1、2014 年 10 月全国自考高等数学（工本）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 平面 2x 一 3y+z 一 1=0 的法向量为 ( )（A）2 ，3，一 1（B） 4，一 6，2（C） 一 2，一 3，一 1（D）2 ，3， 12 设函数 f(x， y)=(x)g(y)在点(x 0，y 0)的某邻域内有定义，且存在一阶偏导数，则fx(x0，y 0)= ( )3 设积分区域 D：1x 2+y24，则二重积分 ( )（A）（B） 2（C） 3（D）44 微分方程 y“=sinx 的通解是
2、 y= ( )（A）sinx+C 1x+C2（B） sinx+C1+C2（C）一 sinx+C1x+C2（D）一 sinx+C1+C25 设无穷级数 发散，则在下列数值中 p 的取值为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 a=2，1，2，b= 一 1，3，5，则 a.(2b)=_7 函数 f(x，y)= +ln(x2+y2 一 1)的定义域是 _8 设积分区域 D：0x2，|y|1，则二重积分9 微分方程 y“+y=e-2x 的特解 y*=_10 已知无穷级数 ，则 un=_三、计算题11 求过点 A(一 2，1，
3、4)及点 B(6，一 5，7)的直线方程12 求函数 z=e2ycos3x 的全微分 dz13 求曲面 z=3xy 在点 处的切平面方程14 求函数 f(x，y)= 的梯度 gradf(x，y) 15 计算二重积分 其中 D 是由 y=x，=2 及 xy=1 所围成的区域16 计算三重积分 ，其中 是由 x2+y2=1，z=0 及 z=1 所围成的区域17 计算对弧长的曲线积分 C(x2y 一 2)ds，其中 C 为从点 A(一 2，1)到 B(1，1)的直线段18 计算对坐标的曲线积分 C(y2 一 xy)dy，其中 C 为抛物线 y=x2 上从点 A(一 1，1)到点 B(1，1)的一段弧
4、19 求微分方程 =e3x-2y 的通解20 求微分方程 y“+2y+2y=0 的通解21 判断无穷级数 的敛散性22 已知 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在一 ，) 上的表达式为求 f(x)傅里叶级数 (ancosnx+bnsinnx)中的系数 b4四、综合题23 求函数 f(x，y)=14x+32y 一 8xy 一 2x2 一 10y2 一 26 的极值24 证明对坐标的曲线积分 C(3x2y+8xy2 一 20)dx+(x3+8x2y+14)dy 在整个 xOy 面内与路径无关25 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数2014 年 10 月全国自考高等数学（工本）真题试卷答案与
5、解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 平面 2x 一 3y+z 一 1=0 的法向量为 n=2，一 3，1，所以4，一6，2也是其法向量2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域 D：1x 2+y24，如图所示，则二重积分=2d12rdr=34 【正确答案】 C【试题解析】 y“=sinx,则 y=y“dx=sinxdx=-cosx+C1 y=ydx=(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C25 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空
6、题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 22【试题解析】 a.(2b)=2a.b=22( 一 1)+13+25=227 【正确答案】 1x 2+y24【试题解析】 由题意知 得 1x 2+y248 【正确答案】 【试题解析】 积分区域 D：0x2，|y|1，则9 【正确答案】 【试题解析】 齐次微分方程 y“+y=0 的特征方程 r2+1=0，显然 =一 2 不是特征方程的根，则设特解 y*=Ae-2xy*“=4Ae -2x，代入原微分方程得 5Ae-2x=e-2x,10 【正确答案】 【试题解析】 三、计算题11 【正确答案】 直线过点 A(一 2，1，4)和
7、B(6，一 5，7)，则其方向向量 n=(8，一 6，3) ，则直线方程为 =t，化简得直线方程为12 【正确答案】 z=e 2ycos3x，z x=一 3e2ysin3x，z y=2e2ycos3x，则 dz=zxdx+zydy=一 3e2ysin3xdx+2e2ycos3xdy13 【正确答案】 F(x，y，z)=z3xy，则 Fx=-3y，F y=一 3xF z=1，则所以法向量 n=(一 1，一 3，1)，所求切平面方程为一 1(x 一 1)一 3 +1(z 一 1)=0，即 x+3yz 一 1=014 【正确答案】 15 【正确答案】 积分区域 D 如图所示=12 一 4x+4x3d
8、x=(-2x2+x4)|12=916 【正确答案】 积分区域如图示在柱面下的积分区域：0r1，02，0z1 ，17 【正确答案】 C 为直线 y=1，则 C 的参数方程 所以C(x2y 一 2)ds=-21(x2 一 2)dx=一 3.18 【正确答案】 曲线 C 的方程为 y=x2，则 dy=2xdx，于是 C(y2 一 xy)dy=-11(x4 一x3)2xdx=19 【正确答案】 ，得 e2ydy=e3xdy,两边同时程分得e 2ydy=e3xdx，则20 【正确答案】 微分方程 y“+2y+2y=0 的特征方程为 r2+2r+2=0， 解之得 r1,2=一1i，所以微分方程的通解为 y
9、=e-x(C1cosx+C2sinx)21 【正确答案】 22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 求对 x，y 的偏导数得 fx=148y 一 4x，f y=32-8x-20y，二阶偏导数 A=fxx(x0，y 0)=一4，B=f xy=一 8，C=f yy=一 20， =B2-AC=-160 则点 是函数的极值点，A0，此驻点为极大值点，代入函数得极大值为24 【正确答案】 P=3x 2y+8xy2 一 20，Q=x 3+8x2y+14，25 【正确答案】 已知 =1 一 x+x2+(一 1)nxn+(一 1x1)，用 2x 代替 x得 =12x+(2x)2+(一 1)n(2x)n+=12x+4x2+(一 2)nxn+(一1x1)
