1、11.3.2 球的体积和表面积【选题明细表】 知识点、方法 题号球的表面积、体积 1,3,7,9与球有关的“切” “接”问题 2,4,5,6,8,10,111.两个球的表面积之差为 48,它们的大圆周长之和为 12,这两个球的半径之差为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:令 S 球 1=4R 2,S 球 2=4r 2,由题可知 4R 2-4r 2=48, 又 2R+2r=12, 得 R-r=2.2.(2018河南平顶山高一期末)长方体 ABCD A1B1C1D1的八个顶点落在球 O 的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球 O 的表面积为( D )(A)25 (B
2、)200 (C)100 (D)50解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为 r,则 2r= =5 ,则 r= ,4r 2=4( )2=50.3.已知球的两个平行截面的面积分别为 5 和 8,它们位于球心的同一侧,且相距为 1,那么这个球的半径是( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)5解析:BD= ,AC=2 ,CD=OD-OC= -= - =1.解得 R=3.4.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )2(A) cm(B)2 cm(C)3 cm(D)4 cm解析:设球的半
3、径为 r,则 V 水 =8r 2,V 球 =4r 3,加入小球后,液面高度为 6r,所以 r 26r=8r 2+4r 3,解得 r=4.故选 D.5.已知圆柱的高为 2,它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是( D )(A) (B) (C) (D)6解析:如图所示,圆柱的高为 2,它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上,所以该圆柱底面圆周半径为r= = ,所以该圆柱的体积为 V=Sh=( )22=6.故选 D.6.(2018湖南郴州二模)底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥 P ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为 4,侧棱
4、长为 2 ,则这个球的表面积为 .解析:正四棱锥 P ABCD 外接球的球心在它的高 PO1上,记为 O,OP=OA=R,PO1=4,OO1=4-R,或 OO1=R-4(此时 O 在 PO1的延长线上).在 RtAO 1O 中,R 2=8+(R-4)2得 R=3,所以球的表面积 S=36.答案:367.如图所示(单位:cm)四边形 ABCD 是直角梯形,求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积.3解: S 球 = 42 2=8(cm 2),S 圆台侧 =(2+5) =35(cm 2),S 圆台下底 =5 2=25(cm 2),即该几何体的表面积为 8+35+25=68(cm 2)
5、.又 V 圆台 = (22+25+52)4=52(cm 3),V 半球 = 23= (cm3).所以该几何体的体积为 V 圆台 -V 半球 =52- = (cm3).8.(2018南昌八一中学高一测试)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 ,那么这个三棱柱的体积是( D )(A)96 (B)16(C)24 (D)48解析:设球的半径为 R,由 R 3= ,得 R=2.所以正三棱柱的高为 h=4,设其底面边长为 a,得 a=2,a=4 .所以 V= (4 )24=48 .9.某街心花园有许多钢球(钢的密度为 7.9 g/cm3),每个钢球重 145 kg,并且外径等
6、于 50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(取 3.14,结果精确到 1 cm,2.24311.240 98).解:由于外径为 50 cm 的钢球的质量为 7.9 ( )3516 792(g),街心花园中钢球的质量为 145 000 g,而 145 000516 792,所以钢球是空心的.设球的内径为 2x cm,那么球的质量为 7.9 ( )3- x 3=145 000.解得 x311 240.98,所以 x22.4,2x45(cm).即钢球是空心的,其内径约为 45 cm.10.(2018陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为 ,求该三
7、棱锥的内切球的体积.解:如图,AE平面 BCD,设 O 为正四面体 A-BCD 内切球的球心,4则 OE 为内切球的半径,设 OA=OB=R,又正四面体 A BCD 的棱长为 ,在等边BCD 中,BE= ,所以 AE= = .由 OB2=OE2+BE2,得 R2=( -R)2+ ,解得 R= ,所以 OE=AE-R= ,即内切球的半径是 ,所以内切球的体积为 ( )3= .11.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 V 圆柱 =r 2h,由已知知圆锥的底面半径为 r,高为 h,所以 V 圆锥 = r 2h,球的半径为 r,所以 V 球 = r 3.又 h=2r,所以 V 圆锥 V 球 V 圆柱 =( r 2h)( r 3)(r 2h)=( r 3)( r 3)(2r 3)=123.
