1、概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1概 率 论 与 数 理 统 计 公 式第 1 章 随 机 事 件 及 其 概 率（ 1） 排 列组 合 公 式 )!( !nmmPnm 从 m 个 人 中 挑 出 n 个 人 进 行 排 列 的 可 能 数 。)!(! ! nmn mCnm 从 m 个 人 中 挑 出 n 个 人 进 行 组 合 的 可 能 数 。（ 2） 加 法和 乘 法 原理 加 法 原 理 （ 两 种 方 法 均 能 完 成 此 事 ） ： m+n某 件 事 由 两 种 方 法 来 完 成 ， 第 一 种 方 法 可 由 m 种 方 法 完 成 ， 第 二 种 方 法
2、可 由 n种 方 法 来 完 成 ， 则 这 件 事 可 由 m+n 种 方 法 来 完 成 。乘 法 原 理 （ 两 个 步 骤 分 别 不 能 完 成 这 件 事 ） ： m n某 件 事 由 两 个 步 骤 来 完 成 ， 第 一 个 步 骤 可 由 m 种 方 法 完 成 ， 第 二 个 步 骤 可 由 n种 方 法 来 完 成 ， 则 这 件 事 可 由 m n 种 方 法 来 完 成 。（ 3） 一 些常 见 排 列 重 复 排 列 和 非 重 复 排 列 （ 有 序 ）对 立 事 件 （ 至 少 有 一 个 ）顺 序 问 题（ 4） 随 机试 验 和 随机 事 件 如 果 一 个
3、 试 验 在 相 同 条 件 下 可 以 重 复 进 行 ， 而 每 次 试 验 的 可 能 结 果 不 止 一 个 ，但 在 进 行 一 次 试 验 之 前 却 不 能 断 言 它 出 现 哪 个 结 果 ， 则 称 这 种 试 验 为 随 机 试验 。试 验 的 可 能 结 果 称 为 随 机 事 件 。（ 5） 基 本事 件 、 样 本空 间 和 事件 在 一 个 试 验 下 ， 不 管 事 件 有 多 少 个 ， 总 可 以 从 其 中 找 出 这 样 一 组 事 件 ， 它 具 有如 下 性 质 ： 每 进 行 一 次 试 验 ， 必 须 发 生 且 只 能 发 生 这 一 组 中
4、的 一 个 事 件 ； 任 何 事 件 ， 都 是 由 这 一 组 中 的 部 分 事 件 组 成 的 。这 样 一 组 事 件 中 的 每 一 个 事 件 称 为 基 本 事 件 ， 用 来 表 示 。基 本 事 件 的 全 体 ， 称 为 试 验 的 样 本 空 间 ， 用 表 示 。一 个 事 件 就 是 由 中 的 部 分 点 （ 基 本 事 件 ） 组 成 的 集 合 。 通 常 用 大 写 字 母A， B， C， 表 示 事 件 ， 它 们 是 的 子 集 。为 必 然 事 件 ， 为 不 可 能 事 件 。不 可 能 事 件 （ ） 的 概 率 为 零 ， 而 概 率 为 零 的
5、 事 件 不 一 定 是 不 可 能 事 件 ； 同 理 ，必 然 事 件 （ ） 的 概 率 为 1， 而 概 率 为 1的 事 件 也 不 一 定 是 必 然 事 件 。（ 6） 事 件的 关 系 与运 算 关 系 ：如 果 事 件 A的 组 成 部 分 也 是 事 件 B 的 组 成 部 分 ， （ A 发 生 必 有 事 件 B 发 生 ） ：BA如 果 同 时 有 BA ， AB ， 则 称 事 件 A 与 事 件 B 等 价 ， 或 称 A 等 于 B：A=B。A、 B 中 至 少 有 一 个 发 生 的 事 件 ： AB， 或 者 A+B。属 于 A而 不 属 于 B的 部 分
6、所 构 成 的 事 件 ， 称 为 A 与 B 的 差 ， 记 为 A-B， 也 可表 示 为 A-AB 或 者 BA ， 它 表 示 A 发 生 而 B 不 发 生 的 事 件 。概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1A、 B同 时 发 生 ： A B， 或 者 AB。 A B=， 则 表 示 A与 B不 可 能 同 时 发 生 ，称 事 件 A 与 事 件 B 互 不 相 容 或 者 互 斥 。 基 本 事 件 是 互 不 相 容 的 。-A称 为 事 件 A的 逆 事 件 ， 或 称 A 的 对 立 事 件 ， 记 为 A 。 它 表 示 A不 发 生的 事 件 。 互 斥
7、 未 必 对 立 。 运 算 ：结 合 率 ： A(BC)=(AB)C A (B C)=(A B) C分 配 率 ： (AB) C=(A C) (B C) (A B) C=(AC) (BC)德 摩 根 率 ： 11 i ii i AA BABA ， BABA （ 7） 概 率的 公 理 化定 义 设 为 样 本 空 间 ， A 为 事 件 ， 对 每 一 个 事 件 A 都 有 一 个 实 数 P(A)， 若 满足 下 列 三 个 条 件 ：1 0 P(A) 1，2 P( ) =13 对 于 两 两 互 不 相 容 的 事 件 1A ， 2A ， 有 11 )(i ii i APAP 常 称
