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1、概率论与数理统计公式（全）1概率论与数理统计公式第 1 章随机事件及其概率（ 1）排列组合公式 )!( !nmmPnm 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(! ! nmn mCnm 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（ 2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）： m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法

2、可由 n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： m n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n种方法来完成，则这件事可由 m n 种方法来完成。（ 3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（ 4）随机试验和随机事件如果一个

3、试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（ 5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中

4、的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A， B， C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的

5、事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1的事件也不一定是必然事件。（ 6）事件的关系与运算关系：如果事件 A的组成部分也是事件 B 的组成部分，（ A 发生必有事件 B 发生）：BA如果同时有 BA ， AB ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。A、 B 中至少有一个发生的事件： AB，或者 A+B。属于 A而不属于 B的部分

6、所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 BA ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。概率论与数理统计公式（全）1A、 B同时发生： A B，或者 AB。 A B=，则表示 A与 B不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件 A的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A不发生的事件。互斥

7、未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A (B C)=(A B) C分配率： (AB) C=(A C) (B C) (A B) C=(AC) (BC)德摩根率： 11 i ii i AA BABA ， BABA （ 7）概率的公理化定义设为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0 P(A) 1，2 P( ) =13 对于两两互不相容的事件 1A ， 2A ，有 11 )(i ii i APAP 常称

8、为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件 A 的概率。（ 8）古典概型 1 n 21, ，2 nPPP n 1)()()( 21 。设任一事件 A ，它是由 m 21, 组成的，则有P(A)= )()()( 21 m = )()()( 21 mPPP nm 基本事件总数所包含的基本事件数A（ 9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个

9、有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，)( )()( L ALAP 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。（ 10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)（ 11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时， P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时， P(B)=1- P(B)概率论与数理统计公式（全）1（ 12）条件概率定义设 A、 B 是

10、两个事件，且 P(A)0，则称 )( )( APABP 为事件 A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为 )/( ABP )( )( APABP 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( /B)=1P(B /A)=1-P(B/A)（ 13）乘法公式乘法公式： )/()()( ABPAPABP 更一般地，对事件 A1， A2， An，若 P(A1A2 An-1)0，则有21( AAP )nA )|()|()( 213121 AAA

11、PAAPAP 21|( AAAP n )1nA 。（ 14）独立性两个事件的独立性设事件 A、 B满足 )()()( BPAPABP ，则称事件 A、 B是相互独立的。若事件 A、 B相互独立，且 0)( AP ，则有)()( )()()( )()|( BPAP BPAPAPABPABP 若事件 A、 B相互独立，则可得到 A与 B、 A与 B、 A与 B也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件

12、的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、 B、 C相互独立。对于 n 个事件类似。（ 15）全概公式设事件 nBBB , 21 满足1 nBBB , 21 两两互不相容， ),2,1(0)( niBP i ，2 ni iBA 1 ，则有 )|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP 。（

13、 16）贝叶斯公式设事件 1B ， 2B ，， nB 及 A满足1 1B ， 2B ，， nB 两两互不相容， )(BiP 0， i 1， 2，， n，2 ni iBA 1 ， 0)( AP ，则 nj jj iii BAPBP BAPBPABP 1 )/()( )/()()/( ， i=1， 2， n。此公式即为贝叶斯公式。)( iBP ，（ 1i ， 2，， n），通常叫先验概率。 )/( ABP i ，（ 1i ， 2，，概率论与数理统计公式（全）1n），通常称为后验概

14、率。贝叶斯公式反映了 “ 因果 ” 的概率规律，并作出了“ 由果朔因 ” 的推断。（ 17）伯努利概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或 A不发生； n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试验 A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努

15、利试验。用 p 表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为 qp 1 ，用 )(kPn 表示 n重伯努利试验中 A出现 )0( nkk 次的概率，knkknn qpkP C )( ， nk ,2,1,0 。第 2 章随机变量及其分布（ 1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2, )且取各个值的概率，即事件 (X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk， k=1,2, ，则称上式为离散型随机变

