1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 17 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 f(x，y)= 的定义域是 ( )（A）(x，y)| 4x 2+y29)（B） (x，y)|2x 2+y23)（C） (x，y)| 4x 2+y29)（D）(x，y)|2x 2+y23)2 过点(2 ，4，一 2)且垂直于平面 2x 一 3yz+2=0 的直线方程是 ( )3 设积分区域 D：x=1，x=一 1，y=0，y=2，则二重积分 的值 ( )（A）大于零（B）等于零（C）小于零（D）不确定4 设 C
2、 是直线 2x+y=4 由点(0，4)到(2 ，0)的一段，则 Cydx= ( )（A） 04(42x)dx（B） 40(42x)dx（C） 02(4-2x)dx（D） 20(42x)dx5 方程 的通解加上 ( )（A）一个常数（B）（C）一个任意常数（D）二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 z=(1+xy)x，则7 8 设 是由曲面 x2+y2=2z 及平面 z=2 所围成的闭区域，则 (x2+y2)dv=_9 微分方程 y“一 2y+y=2ex 的一个特解为 y*=_10 将函数 f(x)=|x|在一 ， 上展开成傅里叶级数，则傅里叶系数 bn=_三、计算
3、题11 求经过点 A(-2，一 1， 2)，且垂直于直线段 AB 的平面方程，点 B 的坐标是B(0，一 2，5)12 求抛物面 z=x2+4y2 在点(0，1，2)处的切平面方程13 设函数 求全微分 dz14 求螺旋线 x=acos ，y=asin,z=b 在点(a，0，0)处的切线和法平面方程15 计算二重积分 (xy)dxdy，其中 D 是由 x+y=一 1，x=0，y=0 所围成的区域16 计算三重积分 ， 由旋转抛物面 z=x2+y2 及平面 z=1 围成17 求 (x2+y2+2z)ds，其中 L 为球面 x2+y2+z2=1 与平面 x+y+z=0 的交线18 计算对坐标的曲线
4、积分 L(x22xy)dx+(y2 一 2xy)dy，其中 L 为图中的有向折线ABO19 计算 y2dzdx，其中是曲面 的上侧20 求满足初始条件特解： y“+4y+13y=0 ，y| x=0=0，y| x=0=621 计算幂级数的收敛区间：幂级数 anxn 的收敛半径为 222 判断无穷级数 的敛散性四、综合题23 求 x+2x2+3x3+nxn+的和函数(一 1x1) 24 平面图形由曲线 与直线 x=1 及 y=0 组成，求其绕 x 轴旋转而成的立体图形的体积25 设 f(x)在a，b上连续且恒大于零试利用二重积分证明全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 17 答案与解析一、单项选
5、择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x，y)= 的定义域应满足下列不等式综上所述函数 f(x，y)的定义域为(x，y)|4x 2+y292 【正确答案】 B【试题解析】 平面的法向量 n=2，一 3，一 1，因为直线垂直于该平面故该直线的方向向量 vn 故取 v=2,-3，-1因此育线的方程为3 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D：x=1，x=一 1，y=0，y=2( 如右图所示)，区域 D 关于y 轴对称，被积函数 f(x，y)=x 是关于 y 的奇函数，故原积分为零
6、4 【正确答案】 C【试题解析】 把 C 写成 y=42x，当 C 由点(0， 4)变到(2，0)时，x 从 0 变到 2，于是曲线积分 Cydx=02(42x)dx5 【正确答案】 D【试题解析】 非齐次微分方程的通解即为其对应的齐次方程的通解加上原方程的一个特解二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 1+2ln2【试题解析】 令 1+xy=u，x=v，则 故=vuv-1.y+uvlnu.1=xy(1+xy)x-1+(1+xy)x.ln(1+xy)，7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 x 2ex【试题解析】
7、f(x)=2e x 属于 exPm(x)型(m=0，=1)，原非齐次微分方程对应的齐次微分方程特征方程为 r2 一 2r+1=0，其特征根为 r1=r2=1，故 =1 是对应齐次方程的特征根，且为二重根，因此设特解为 y=b0x2ex，代入微分方程得 2b0ex=2ex，故b0=1，于是原微分方程的一个特解为y*=x 2ex,10 【正确答案】 0【试题解析】 由于 f(x)=|x|为偶函数，故傅里叶系数 bn=0三、计算题11 【正确答案】 本题考查平面方程的求解由于所求平面垂直于直线段 AB，所以其法向量可取为 =2，一 1，3 ，又平面过点 A(一 2，一 1，2)，因此其点法式方程为
8、2(x+2)-(y+1)+3(z 一 2)=0，即 2xy+3z 一 3=012 【正确答案】 z x=2x，z y=8y，z x(0，1)=0 ，z y(0，1)=8 ，故取法向量 n=0，8，一1，故切平面方程为 0.(x 一 0)+8(y1)一(z2)=0，即 8yz=613 【正确答案】 14 【正确答案】 =(一 asin，acos ，b)| (a,0,0)=(0，a，b)，切线方程为： 法平面方程为：ay+bz=015 【正确答案】 积分区域 D，如右图所示，于是16 【正确答案】 在平面投影为 x2+y2=1，从而 在 Oxy 平面投影为Dxy：x 2+y21，于是17 【正确答
9、案】 18 【正确答案】 L(x2 一 2xy)dx+(y2 一 2xy)dy=AB(x2 一 2xy)dx+(y2 一 2xy)dy+BO(x2一 2xy)dx+(y2 一 2xy)dy，因在 AB 段 dy=0，y=1，在 BO 段 dx=0，x=0故原式=AB(x2 一 2xy)dx+BO(y2 一 2xy)dy=AB(x2 一 2x)dx+BOy2dy=10(x2 一 2x)dx+10y2dy=19 【正确答案】 为曲面 即 x2+y2+z2=1(z0)的上侧，将 分成左右两片：= 1+2，其中 1 的方程为 (z0，y0)，取右侧； 2 的方程为 (z0，y0)，取左侧； 1 和 2
10、 在 Oxz 面上的投影均为半圆形区域：D xz=(x，z)|x 2+z21，z0，于是20 【正确答案】 特征方程为 2+4+13=0， 特征根为 1=一 2+3i， 2=一 23i， 故原方程的通解为 y=e -2x(C1cos 3x+C2sin 3x) 则 y=一 2e-2x(C1cos 3x+C2sin 3x)+e-2x(一 3C1sin 3x+3C2cos 3x)， 把 y|x=0=0，y| x=0=6 代入解得 C 1=0，C 2=2 故所求特解为 y=2e -2xsin 3x21 【正确答案】 故由级数收敛的逐项可导性的性质知 收敛半径相同，均为 2，由|x 一 1|2得，一 1x322 【正确答案】 由比值判别法知，原级数收敛四、综合题23 【正确答案】 令和函数为 s(x)，则 s(x)=x+2x2+3x3+nxn+=x(1+2x+3x2+nxn-1+) =x(x+x2+x3+xn+)=24 【正确答案】 25 【正确答案】 其中 D=(x，y)|axb，ayb)，于是