8、为 可 列 （ 完 全 ） 可 加 性 。则 称 P(A)为 事 件 A 的 概 率 。（ 8） 古 典概 型 1 n 21, ，2 nPPP n 1)()()( 21 。设 任 一 事 件 A ， 它 是 由 m 21, 组 成 的 ， 则 有P(A)= )()()( 21 m = )()()( 21 mPPP nm 基 本 事 件 总 数所 包 含 的 基 本 事 件 数A（ 9） 几 何概 型 若 随 机 试 验 的 结 果 为 无 限 不 可 数 并 且 每 个 结 果 出 现 的 可 能 性 均 匀 ， 同 时 样 本 空间 中 的 每 一 个 基 本 事 件 可 以 使 用 一 个
9、 有 界 区 域 来 描 述 ， 则 称 此 随 机 试 验 为 几 何概 型 。 对 任 一 事 件 A，)( )()( L ALAP 。 其 中 L 为 几 何 度 量 （ 长 度 、 面 积 、 体 积 ） 。（ 10） 加 法公 式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时 ， P(A+B)=P(A)+P(B)（ 11） 减 法公 式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时 ， P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时 ， P(B)=1- P(B)概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1（ 12） 条 件概 率 定 义 设 A、 B 是
10、 两 个 事 件 ， 且 P(A)0， 则 称 )( )( APABP 为 事 件 A发 生 条 件 下 ， 事件 B发 生 的 条 件 概 率 ， 记 为 )/( ABP )( )( APABP 。条 件 概 率 是 概 率 的 一 种 ， 所 有 概 率 的 性 质 都 适 合 于 条 件 概 率 。例 如 P( /B)=1P(B /A)=1-P(B/A)（ 13） 乘 法公 式 乘 法 公 式 ： )/()()( ABPAPABP 更 一 般 地 ， 对 事 件 A1， A2， An， 若 P(A1A2 An-1)0， 则 有21( AAP )nA )|()|()( 213121 AAA
11、PAAPAP 21|( AAAP n )1nA 。（ 14） 独 立性 两 个 事 件 的 独 立 性设 事 件 A、 B满 足 )()()( BPAPABP ， 则 称 事 件 A、 B是 相 互 独 立 的 。若 事 件 A、 B相 互 独 立 ， 且 0)( AP ， 则 有)()( )()()( )()|( BPAP BPAPAPABPABP 若 事 件 A、 B相 互 独 立 ， 则 可 得 到 A与 B、 A与 B、 A与 B也 都 相 互 独立 。 必 然 事 件 和 不 可 能 事 件 与 任 何 事 件 都 相 互 独 立 。与 任 何 事 件 都 互 斥 。 多 个 事 件
12、 的 独 立 性设 ABC是 三 个 事 件 ， 如 果 满 足 两 两 独 立 的 条 件 ，P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)并 且 同 时 满 足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那 么 A、 B、 C相 互 独 立 。对 于 n 个 事 件 类 似 。（ 15） 全 概公 式 设 事 件 nBBB , 21 满 足1 nBBB , 21 两 两 互 不 相 容 ， ),2,1(0)( niBP i ，2 ni iBA 1 ，则 有 )|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP 。（
13、 16） 贝 叶斯 公 式 设 事 件 1B ， 2B ， ， nB 及 A满 足1 1B ， 2B ， ， nB 两 两 互 不 相 容 ， )(BiP 0， i 1， 2， ， n，2 ni iBA 1 ， 0)( AP ，则 nj jj iii BAPBP BAPBPABP 1 )/()( )/()()/( ， i=1， 2， n。此 公 式 即 为 贝 叶 斯 公 式 。)( iBP ， （ 1i ， 2， ， n） ， 通 常 叫 先 验 概 率 。 )/( ABP i ， （ 1i ， 2， ，概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1n） ， 通 常 称 为 后 验 概