16、量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： , ,|)( 21 21 kkk ppp xxxxXP X 。显然分布律应满足下列条件：（ 1） 0kp ， ,2,1k ，（ 2） 1 1k kp 。（ 2）连续型随机变量的分布密度设 )(xF 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 )(xf ，对任意实数 x ，有 x dxxfxF )()( ，则称 X 为连续型随机变量。 )(xf 称为 X 的概率密度函数或密

17、度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)( xf 。2 1)( dxxf 。（ 3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP )()()( 积分元 dxxf )( 在连续型随机变量理论中所起的作用与 kk pxXP )( 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。概率论与数理统计公式（全）1（ 4）分布函数设 X 为随机变量， x是任意实数，则函数)()( xXPxF 称为

18、随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()( aFbFbXaP 可以得到 X 落入区间 ,( ba 的概率。分布函数 )(xF 表示随机变量落入区间（， x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF x ；2 )(xF 是单调不减的函数，即 21 xx 时，有 )( 1xF )( 2xF ；3 0)(lim)( xFF x ， 1)(lim)( xFF x ；4 )()0( xFxF ，即 )(xF 是右连续的；5 )0()

19、)( xFxFxXP 。对于离散型随机变量， xx kk pxF )( ；对于连续型随机变量， x dxxfxF )()( 。（ 5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在 n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为 p 。事件 A发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 n,2,1,0 。knkknn qpCkPkXP )()( ，其中nkppq ,2,1,0,10,1 ，则称随机变量 X 服从参数为 n ， p

20、的二项分布。记为),( pnBX 。当 1n 时， kkqpkXP 1)( ， 1.0k ，这就是（ 0-1）分布，所以（ 0-1）分布是二项分布的特例。概率论与数理统计公式（全）1泊松分布设随机变量 X 的分布律为 ekkXP k!)( ， 0 ， 2,1,0k ，则称随机变量 X 服从参数为的泊松分布，记为 )( X 或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布（ np= ， n ）。超几何分布 ),min( ,2,

21、1,0,)( nMl lkCCCkXP nN kn MNkM 随机变量 X服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布 ,3,2,1,)( 1 kpqkXP k ，其中 p 0， q=1-p。随机变量 X服从参数为 p的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量 X 的值只落在 a， b内，其密度函数 )(xf 在 a， b上为常数 ab1 ，即 ,0 ,1)( abxf 其他，则称随机变量 X 在 a， b上服从均匀分布，记

22、为 XU(a， b)。分布函数为 x dxxfxF )()(当 a x1b。a x b概率论与数理统计公式（全）1指数分布其中 0 ，则称随机变量 X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住积分公式：!0 ndxex xn )(xf )(xF ,xe 0x ,0, 0x ,1 xe 0x ,0 xx1时，有 F（ x2,y） F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1);（ 3） F（ x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即 );0,(),(),0

23、),( yxFyxFyxFyxF（ 4） .1),(,0),(),(),( FxFyFF（ 5）对于， 2121 yyxx 0)()()()( 11211222 yxFyxFyxFyxF ， .（ 4）离散型与连续型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP )()()( ，（ 5）边缘分布离散型 X的边缘分布为 ),2,1,()( jipxXPP ijjii ；Y的边缘分布为 ),2,1,()( jipyYPP ijijj 。连续型 X的边缘分布密度为；dyyxfxfX ),()(Y的边缘分布

24、密度为 .),()( dxyxfyfY概率论与数理统计公式（全）1（ 6）条件分布离散型在已知 X=xi的条件下， Y取值的条件分布为； iijij ppxXyYP )|(在已知 Y=yj的条件下， X取值的条件分布为,)|( jijji ppyYxXP 连续型在已知 Y=y的条件下， X的条件分布密度为)( ),()|( yf yxfyxf Y ；在已知 X=x的条件下， Y的条件分布密度为)( ),()|( xf yxfxyfX（ 7）独

25、立性一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiij ppp 有零不独立连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布 ,12 1),( 22 221 2121 1221 )(2)1(2 12 yyxxeyxf 0随机变量的函数若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn相互独立， h,g为连续函数，则：h（ X1， X2, Xm）和 g（ Xm+1, Xn）相互独立。特例：若 X与 Y独立，则

