1、1第一节 数列的概念与简单表示最新考纲1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式3.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理 1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集)为定义域的函数 an f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2数列的分类分类标准 类型 满足条件有穷数列 项数有限项数 无穷数列 项数无限递增数列 an1 an递减数列 an1 an常数列 an1 an其中 nN *单调性摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
2、于它的前一项的数列3数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法4数列的通项公式如果数列 an的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个式子 an f(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式5数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 递推公式6 an与 Sn的关系若数列 an的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 anError!7.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集 N*(或它的有限子集
3、)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列8必会结论:在数列 an 中，若 an最大，则Error!若 an最小，则Error!9数列中的数与集合中的元素的区别与联系：(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列这区别于集合中元素的无序2性(2)数列中的数可以重复出现而集合中的元素不能重复出现典型例题考点一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2) ，2，8， ，；12 92 252(3) ，1， ， ，；32 710917(4)3,33,333,3333，；(5)1,3
4、,6,10,15，； (6)1,7，13,19，；(7) ， ， ， ，；112 123 134 145(8) ， ， ， ，；12 3478 15163132(9) ， ， ， ， ，；1214 581316 29326164(10)1,1，2,2，3,3【答案】(1) an2 n1； (2) an ； (3) an ； (4) an (10n1)；n22 2n 1n2 1 13(5) an ； (6) an(1) n(6n5)； (7) an(1) n ， nN ；n n 12 1n(n 1)(8) an ； (9) an(1) n ； (10) anError!2n 12n 2n 32n
5、【解析】(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2 n1.(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即 ，12， ， ，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为 an .4292162252 n22(3)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公3255710917式为 bn2 n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16， 即数列 n2，可得分母的通项公式为 cn n21，因此可得它的一个通项公式为 an .2n 1n2 13(6)符号问题可通过(1) n或(1) n1 表示，其各项的
6、绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1) n(6n5)(7)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an(1) n ， nN .1n(n 1)(8)数列中各项的符号可通过(1) n1 表示每 一项绝对值的分子比分母少 1，而分母组成数列21,22,23,24，所以 an .2n 12n(9)各项的分 母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 ，原数列可化为 ， ， ， ，2 32 21 321 22 322 23
7、323 24 324所以 an(1) n .2n 32n(10)数列的奇数项为1，2，3，可用 表示n 12数列的偶数项为 1,2,3，可用 表示n2因此 anError!规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数 列)、归纳、转化( 转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1) k或(1) k1 ， kN 处理(3)如果是选
8、择题，可采用代入验证的方法【变式训练 1】(1)数列 0，的一个通项公式为( )234567A an (nN ) B an (nN )n 1n 2 n 12n 1C an (nN ) D an (nN )2 n 12n 1 2n2n 1【答案】 C4【解析】 注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可(2)已知 nN ，给出 4 个表达式： anError! an ；1 ( 1)n2 an ；1 cos n2 an .其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是( )|sinn2|A BC D【答案】A 【解析】检验知都是所给数列的通项公式考点二 由 Sn与 an
9、的关系求 an【例 2】 (1)已知数列 an的前 n 项和 Sn n21，则 an_.【答案】 anError!【解析】 当 n1 时， a1 S12；当 n2 时， an Sn Sn1 n21( n1) 212 n1.故 anError!(2)若数列 an的前 n 项和 Sn an (nN )，则 an的通项公式 an_.23 13【答案】 (2) n1【解析】由 Sn an ，得当 n2 时， Sn1 an1 ，两式相减，整理得 an2 an1 ，又当23 13 23 13n 1 时 ， S1 a1 a1 ， a1 1， an是 首 项 为 1， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 故 an ( 2)n1 .23 13(3)设数列 an满足 a13 a23 2a33 n1 an ，则 an_.n3【答案】 13n【解析】 因为 a13 a23 2a33 n1 an ，n3则当 n2 时， a13 a23 2a33 n2 an1 ，n 13得 3n1 an ，所以 an (n2)13 13n由题意知 a1 ，符合上式， 所以 an . 13 13n15已知数列 an的通项公式 an( n2) n，则数列 an的项取最大值时， n_.(67)5【答案】 4 或 5