14、 率 。 贝 叶 斯 公 式 反 映 了 “ 因 果 ” 的 概 率 规 律 ， 并 作 出 了“ 由 果 朔 因 ” 的 推 断 。（ 17） 伯 努利 概 型 我 们 作 了 n次 试 验 ， 且 满 足 每 次 试 验 只 有 两 种 可 能 结 果 ， A发 生 或 A不 发 生 ； n次 试 验 是 重 复 进 行 的 ， 即 A发 生 的 概 率 每 次 均 一 样 ； 每 次 试 验 是 独 立 的 ， 即 每 次 试 验 A发 生 与 否 与 其 他 次 试 验 A发 生 与否 是 互 不 影 响 的 。这 种 试 验 称 为 伯 努 利 概 型 ， 或 称 为 n重 伯 努
15、利 试 验 。用 p 表 示 每 次 试 验 A发 生 的 概 率 ， 则 A发 生 的 概 率 为 qp 1 ， 用 )(kPn 表示 n重 伯 努 利 试 验 中 A出 现 )0( nkk 次 的 概 率 ，knkknn qpkP C )( ， nk ,2,1,0 。第 2 章 随 机 变 量 及 其 分 布（ 1） 离 散型 随 机 变量 的 分 布律 设 离 散 型 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 为 Xk(k=1,2, )且 取 各 个 值 的 概 率 ， 即 事件 (X=Xk)的 概 率 为P(X=xk)=pk， k=1,2, ，则 称 上 式 为 离 散 型 随 机 变
16、量 X 的 概 率 分 布 或 分 布 律 。 有 时 也 用 分 布 列 的 形式 给 出 ： , ,|)( 21 21 kkk ppp xxxxXP X 。显 然 分 布 律 应 满 足 下 列 条 件 ：（ 1） 0kp ， ,2,1k ， （ 2） 1 1k kp 。（ 2） 连 续型 随 机 变量 的 分 布密 度 设 )(xF 是 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 ， 若 存 在 非 负 函 数 )(xf ， 对 任 意 实 数 x ， 有 x dxxfxF )()( ，则 称 X 为 连 续 型 随 机 变 量 。 )(xf 称 为 X 的 概 率 密 度 函 数 或 密
17、度 函 数 ， 简 称 概率 密 度 。密 度 函 数 具 有 下 面 4 个 性 质 ：1 0)( xf 。2 1)( dxxf 。（ 3） 离 散与 连 续 型随 机 变 量的 关 系 dxxfdxxXxPxXP )()()( 积 分 元 dxxf )( 在 连 续 型 随 机 变 量 理 论 中 所 起 的 作 用 与 kk pxXP )( 在 离散 型 随 机 变 量 理 论 中 所 起 的 作 用 相 类 似 。概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1（ 4） 分 布函 数 设 X 为 随 机 变 量 ， x是 任 意 实 数 ， 则 函 数)()( xXPxF 称 为
18、随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 ， 本 质 上 是 一 个 累 积 函 数 。)()()( aFbFbXaP 可 以 得 到 X 落 入 区 间 ,( ba 的 概 率 。 分 布函 数 )(xF 表 示 随 机 变 量 落 入 区 间 （ ， x内 的 概 率 。分 布 函 数 具 有 如 下 性 质 ：1 ,1)(0 xF x ；2 )(xF 是 单 调 不 减 的 函 数 ， 即 21 xx 时 ， 有 )( 1xF )( 2xF ；3 0)(lim)( xFF x ， 1)(lim)( xFF x ；4 )()0( xFxF ， 即 )(xF 是 右 连 续 的 ；5 )0()
19、()( xFxFxXP 。对 于 离 散 型 随 机 变 量 ， xx kk pxF )( ；对 于 连 续 型 随 机 变 量 ， x dxxfxF )()( 。（ 5） 八 大分 布 0-1分 布 P(X=1)=p, P(X=0)=q二 项 分 布 在 n重 贝 努 里 试 验 中 ， 设 事 件 A发 生 的 概 率 为 p 。 事 件 A发 生的 次 数 是 随 机 变 量 ， 设 为 X ， 则 X 可 能 取 值 为 n,2,1,0 。knkknn qpCkPkXP )()( ， 其 中nkppq ,2,1,0,10,1 ，则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p
