1、1专题 13 等差与等比数列 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.等差数列及其性质理解2017 课标全国,4;2016 浙江,6;2016 天津,18;2015 北京,6选择题填空题2.等差数列前 n 项和公式理解等差数列的概念;掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式;能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;了解等差数列与一次函数的关系掌握2017 课标全国,9;2016 课标全国,3;2015 浙江,3选择题填空题分析解读 1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前 n 项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数
2、列的一些基本性质.3.命题以求 an,Sn为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要考查数列定义、通项公式、前 n 项和公式及性质,分值约为 5 分,属中低档题.考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.等比数列及其性质理解2017 课标全国,3;2016 课标全国,15;2015 课标,4选择题填空题解答题2.等比数列前n 项和公式理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式;能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;了解等比数列与指数函数的关系掌握2017 江苏,9;2014 课标,17选择题填空题解答题分析解读 1.理解等
3、比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式.2.体会等比数列与指数函2数的关系.3.求通项公式、求前 n 项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.2018 年高考全景展示1.【2018 年理新课标 I 卷】设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B详解：设该等差数列的公差为 ，根据题中的条件可得 ，整理解得 ，所以 ，故选 B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差 的值，之后利用等差数列的通项公式得到 与 的关系，从而求得结果.2 【2018 年理北京卷】设 是
4、等差数列，且 a1=3， a2+a5=36，则 的通项公式为_【答案】【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.详解：点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.3 【2018 年理新课标 I 卷】记 为数列 的前 项和，若 ，则 _【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的 ，类比着写出 ，两式相减，整理得到，从而确定出数列
5、为等比数列，再令 ，结合 的关系，求得 ，之后应用等比数列的求和公式求得 的值.详解：根据 ，可得 ，两式相减得 ，即 ，当时， ，解得 ，所以数列 是以-1 为首项，以 2 为公布的等比数列，所以3，故答案是 .点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.4 【2018 年浙江卷】已知等比数列 an的公比 q1，且 a3+a4+a5=28， a4+2 是 a3，
6、a5的等差中项数列bn满足 b1=1，数列（ bn+1bn） an的前 n 项和为 2n2+n（）求 q 的值；（）求数列 bn的通项公式 【答案】 （） （）（）设 ，数列 前 n 项和为 .由 解得 .由（）可知 ，所以 ，故 ，.设 ，所以 ，因此 ，又 ，所以 .点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.5 【2018 年理数全国卷 II】
7、记 为等差数列 的前 项和，已知 ， （1）求 的通项公式；4（2）求 ，并求 的最小值【答案】 （1） an=2n9， （2） Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果， （2）根据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以 an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（ n4） 216所以当 n=4 时， Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数
8、，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 1，理 4】记 nS为等差数列 na的前 项和若 452a， 648S，则 na的公差为A1 B2 C4 D8【答案】 C【解析】试题分析：设公差为 d， 4511134274adad，6115682Sa，联立 1,658解得 ，故选 C.秒杀解析：因为 6634()()aSa，即 3416a，则 4534()()2168a，即 538ad，解得 ，故选 C.【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 na为等差数列，若m
9、npq，则 mnpqaa.2.【2017 课标 3，理 9】等差数列 n的首项为 1，公差不为 0若 a2， a3， a6成等比数列，则 na前 6项的和为A 24 B C3 D8【答案】 A5【考点】 等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.3.【2017 课标 II，理 3】我国古代数学名著算法统宗中有
10、如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯 x盏，则各层的灯数构成一个首项为 x，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有： 71238，解得 3x，即塔的顶层共有灯 3 盏，故选 B。【考点】 等比数列的应用；等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明
11、确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。 4.【2017 课标 3，理 14】设等比数列 na满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则 a4 = _.【答案】 8【解析】试题分析：设等比数列的公比为 q ，很明显 1 ，结合等 比数列的通项公式和题意可得方程组：6121233aq， ， ，由 可得： 2q ，代入可得 1a，由等比数列的通项公式可得： 3418a .【考点】 等比数列的通项公式【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类
12、基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5.【2017 课标 II，理 15】等差数列 na的前 项和为 nS， 3a， 410S，则 1nkS。【答案】 21n【解析】试题分析：设等差数列的首项为 1a，公差为 d，由题意有：12340ad，解得 1 ，数列的前 n 项和 1 1222n nnSad,裂项有： kk，据此：111122.223nk nSn 。【考点】 等差数列前 n 项和公式；裂项求和。【名师点睛】等差数列的通项公式及前 n 项和公式
13、，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。6.【2017 北京，理 10】若等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1， a4=b4=8，则2=_.【答案】17【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 d 和 q ，318dq，求得
14、 2,3qd ，那么213ab.【考点】等差数列和等比数列【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.2016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 1 卷】已知等差数列 na前 9 项的和为 27, 108a,则 10 （ ）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【答案】C【解析】试题分析：由已知, 193627,8ad所以 110,9198,adad故选 C.
15、考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.2. 【2016 高考浙江理数】设数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S2=4， an+1=2Sn+1， nN *，则 a1= ， S5= .【答案】 1 2考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前 n项和【易错点睛】由 12naS转化为 13a的过程中，一定要检验当 1n时是否满足 13na，否8则很容易出
16、现错误3 【2016 高考江苏卷】已知 na是等差数列， Sn是其前 项和.若 2153,S=10a，则 9a的值是 .【答案】 20.【解析】由 51S得 32，因此 29(d)3,26.考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如 *1()(),(1,)2nmtnaaStnmtN、 、及等差数列广义通项公式 ().nmad【考点定位】等比数列的通项公式4.【2016 高考新课标 1 卷】设等比数列 na满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 an的最大值为 【答案】 64【解析】试题分析：设等比数列的公比为 q,由 132405a得,21()05aq,解得182aq.所以2(1)712()2128nnnnaq,于是当 3或 4时, 12na 取得最大值 64.考点：等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的 特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.
