1、第一讲 直 线 与 圆,热点题型1 直线的方程与应用 【感悟经典】 【典例】1.已知直线l1:x+2ay-1=0, l2:(a+1)x-ay=0,若l1l2,则实数a的值为 ( ),A.- B.0 C.- 或0 D.2,2.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0) 将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是 ( ) A.(0,1) B. C. D.,3.过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且到点P(0,4)距离为2的直线方程为_.,【联想解题】 1.看到平行,想到平行满足的条件. 2.看到面积相等,想到由面积公式构造关于a的
2、方程. 3.看到距离,想到距离公式.,【规范解答】1.选C.由l1l2得1(-a)=2a(a+1),即 2a2+3a=0,解得a=0或a=- .经检验,当a=0或a= - 时均有l1l2,故选C.,2.选B.易知BC所在直线的方程是x+y=1,由 消去x, 得y= ,当a0时,直线y=ax+b与x轴交于点 ,结 合图形知 化简得(a+b)2=a(a+1),则 a= .因为a0,所以 0,解得b .,考虑极限位置,即当a=0时,易得b=1- ,故b的取值范 围是,3.由 得 所以l1与l2的交点为(1,2).当所求直线斜率不存在, 即直线方程为x=1时,显然不满足题意. 当所求直线斜率存在时,设
3、所求直线方程为y-2=k(x-1), 即kx-y+2-k=0,因为点P(0,4)到直线的距离为2, 所以2= ,所以k=0或k= . 所以直线方程为y=2或4x-3y+2=0. 答案:y=2或4x-3y+2=0,提醒: (1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况. (2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式,同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.,【规律方法】两直线的位置关系的判断方法 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1,l2,l1l2k1=k2;l1l2k1k2=-1. 若有一条直线的斜率不存在,那么
4、另一条直线的斜率一定要特别注意.,提醒:在运用两平行直线间的距离公式d= 时,一 定要注意将两方程中x,y的系数分别化为相同的形式.,【对点训练】 1.已知直线l的倾斜角为 ,直线l1经过点A(3,2), B(-a,1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行, 则a+b= ( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2,【解析】选B.由题知,直线l的斜率为1,则直线l1的斜 率为-1,所以 =-1,所以a=-4.又l1l2,所以- =-1,b=2,所以a+b=-4+2=-2.,2.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与 l2间的距离为
5、( ) A. B. C. D.,【解析】选B.由l1l2,得(a-2)a=13,且a2a36, 解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+ =0,所以l1与l2间的距离为d=,【提分备选】1.已知b0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线 x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值等于 ( ) A.1 B.2 C.2 D.2,【解析】选B.b0,两条直线的斜率存在,因为直线 (b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,所以 (b2+1)-ab2=0,ab=b+ 2.,2.设两条直线的方程分别为x+ y+a=0,x+ y+b=0, 已知a,b是方程x2+2x+c=
6、0的两个实根,且0c , 则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为( ) A. B.1 C. D.,【解析】选A.因为a,b是方程x2+2x+c=0的两个实根, 所以a+b=-2,ab=c. 又因为0c ,所以|a-b|= 两条平行直线的距离d= 所以这两条平行直线之间的距离的最大值和最小值 的差=1-,热点题型2 圆的方程 【感悟经典】 【典例】1.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为_.,2.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值. (2)求y-x的最大值和最小值. (3)求x2+y2的最大值和最小值.,【联想解
7、题】 1.看到圆心在x轴上,想到圆心纵坐标为0. 2.看到求所给式子的最值,想到转化为斜率和距离.,【规范解答】1.设圆心坐标为C(a,0),因为点A(-1,1) 和B(1,3)在圆C上, 所以|CA|=|CB|,即 解得a=2,所以圆心为C(2,0),半径|CA|= 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.,答案:(x-2)2+y2=10,2.原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 为半径的圆.,(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设 =k,即y=kx. 当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此 时 ,解得k= (如图1). 所以 的最大值
8、为 ,最小值为- .,(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线 y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此 时 ,解得b=-2 (如图2).所以y-x的 最大值为-2+ ,最小值为-2- .,(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面 几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取 得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为 =2, 所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 ,x2+y2的最 小值是(2- )2=7-4 .,【规律方法】 1.圆的方程的求法 (1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:
9、圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.,(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.,2.求最值的常见转化方式 (1)形如m= 的最值问题,可转化为动直线斜率的 最值问题. (2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的 最值问题.,(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.,【对点训练】 1.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR) 对称,则ab的取值范围是 ( ),【解析】选A.由题可知直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2), 故可得a
10、+b=1,又ab = ,所以ab,2.已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以 AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的坐标 是_.,【解析】设圆心M(x,y),由|AB|=6知,圆M的半径r=3, 则|MC|=3,即 =3,所以(x-1)2+(y+1)2=9. 又因为 所以有x2+y2=7. 故圆心M的轨迹满足方程组,解得圆心M为两个点: 答案:,【提分备选】1.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关 于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 ( ) A.(x-1)2+y2=1 B.x2+(y+1)2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+y2=