20、 的 二 项 分 布 。 记 为),( pnBX 。当 1n 时 ， kkqpkXP 1)( ， 1.0k ， 这 就 是 （ 0-1） 分布 ， 所 以 （ 0-1） 分 布 是 二 项 分 布 的 特 例 。概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1泊 松 分 布 设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 ekkXP k!)( ， 0 ， 2,1,0k ，则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 记 为 )( X 或者 P()。泊 松 分 布 为 二 项 分 布 的 极 限 分 布 （ np= ， n ） 。超 几 何 分 布 ),min( ,2,
21、1,0,)( nMl lkCCCkXP nN kn MNkM 随 机 变 量 X服 从 参 数 为 n,N,M的 超 几 何 分 布 ， 记 为 H(n,N,M)。几 何 分 布 ,3,2,1,)( 1 kpqkXP k ， 其 中 p 0， q=1-p。随 机 变 量 X服 从 参 数 为 p的 几 何 分 布 ， 记 为 G(p)。均 匀 分 布 设 随 机 变 量 X 的 值 只 落 在 a， b内 ， 其 密 度 函 数 )(xf 在 a， b上 为 常 数 ab1 ， 即 ,0 ,1)( abxf 其 他 ，则 称 随 机 变 量 X 在 a， b上 服 从 均 匀 分 布 ， 记
22、为 XU(a， b)。分 布 函 数 为 x dxxfxF )()(当 a x1b。a x b概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1指 数 分 布 其 中 0 ， 则 称 随 机 变 量 X服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 。X的 分 布 函 数 为记 住 积 分 公 式 ：!0 ndxex xn )(xf )(xF ,xe 0x ,0, 0x ,1 xe 0x ,0 xx1时 ， 有 F（ x2,y） F(x1,y);当 y2y1时 ， 有 F(x,y2) F(x,y1);（ 3） F（ x,y） 分 别 对 x 和 y 是 右 连 续 的 ， 即 );0,(),(),0
23、(),( yxFyxFyxFyxF（ 4） .1),(,0),(),(),( FxFyFF（ 5） 对 于 ， 2121 yyxx 0)()()()( 11211222 yxFyxFyxFyxF ， .（ 4） 离 散型 与 连 续型 的 关 系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP )()()( ， （ 5） 边 缘分 布 离 散 型 X的 边 缘 分 布 为 ),2,1,()( jipxXPP ijjii ；Y的 边 缘 分 布 为 ),2,1,()( jipyYPP ijijj 。连 续 型 X的 边 缘 分 布 密 度 为 ；dyyxfxfX ),()(Y的 边 缘 分 布
24、密 度 为 .),()( dxyxfyfY概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1（ 6） 条 件分 布 离 散 型 在 已 知 X=xi的 条 件 下 ， Y取 值 的 条 件 分 布 为； iijij ppxXyYP )|(在 已 知 Y=yj的 条 件 下 ， X取 值 的 条 件 分 布 为,)|( jijji ppyYxXP 连 续 型 在 已 知 Y=y的 条 件 下 ， X的 条 件 分 布 密 度 为)( ),()|( yf yxfyxf Y ；在 已 知 X=x的 条 件 下 ， Y的 条 件 分 布 密 度 为)( ),()|( xf yxfxyfX（ 7） 独
25、 立性 一 般 型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离 散 型 jiij ppp 有 零 不 独 立连 续 型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直 接 判 断 ， 充 要 条 件 ： 可 分 离 变 量 正 概 率 密 度 区 间 为 矩 形二 维 正 态 分布 ,12 1),( 22 221 2121 1221 )(2)1(2 12 yyxxeyxf 0随 机 变 量 的函 数 若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn相 互 独 立 ， h,g为 连 续 函 数 ， 则 ：h（ X1， X2, Xm） 和 g（ Xm+1, Xn） 相 互 独 立 。特 例 ： 若 X与 Y独 立 ， 则