26、： h（ X）和 g（ Y）独立。例如：若 X与 Y独立，则： 3X+1和 5Y-2独立。概率论与数理统计公式（全）1（ 8）二维均匀分布设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为其他,0 ),(1),( DyxSyxf D其中 SD为区域 D 的面积，则称（ X， Y）服从 D 上的均匀分布，记为（ X， Y） U（ D）。例如图 3.1、图 3.2和图 3.3。y1 D1O 1 x图 3.1y1O 2 x图 3.2ydcO a b x图 3.3 D2

27、1D3概率论与数理统计公式（全）1（ 9）二维正态分布设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为 ,12 1),( 22 221 2121 1221 )(2)1(2 12 yyxxeyxf其中 1|,0,0, 21,21 是 5 个参数，则称（ X， Y）服从二维正态分布，记为（ X， Y） N（ )., 2221,21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 X N（ ).(), 22,2211 NY

28、但是若 X N（ )(), 22,2211 NY ， (X， Y)未必是二维正态分布。（ 10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算： )()()( zYXPzZPzFZ 对于连续型， fZ(z) dxxzxf ),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ 222121 , ）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 i iiC ， i iiC 222 Z=max,min(X1,X2, Xn) 若 nXXX 21, 相互独立，其分布函数

29、分别为)()()( 21 xFxFxF nxxx ，，则 Z=max,min(X1,X2, Xn)的分布函数为： )()()()( 21max xFxFxFxF nxxx )(1)(1)(11)( 21min xFxFxFxF nxxx 概率论与数理统计公式（全）12 分布设 n 个随机变量 nXXX , 21 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 ni iXW 1 2的分布密度为 .0,0 ,022 1)( 2122 uueunuf unn我们称随机变量 W

30、服从自由度为 n的 2 分布，记为 W )(2 n ，其中 .2 0 12 dxexn xn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2 分布满足可加性：设 ),(2 ii nY 则 ).(211 2 kki i nnnYZ t分布设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且 ),(),1,0( 2 nYNX 可以证明函数 nYXT /的概率密度为 2121221)( nntnn ntf ).( t我们称随

31、机变量 T 服从自由度为 n的 t分布，记为 T t(n)。)()(1 ntnt 概率论与数理统计公式（全）1F分布设 )(),( 2212 nYnX ，且 X 与 Y 独立，可以证明21/nY nXF 的概率密度函数为 0,0 0,122 2)( 2211222121 21 2111 y yynnynnnn nnyf nnnn我们称随机变量 F服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 F f(n1, n2).),( 1),( 12211 n

32、nFnnF 第 4 章随机变量的数字特征（ 1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设 X是离散型随机变量，其分布律为 P( kxX ) pk ，k=1,2, ,n， nk kk pxXE 1)(（要求绝对收敛）设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)， dxxxfXE )()(（要求绝对收敛）函数的期望 Y=g(X) nk kk pxgYE 1 )()( Y=g(X) dxxfxgYE )()()(方差D(X)=EX-E(X

33、)2，标准差 )()( XDX ， k kk pXExXD 2)()( dxxfXExXD )()()( 2概率论与数理统计公式（全）1矩对于正整数 k，称随机变量 X的 k 次幂的数学期望为 X 的 k阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)= i iki px ,k=1,2, . 对于正整数 k，称随机变量 X与 E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k阶中心矩，记为 k ，即. )( kk XEXE = i iki pXEx )( ，k=1,2, . 对于正

34、整数 k，称随机变量 X 的k次幂的数学期望为 X的 k阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)= ,)( dxxfxkk=1,2, . 对于正整数 k，称随机变量 X 与E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶中心矩，记为 k ，即. )( kk XEXE = ,)()( dxxfXEx kk=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量 X 具有数学期望 E（ X） = ，方差 D（ X） = 2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等

