1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 3 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 y=sinxsin|x|的值域是（A）0（B） 一 1，1（C） 0，1（D）2，22 设函数 ，则 f(x)=（A）x 2（B） x22（C） x2+2（D）3 极限（A）0（B） （C） 1（D）不存在4 要使函数 f(x)= 在 x=0 处连续，应给 f(0)补充定义的数值是（A）（B） 2（C） 1（D）05 设函数 f(x)=(xa)P(x)， (x)在 x=a 处可导，则（A）f(x)=(x)（B） f(a
2、)=(a)（C） f(a)=(a)（D）f(x)=(x)+(xa)6 设 f(x2)= (x0)，则 f(x)=7 在区间(a，b)内任意一点，函数 f(x)的曲线弧总位于其切线的上方，则该曲线在(a， b)内是（A）凹的（B）凸的（C）单调上升（D）单调下降8 设f(x)dx=F(x)+c，则不定积分 2x(2x)dx=（A）（B） F(2x)+C（C） F(2x)ln2+C（D）2 xF(2x)+C9 设 y=0x(t1)(t2)(t3)(t4)dt，则 y(0)=（A）24（B） 0（C） 120（D）610 设 z=(2x+y)y，则 |(01) =（A）1（B） 2（C） 3（D）0
3、二、计算题（一）11 求极限12 已知 y=arcsinf(x2)，求 y13 求函数 y=x3+6x236x 的凹凸区间、单调区间、拐点和极大值点14 计算定积分15 设 D 为由直线 y=x 与圆 x2+(y1)2=1 围成，且在直线 y=x 下方的平面区域，求xdxdy.三、计算题（二）16 求函数 的反函数17 求函数 的微分18 设函数 f(x)= +1，求 y=f(x)的单调区间、凹凸区间、极值、拐点及渐近线19 20 将二次积分 I=0dx 化为先对 x 积分的二次积分，并计算其值四、应用题21 设某工厂分批生产某种产品，该产品的年销售量为 1000000 件，若每批生产的准备费
4、为 1000 元，每件产品的年库存费为 005 元，假设销售是均匀的(即产品的平均库存量是批量的一半)，问分几批生产使生产准备费与库存费之和最低？22 某商品日产量是 x 个单位时，总成本 F(x)的变化率为 f(x)=02x+5(元/ 单位)，已知 F(0)=0求：(1)总成本 F(x)；(2)若销售单价是 25 元，求总利润；(3)日产量为多少时，才能获得最大利润？23 已知某企业生产某种产品 q 件时，MC=5 千克/件，MR=10002q 千元/ 件，又知当 q=10 件时，总成本为 250 千克，求最大利润(其中边际成本函数 MC=，边际收益函数 MR=24 求函数 z=x2+ y2
5、xy2xy 在区域 D(如下图)：x0，y0，x+y4 上的最大值和最小值全国自考（高等数学一）模拟试卷 3 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，y=sinx sinx=0；当 x 0 时，y=sinxsin(x)=sinx+sin x=2 sin x，这时22sin x2，故 y= sinxsin|x|的值域为一 2，22 【正确答案】 B【试题解析】 2，f(x)=x 223 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 补充定义
6、f(0)=1，则 f(x)连续5 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义 由于 (x)在 x=a 处可导，(x)在 x=a 处连续，=(a)=f(a)6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 根据几何意义可选出正确答案8 【正确答案】 A【试题解析】 F(2)+C=f(2 x)d(2x)=2x(ln2) f(2x)dx=ln2(2xf(2x)dx，所以+C=2xf(2x)dx9 【正确答案】 A【试题解析】 y=(t1)(t 2)(t3)(t4)dt，y(x)=(x 一 1)(x2)(x3)(x4)，y(0)=(一 1)(2)( 一 3)(一 4)=2410 【正确
7、答案】 B【试题解析】 由 z=(2x+y)y，则 = y(2x+y)y12=2y(2x+y) y1， |(0，1)=2(0+1)0=2二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 y=arcsinf(x 2)，函数可以看成由 y=arcsinu，u=f()，=x 2 复合而得到，所以13 【正确答案】 求出 y和 y“，分别分区讨论正负而确定y=3x 2+12x36=3(x+6)(x2)，令 y=0，得驻点 x1=6，x 2=2，分区讨论符号： y“=6x+12，令 y“=0，得 x=一 2，分区讨论符号： x=一 2 时，求出 y=88由以上讨论可知：单调增加区间为(一 ，6)
8、(2， +)，单调减少区间为(一 6，2)；凸区间为(一，2)，凹区间为(2，+)；极大值点为 x=一 6，拐点为(一 2，88)14 【正确答案】 因(2x 2+1)=一 4x，所以用凑微分法15 【正确答案】 D 如右图所示，交点满足 解得 x=1，0，故对 x 积分的积分限为 0 和 1，由方程 x2+(y1)2=1 得下边界为 于是有三、计算题（二）16 【正确答案】 当 0x1 时，由 y=x2，知值域为 y(一 2，1，并反解出x=y+2，故 y 1(x)=x+2，x(2，1当 1x3 时，由 y=3(x3)2，知值域为y(一 1，3，求解 x 有 x3= 正根舍去，有 分段函数的
9、反函数由 y=f(x)分段求解出 x，其定义域是原函数的值域17 【正确答案】 利用对数求导法，两边取对数，得18 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一，0)(0，+)， 令 f(x) =0 得 x=1，而定义域内既无 f“(x)=0 的点也无 f“(x)不存在的点列表讨论： 所以(一 ，0)和(1，+) 为单调增区间， (0，1)为单调减区间；(一，0)为凸区间，(0，+)为凹区间；f(1)=e+1 为极小值；无拐点；无水平渐近线； 所以 x=0 是竖直渐近线19 【正确答案】 20 【正确答案】 积分区域 D 如右图所示，故四、应用题21 【正确答案】 设分 x 批生产，每批生产 件，又
10、设生产准备费与库存费之和为 y，则 令 y=0，得 x=5，而 x=一 5 不合题意，x=5又 y“(5)0，所以分 5 批生产时生产准备费与库存费之和最小22 【正确答案】 (1)F(x)= 01(02x+5)dx= 01x 2+5x (2)L(x)=25x01x 25x=01x 2+20x 当 x=100 时， L=0，L“ =020，当 x=100 单位时获利润最大，最大利润为 1000 元23 【正确答案】 C(q)=MCdq=5dq=5q+C 0，已知 C(10)=250，代入可求出C0=200，故 C(q)=5q+200，又 R(q)=MRdq=(10002q)dq=10q001q
11、 2+R0 因为 R(0)=0，代入可求出 R0=0，故 R(q)=10q001q 2，于是 L(q)=R(q)C(q)一5q=0 01q2200， L(q)=5 002q，令 L(q)=0，解出 q=250，而 L“(q)=一0020，故 q=250 为惟一极大值点，即最大值点，此时 L(250)=42524 【正确答案】 在边界 x=0 上，z=y 2y，0y4，令 zy= 2y1=0，解得 y=在边界 y=0 上，z=z 22x，0x4，由 zy=2x2=0，得 x=1， 在边界x+y=4 上，作拉格朗日函数，令 F(x，y)=x 2+y2xy2xy+(x+y4)，求 F 的一阶偏导数，并令其等于零 综上所述，函数 z 在点 处取最小值 z= ，在点(0 ，4) 处取最大值 z=12
