1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 20 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 y=4-x2 的值域是（A）(0 ，+)（B） (，+)（C） 0，1（D）(0 ，12 设 f(x)=lnx，且函数 (x)的反函数 -1(x)= ， f(x)=3 =（A）e 2（B） e（C） 1（D）24 当 x0 时，与 等价的无穷小量是（A）x（B） 2x（C） x2（D）2x 25 设 y=f(x0+x)f(x 0)且函数 f(x)在 x=x0 处可导，则必有（A） y=0（B） y=0（C） dy=0
2、（D）y=dy6 设函数 f(x)= 则 f(x)在点 x=1 处（A）不连续（B）连续但左、右导数不存在（C）连续但不可导（D）可导7 设产品的利润函数为 L(x)，则生产 x0 个单位时的边际利润为8 设 (x)dx=e-x2+C，则 f(x)=（A）xe -x2（B） xe-x2（C） 2e-x2（D）2e -x29 =（A）0（B） 1（C） 1（D）10 下列广义积分中，发散的是二、计算题（一）11 求极限12 问 a 为何值时，函数 f(x)= 连续13 已知某 f 生产 x 件产品的成本为 C=25 000+200x+ x2 元,若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产
3、多少件产品?14 求不定积分 .15 设 z(x，y)是由方程 x2+y2+z2=4z 所确定的隐函数，求 dz三、计算题（二）16 设 f(x)= 指出 f(x)的间断点，并判断间断点的类型17 设 y=arctan 求 y18 已知函数 f(x)= x2+lnx，求函数 f(x)在区间1， e上的最大值、最小值19 设 y=ex 是微分方程 xy+p(x)y=x 的个解，求此微分方程满足条件 yx=ln2=0 的特解20 求圆域 x2+(yb) 2a2(其中 ba)绕 x 轴旋转而成的立体的体积四、应用题21 要做个容积为 V 的圆柱形容器(有盖)，问此圆柱形的底面半径 r 和高 h 分别
4、为多少时，所用材料最省?21 已知某商品的需求函数是 x=1255p(其中 x 为产量，p 为价格)，总成本函数是C=100+x+x2，且生产的商品能全部出售，求：22 使利润最大时的产量；23 利润最大时，商品的需求弹性及商品的售价23 已知曲线 y=x2，求24 曲线上当 x=l 时的切线方程；25 求曲线 y=x2 与此切线及 x 轴所围成的平面图形的面积25 设由抛物线 y=x2 与 y=2x 2 所围成的平面图形，试求：26 此平面图形的面积；27 此平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积全国自考（高等数学一）模拟试卷 20 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一
5、个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 函数 y=4-x2= ,因为 0x2+，有 14x2+，从而：0 1,即函数 y=4-x2 的值域为(0，12 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=-1(x)= 所以 yxy=2x+2，即 x(y2)=y+2 ，故 x=即 (x)= 所以 f(x)=ln3 【正确答案】 C【试题解析】 =e0=14 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =1所以当 x0 时， 与x 是等价无穷小量5 【正确答案】 A6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =2 (3x1)=2，又 f(1)=2，所以=
6、f(1)，即 f(x)在 x=1 处连续.又因为 =4=f (1)，=3=f + (1) f(x)在 x=1 处左、右导数均存在但不相等，故不可导.7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D9 【正确答案】 A【试题解析】 =010 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A： =：选项 B： ；选项 C：=1;选项 D： =e-1二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 因为 f(x)在( ，a) (a ，a)(a,+)上是初等函数，因此只要f(x)在 x=a 处连续，f(x)就是连续函数由 f(a)=a2+1, (x2+1)=a2+l，得 a2+1= 解得 a=1在 x=a 处亦可
7、得同样的结果，所以当a=1 时 f(x)是连续函数13 【正确答案】 利润函数为 L=500x(25 000+200x+ )=300x 25 000,由L=300 =0，得 x=6 000因 L14 【正确答案】 原式= xdtanx=xtanx tanxdx=xtanx+lncosx+C15 【正确答案】 方程两边对 x 求偏导数，有 2x+2z (42z) =2x,解得,同理可得 ,所以 dz= .三、计算题（二）16 【正确答案】 x=1 为间断点，x=0 可能是间断点在 x=1 处，因为=e =0 =.所以 x=1 是 f(x)的第二类间断点在 x=0 处：因为=0所以 x=0 是 f
8、(x)的跳跃间断点17 【正确答案】 y18 【正确答案】 f(x)=x+ ,当 x1，e时，f(x)0 ，则 f(x)在区间1，e上是增函数所以当 x=1 时，f(x) 有最小值 ；当 x=e 时，f(x)有最大值 +119 【正确答案】 代入 y=ex 到方程 xy+p(x)y=x 中，得 p(x)=xe-xx原方程为xy+(xe -xx)y=x，所以 y+(e -x1)y=1 ，其通解为 y 因为x=ln2， y=0，所以 C= 所以特解为 y=ex(1 )20 【正确答案】 选取 x 为积分变量，得上半圆周的方程为 y2=b+ ,下半圆周的方程为 y1=b 则 dV=( )dx=4b
9、dx于是所求旋转体的体积为V=4b dx=8b dx=8b =22a2b四、应用题21 【正确答案】 因为 r2h=h=V，所以 h= ，设所用材料为 S，则S=2r2+2rh=2r2+ 0(r0)，S=4r 令 S =0 得唯驻点 r0= 故当 r0=,h0= 时所用材料最省.22 【正确答案】 收益函数为 R=xp=x(25 )=25x 利润函数为 L=RC=25x 100xx 2= +24x100令 L=0，即 +24=0，得 x=10又L(10)=23 【正确答案】 当 x=l0 时，商品价格 P=(25 =23商品的需求弹性=5 = 11524 【正确答案】 y=x 2 在 x=1 处的切点为(1，1)切线斜率为 k= =2切线方程为 y1=2(x1)，即 y=2x125 【正确答案】 所求面积 S26 【正确答案】 先求两抛物线的交点，得(1，1)，(1，1)S= (2x 2x 2)dx=27 【正确答案】 V x= (2x 2)2x 4dx= (44x2)dx=