35、式22)( XP切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对概率)( XP的一种估计，它在理论上有重要意义。（ 2）期望的性质（ 1） E(C)=C（ 2） E(CX)=CE(X)（ 3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， ni ni iiii XECXCE 1 1 )()(（ 4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X和 Y独立；充要条件： X和 Y不相关。（ 3）方差的性质（ 1） D(C)=0； E(C)=C（ 2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=

36、aE(X)（ 3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（ 4） D(X)=E(X2)-E2(X)（ 5） D(X Y)=D(X)+D(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关。D(X Y)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（ 4）常见分布期望方差0-1分布 ),1( pB p )1( pp 概率论与数理统计公式（全）1的期望和方差二项分布 ),( pnB

37、 np )1( pnp 泊松分布 )(P 几何分布 )(pG p1 21p p超几何分布 ),( NMnH NnM 11 N nNNMNnM均匀分布 ),( baU 2ba 12 )( 2ab指数分布 )(e 1 21正态分布 ),( 2N 2分布2 n 2nt 分布 0 2n n (n2)（ 5）二维随机变量的数字特征期望 ni ii pxXE 1)( nj jj pyYE 1)( dxxxfXE X )()( dyyyfYE Y )()(函数的期望 ),( YXGE i j ijji pyxG ),( ),( YXGE dxd

38、yyxfyxG ),(),(方差 i ii pXExXD 2)()( j jj pYExYD 2)()( dxxfXExXD X )()()( 2 dyyfYEyYD Y )()()( 2概率论与数理统计公式（全）1协方差对于随机变量 X与 Y，称它们的二阶混合中心矩 11 为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为 ),cov( YXXY或，即).()(11 YEYXEXEXY 与记号 XY 相对应， X 与 Y 的方差 D（ X）与 D（ Y）也可分别记为 XX与 YY 。相关

39、系数对于随机变量 X 与 Y，如果 D（ X） 0, D(Y)0，则称)()( YDXD XY为 X与 Y的相关系数，记作 XY （有时可简记为）。| | 1，当 | |=1 时，称 X 与 Y 完全相关： 1)( baYXP完全相关，时负相关，当，时正相关，当 )0(1 )0(1 aa而当 0 时，称 X与 Y不相关。以下五个命题是等价的： 0XY ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D

40、Y).协方差矩阵 YYYX XYXX 混合矩对于随机变量 X 与 Y，如果有 )( lkYXE 存在，则称之为 X 与 Y 的k+l阶混合原点矩，记为 kl ； k+l阶混合中心矩记为：.)()( lkkl YEYXEXEu （ 6）协方差的性质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).概率论与数理

41、统计公式（全）1（ 7）独立和不相关（ i）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 0XY ；反之不真。（ ii）若（ X， Y） N（ , 222121 ），则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。第 5 章大数定律和中心极限定理（ 1）大数定律X 切比雪夫大数定律设随机变量 X1， X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界： D（ Xi） C(i=1,2, ),则对于任意的正数

42、有.1)(11lim 11 ni ini in XEnXnP特殊情形：若 X1， X2，具有相同的数学期望 E（ XI） = ，则上式成为 .11lim 1 ni in XnP伯努利大数定律设是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有.1lim pnPn伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小

43、，即 .0lim pnPn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设 X1， X2，， Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（ Xn） = ，则对于任意的正数有.11lim 1 ni in XnP概率论与数理统计公式（全）1（ 2）中心极限定理 ),( 2nNX 列维林德伯格定理设随机变量 X1， X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1

44、0)(,)( 2 kXDXE kk ，则随机变量 n nXY nk kn 1的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有 x tnk knnn dtexn nXPxF .21lim)(lim 21 2 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量 nX 为具有参数 n, p(0p1)的二项分布，则对于任意实数 x,有 x tnn dtexpnp npXP .21)1(lim 22（ 3）二项定理若当 ),(, 不变时 knpNMN ，则knkknnN kn MNkM ppCCCC )1( ).( N超几何分布的极限分布为二项分布。（ 4）泊松定理若当 0, npn 时，则 ekppC kknkkn !)1( ).( n其中 k=0， 1， 2，， n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第 6 章样本及抽样分布（ 1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为

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