26、 ： h（ X） 和 g（ Y） 独 立 。例 如 ： 若 X与 Y独 立 ， 则 ： 3X+1和 5Y-2独 立 。概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1（ 8） 二 维均 匀 分 布 设 随 机 向 量 （ X， Y） 的 分 布 密 度 函 数 为 其 他,0 ),(1),( DyxSyxf D其 中 SD为 区 域 D 的 面 积 ， 则 称 （ X， Y） 服 从 D 上 的 均 匀 分 布 ， 记 为 （ X， Y） U（ D） 。例 如 图 3.1、 图 3.2和 图 3.3。y1 D1O 1 x图 3.1y1O 2 x图 3.2ydcO a b x图 3.3 D2
27、1D3概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1（ 9） 二 维正 态 分 布 设 随 机 向 量 （ X， Y） 的 分 布 密 度 函 数 为 ,12 1),( 22 221 2121 1221 )(2)1(2 12 yyxxeyxf其 中 1|,0,0, 21,21 是 5 个 参 数 ， 则 称 （ X， Y） 服 从 二 维 正 态 分布 ，记 为 （ X， Y） N（ )., 2221,21 由 边 缘 密 度 的 计 算 公 式 ， 可 以 推 出 二 维 正 态 分 布 的 两 个 边 缘 分 布 仍 为 正 态 分布 ，即 X N（ ).(), 22,2211 NY
28、但 是 若 X N（ )(), 22,2211 NY ， (X， Y)未 必 是 二 维 正 态 分 布 。（ 10） 函 数分 布 Z=X+Y 根 据 定 义 计 算 ： )()()( zYXPzZPzFZ 对 于 连 续 型 ， fZ(z) dxxzxf ),(两 个 独 立 的 正 态 分 布 的 和 仍 为 正 态 分 布 （ 222121 , ） 。n个 相 互 独 立 的 正 态 分 布 的 线 性 组 合 ， 仍 服 从 正 态 分 布 。 i iiC ， i iiC 222 Z=max,min(X1,X2, Xn) 若 nXXX 21, 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数
29、分 别 为)()()( 21 xFxFxF nxxx ， ， 则 Z=max,min(X1,X2, Xn)的 分 布函 数 为 ： )()()()( 21max xFxFxFxF nxxx )(1)(1)(11)( 21min xFxFxFxF nxxx 概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）12 分 布 设 n 个 随 机 变 量 nXXX , 21 相 互 独 立 ， 且 服 从 标 准 正 态 分布 ， 可 以 证 明 它 们 的 平 方 和 ni iXW 1 2的 分 布 密 度 为 .0,0 ,022 1)( 2122 uueunuf unn我 们 称 随 机 变 量 W
30、服 从 自 由 度 为 n的 2 分 布 ， 记 为 W )(2 n ，其 中 .2 0 12 dxexn xn 所 谓 自 由 度 是 指 独 立 正 态 随 机 变 量 的 个 数 ， 它 是 随 机 变 量分 布 中 的 一 个 重 要 参 数 。2 分 布 满 足 可 加 性 ： 设 ),(2 ii nY 则 ).(211 2 kki i nnnYZ t分 布 设 X， Y 是 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 且 ),(),1,0( 2 nYNX 可 以 证 明 函 数 nYXT /的 概 率 密 度 为 2121221)( nntnn ntf ).( t我 们 称 随
31、 机 变 量 T 服 从 自 由 度 为 n的 t分 布 ， 记 为 T t(n)。)()(1 ntnt 概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1F分 布 设 )(),( 2212 nYnX ， 且 X 与 Y 独 立 ， 可 以 证 明21/nY nXF 的 概 率 密 度 函 数 为 0,0 0,122 2)( 2211222121 21 2111 y yynnynnnn nnyf nnnn我 们 称 随 机 变 量 F服 从 第 一 个 自 由 度 为 n1， 第 二 个 自 由 度 为 n2的 F 分 布 ， 记 为 F f(n1, n2).),( 1),( 12211 n
