1、1压轴大题高分练 4.解析几何(D 组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知椭圆 E: + =1(ab0)过点(0, ),且离心率为 .2222 2(1)求椭圆 E 的方程.(2)过(-1,0)的直线 l 交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】(1)因为椭圆 E: + =1(ab0)过点(0, ),且离心率为 .2222所以 =2,=22,2=2+2,即 a2=4,b2=c2=2,所以椭圆 E 的方程为 + =1.2422(2)方法一:当 l 的斜率为 0 时,显然 G 在以线段 AB 为直径的圆的外面,当 l
2、 的斜率不为 0 时,设 l 的方程为 x=my-1,点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 H(x0,y0).2由 得(m 2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2= ,y1y2= ,-32+2从而 y0= = .12所以|GH| 2= +(0+94)220= +20=(m2+1) + my0+ .2052 2516=|24 (1-2)2+(1-2)24=(m2+1)( -y1y2),20故|GH| 2- = my0+(m2+1)y1y2+|24 52 2516= - +3(2+1)2+2 25163= 0,172+216(2+2)所以|GH| ,故 G 在以 AB 为直
3、径的圆外.|2方法二:当 l 的斜率为 0 时,显然 G 在以线段 AB 为直径的圆的外面,当 l 的斜率不为 0 时,设 l 的方程为 x=my-1,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 = , = ,(1+94,1) (2+94,2)由 得(m 2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2= ,y1y2= ,-32+2所以 = +y1y2(1+94)(2+94)= +y1y2(1+54)(2+54)=(m2+1)y1y2+ m(y1+y2)+54 2516= 0,172+216(2+2)所以 cos 0,又因为 , 不共线,所以AGB 为锐角,故点 G 在以 AB 为直径的圆外.
4、42.椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F2的直线 l 与椭圆交22于 A,B 两点,当 l 的倾斜角为 时,F 1AB 是等边三角形.2(1)求椭圆的方程.(2)若|F 2A|=|F 2B|,12,求ABF 1中 AB 边上中线长的取值范围.【解析】(1)由已知得:c=1,a 2-b2=1,2c= ,2所以 2a= b2, a2-2a- =0,解得 a= ,b= ,椭圆的方程为 + =1 .2322(2)当直线 l 的斜率为 0 时,不符合题意.当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立
5、得 (2m2+3)y2+4my-4=0,22+32=6,=+1, 则 y1+y2= ,y1y2= .-422+3ABF 1中 AB 边上的中线长为| + |=12 12(1+2+2)2+(1+2)2=12(1+2)+42+(1+2)2=12(42+1222+3)2+( -422+3)25=令 t=2m2+3,则 2m2=t-3,得 | + |= =12 2+8+32 32+8+1= ,由|F 2A|=|F 2B|,得 y1=-y 2,-= ,12- +2= + +2= = .1 1221 (1+2)212 -4222+3因为 12,+ -2=1= ,0,12所以 3t4, ,14 13| + | .12ABF 1中 AB 边上中线长的取值范围是 .514,2
