，现在把 D 看做 x 型，则I=01dx 3x2y2dy22 【正确答案】 A【试题解析】 积分曲线由三部分组成 AB：23 【正确答案】 D【试题解析】 有限项，因此它们的敛散性相同24 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x) 0xf(t)dt=1， 0xf(t)ddt= ，两边对 x 求导，f(x)=-，f(x)=-f 3(x)分离变量，f -3(x)df(x)=-dx，两边积分，有f -3(x)df(x)=-dx，得 f-2(x)=2x+C，故 f2(x)=25 【正确答案】 A【试题解析】 有水平渐近线 y=1 =0，所
15、以无垂直渐近线26 【正确答案】 D【试题解析】 由于只是知道 f(x)和 g(x)中一个为偶函数，一个为奇函数，并不清楚具体哪一个是什么函数所以只有 f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)恒成立27 【正确答案】 B【试题解析】 V= R3，则 VVR=4R2R28 【正确答案】 B【试题解析】 因为(x-sinx)“=sinx 所以 x-sinx 是 f(x)的原函数29 【正确答案】 C【试题解析】 得 t=-1，t=1而 t=0 二阶不可导点易知在(-，+1)上 y“0在(-1，0)上 y“0，在(0，1)上 y“0，在(1，+)上 y“0，故知曲线有三个拐点30 【正确答案】 B【
16、试题解析】 因为曲线积分 Cxy2dx+y(x)dy 与路径无关，所以 即 y(x)=2xy 又 (0)=0，可得 (x)=x2 即曲线积分为 I=(0， 0)(1，1) xy2dx+yx2dy我们设计线路为 A(0，0)B(1，0)C(1，1)则 I=AB+BC=0+01ydy=12二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x)= ，(x-2)32 【正确答案】 y=e x-2+1【试题解析】 因函数为：y=ln(x-1)+2，故其反函数为：y=e x-2+133 【正确答案】 【试题解析】 34 【正确答案】 2【试题解析】 35 【正确答案】 y=1 及 x=-1【试题解析】
17、因 y=1+，于是曲线又有垂直渐近线：x=-1 36 【正确答案】 x=1【试题解析】 因 F(x)=0x(t-1)dt，于是 F(x)=x2(x-1)，令 F(x)=0 得驻点x=0，x=1；于是， x0 时，F(x)0；0x1 时，F(x)0；x1 时，F(x)0；故 F(x)在 x=1 处取得极小值，极小值点为 x=137 【正确答案】 【试题解析】 因 y+lny-2xlnx=0，令 F(x，y)=y+lny-2xlnx，38 【正确答案】 4【试题解析】 39 【正确答案】 【试题解析】 因直线与向量 a=1，2，3平行，故向量口即为直线的方向向量；又直线过点(3 ，2，1) ，故由
18、标准方程可得直线的方程为：40 【正确答案】 (x+n)e x【试题解析】 因 f(x)=xex，于是 f(x)=ex+xex=(x+1)ex，f“(x)=ex+(x+1)e x=(x+2)ex，f(x)=e x+(x+2)ex=(x+3)ex，f (n)(x)=(x+n)ex41 【正确答案】 凸的【试题解析】 因 f(x)=-f(-x)，所以函数 y=f(x)为奇数，曲线 y=f(x)关于坐标原点对称；又在(0 ，+)内，f“(x)0，进而曲线为凹的；由对称性知，在(-，0)内，曲线 y=f(x)是凸的42 【正确答案】 e -x(-x+)【试题解析】 因 ex= 故 =e-x，(-x+)
19、43 【正确答案】 【试题解析】 44 【正确答案】 y *=Ae2x(A 为待定常数)【试题解析】 因方程的特征方程为：r 2+3r+2=0，故有特征根： r1 =-2，r 2=-1；又方程的自由项 f(x)=e2x，=2 不是特征根，故微分方程的特解可设为：y * =Ae2x(A为待定常数)45 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 方程两端 y 对 x 求导e xy(y+xy)+ysinx+ycosx=-2sin2x 所以 y=48 【正确答案】 lny=lnx+cosxlnsinx 两端 y 对 x 求导得：49 【正
20、确答案】 50 【正确答案】 51 【正确答案】 52 【正确答案】 曲线 C 的参数方程为 所以 C02(acost+asint)(-asint)-(acost-asint)acostdt=-253 【正确答案】 因 f(x)= 又=1+x+x2+xn+，|x| 1即，收敛区间为(-1，3)四、综合题54 【正确答案】 设长方体水池的长为 x，宽为 y，并设底面单位面积材料费为 m元；由题意：xy+2(xy+y 2)12m=a；而长方体水池的容积为：V=xy 2该题即求 V=xy2 在条件 xy+2(xy+y 2)12= m 下的条件极值令 F(x，y，)=xy2+(34xy+24y 2-
21、)=0 又由题意可知，当长方体的长为时，水池的容积最大55 【正确答案】 曲线 y=x3 与直线 x=2，y=0 围成的平面图形如图：所求平面图形的面积为：S= 02x3dx=4(平方单位)56 【正确答案】 该平面图形绕 y 轴旋转形成的旋转体的体积为：V=2 28-08(立方单位) 五、证明题57 【正确答案】 设 f(x)=sinx+tanx-2x，则在 0x 2 内 f(x)=cos+ -2=cosx-cos2x+cos2x+ -2=cosx(1-cosx)+(cosx+ )2 0 所以 f(x)单增，x0，则 f(x)f(0)=0，故 sinx+tanx2x，显然 x=0 时，sinx+tanx2x于是 0x2 时，sinx+tanx2x