11、1,【解析】选C.圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,可得圆的圆心坐标(0,1),圆的方程为: x2+(y-1)2=1.,2.已知圆x2+y2-2x+4y+1=0和两坐标轴的公共点分别为 A,B,C,则ABC的面积为 ( ) A.4 B.2 C.2 D.,【解析】选D.由圆C:x2+y2-2x+4y+1=0, 化为标准方程得:(x-1)2+(y+2)2=4, 所以圆心的坐标为(1,-2),半径为2, 圆在y轴上截得的弦长为2 ,与x轴的公共点为(1,0), 所以ABC的面积为 2 1= .,热点题型3 直线与圆,圆与圆的位置关系 【感悟经典】 【典例】 1.(2018昆明一
12、模)已知圆M:x2+y2-2ay =0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 ,则圆M与 圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,2.(2016全国卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay -2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为 _.,3.(2016全国卷)已知直线l:x- y+6=0与圆 x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交 于C,D两点,则|CD|=_.,【联想解题】 1,2.看到线段长想到圆半径、半弦及圆心到直线的距离构成的直角三角形. 3.看到求CD联想到构造直角三角形求
13、解.,【规范解答】1.选B.由题知圆M:x2+(y-a)2=a2(a0),圆 心(0,a)到直线x+y=0的距离d= ,所以2 =2 , 解得a=2,即圆M的圆心为(0,2),半径为2.又圆N的圆心 为(1,1),半径为1,则圆M,圆N的圆心距|MN|= ,两圆 半径之差为1,半径之和为3,1 3,故两圆相交.,2.由圆C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a)2=a2+2,所以圆心 C(0,a),由题意可知 ,解得a2=2,所以 圆C的面积为(a2+2)=4. 答案:4,3.取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F, 圆心到直线的距离d= =3,所以在RtOBE中, B
14、E2=OB2-d2=3,所以AB=2 =CF,又在CDF中 FCD=30,所以CD= =4. 答案:4,【规律方法】 1.直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路 (1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径作比较实现,两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.,(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.,2.直线截圆所得弦长的求解方法 (1)根据平面几何知识构建直角三角形,把弦长用圆的 半径和
15、圆心到直线的距离表示,即l=2 (其中l为弦 长,r为圆的半径,d为圆心到直线的距离).,(2)根据公式:l= |x1-x2|求解(其中l为弦长,x1,x2 为直线与圆相交所得交点的横坐标,k为直线的斜率). (3)求出交点坐标,用两点间的距离公式求解.,【对点训练】 1.(2018南昌一模)如图,在平面直角坐标系xOy中, 直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则cosAOB=( ),【解析】选D.因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径 为2,所以圆心O到直线y=2x+1的距离d= 所以弦长|AB|=2 在AOB中,由余弦定理得cosAOB=,2.已知点A(-2,0),
16、B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r0)上存在点P(不同于点A,B)使得PAPB,则实数r的取值范围是 ( ) A.(1,5) B.1,5 C.(1,3 D.3,5,【解析】选A.根据直径对的圆周角为90,结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x-3)2+y2=r2有交点, 显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交. 而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,两个圆的圆心距为3,故|r-2|3|r+2|,求得1r5.,【提分备选】已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是 ( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8,【解析】选B.圆x2+y2
17、+2x-2y+a=0, 即(x+1)2+(y-1)2=2-a, 故弦心距d= 再由弦长公式可得2-a=2+4,所以a=-4.,数学运算直线与圆中的最值问题中的数学素养 【相关链接】 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题 时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问,题的一种方法.在求解直线与圆中的最值问题时,往往根据图形找到问题的突破口,把最值问题进行转化和化归.,【典例】已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一动 点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若 四边形PACB的最小面积是2,则k的值为 ( ) A.3 B. C.2 D.2,【
18、规范解答】选D.如图,把圆的方程化成标准形式得 x2+(y-1)2=1,所以圆心坐标为(0,1),半径为r=1,四边 形PACB的面积S=2SPBC=|PB|BC|,因为|BC|=1为定 值,所以四边形PACB最小面积为2时,只需|PB|最小值为 2,由切线长公式:|PB|= 只要|PC|,最小值为即可,即圆心到直线kx+y+4=0的距离d= 即可,此时d= 即k2=4,因为k0,所 以k=2.,【通关题组】 1.过直线y=x上一点P作圆C:(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线,切点为A,B,当点P到圆心C的距离最小时ACB的大小为 ( ) A.30 B.60 C.120 D.150,【解
19、析】选C.因为当CP垂直于直线y=x时,点P到圆心C 的距离最小,由点到直线的距离公式得d= =2 , 又因为圆的半径为 ,所以在直角三角形PAC中, APC=30,所以ACB的大小为120.,2.过点( ,0)引直线l与曲线y= 相交于A,B两点, O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜 率等于 ( ) A. B.- C. D.-,【解析】选B.由y= 得x2+y2=1(y0),即该曲线 表示圆心在原点,半径为1的半圆,如图所示.,故SAOB= |OA|OB|sinAOB= sinAOB. 所以当sinAOB=1,即OAOB时, SAOB取得最大值,此时 点O到直线l的距离d=|
20、OA|sin 45= .设此时直 线l的斜率为k,则方程为y=k(x- ),即kx-y- k= 0,则有 = ,解得k= ,由图可知直线l的 倾斜角为钝角,故取k=- .,3.已知直线l:mx+y+3m- =0与圆x2+y2=12交于A,B两 点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若 AB=2 ,则CD=_.,【解题指南】通过点到直线的距离求出弦AB的一半,解出m之后求CD的长.,【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足 为F,圆心到直线l的距离d= ,所以在RtOBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d= =3,得m=- ,又在 CDF中,FCD=30,所以CD= =4. 答案:4,4.在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是_.,【解析】由于圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,故 OAOB,如图所示,过点O作圆C的两条切线,切点分别为 B,D,圆上要存在满足题意的点A,只需BOD90,即 COB45,连接CB,由C(-2,m)可得:|CO|= ,答案:- , (或- m ),