32、nFnnF 第 4 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征（ 1）一 维随 机变 量的 数字 特征 离 散 型 连 续 型期 望期 望 就 是 平 均 值 设 X是 离 散 型 随 机 变 量 ， 其 分 布律 为 P( kxX ) pk ，k=1,2, ,n， nk kk pxXE 1)(（ 要 求 绝 对 收 敛 ） 设 X 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 密度 为 f(x)， dxxxfXE )()(（ 要 求 绝 对 收 敛 ）函 数 的 期 望 Y=g(X) nk kk pxgYE 1 )()( Y=g(X) dxxfxgYE )()()(方 差D(X)=EX-E(X
33、)2，标 准 差 )()( XDX ， k kk pXExXD 2)()( dxxfXExXD )()()( 2概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1矩 对 于 正 整 数 k， 称 随 机 变 量 X的 k 次 幂 的 数 学 期 望 为 X 的 k阶 原 点 矩 ， 记 为 vk,即 k=E(Xk)= i iki px ,k=1,2, . 对 于 正 整 数 k， 称 随 机 变 量 X与 E（ X） 差 的 k 次 幂 的 数 学 期望 为 X 的 k阶 中 心 矩 ， 记 为 k ，即. )( kk XEXE = i iki pXEx )( ，k=1,2, . 对 于 正
34、 整 数 k， 称 随 机 变 量 X 的k次 幂 的 数 学 期 望 为 X的 k阶 原 点矩 ， 记 为 vk,即 k=E(Xk)= ,)( dxxfxkk=1,2, . 对 于 正 整 数 k， 称 随 机 变 量 X 与E（ X） 差 的 k 次 幂 的 数 学 期 望 为 X的 k 阶 中 心 矩 ， 记 为 k ， 即. )( kk XEXE = ,)()( dxxfXEx kk=1,2, .切 比 雪 夫 不 等 式 设 随 机 变 量 X 具 有 数 学 期 望 E（ X） = ， 方 差 D（ X） = 2， 则 对 于任 意 正 数 ， 有 下 列 切 比 雪 夫 不 等
35、式22)( XP切 比 雪 夫 不 等 式 给 出 了 在 未 知 X的 分 布 的 情 况 下 ， 对 概 率)( XP的 一 种 估 计 ， 它 在 理 论 上 有 重 要 意 义 。（ 2）期 望的 性质 （ 1） E(C)=C（ 2） E(CX)=CE(X)（ 3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， ni ni iiii XECXCE 1 1 )()(（ 4） E(XY)=E(X) E(Y)， 充 分 条 件 ： X和 Y独 立 ；充 要 条 件 ： X和 Y不 相 关 。（ 3）方 差的 性质 （ 1） D(C)=0； E(C)=C（ 2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=
36、aE(X)（ 3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（ 4） D(X)=E(X2)-E2(X)（ 5） D(X Y)=D(X)+D(Y)， 充 分 条 件 ： X 和 Y 独 立 ；充 要 条 件 ： X 和 Y 不 相 关 。D(X Y)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)， 无 条 件 成 立 。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)， 无 条 件 成 立 。（ 4）常 见分 布 期 望 方 差0-1分 布 ),1( pB p )1( pp 概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1的 期望 和方 差 二 项 分 布 ),( pnB
37、 np )1( pnp 泊 松 分 布 )(P 几 何 分 布 )(pG p1 21p p超 几 何 分 布 ),( NMnH NnM 11 N nNNMNnM均 匀 分 布 ),( baU 2ba 12 )( 2ab指 数 分 布 )(e 1 21正 态 分 布 ),( 2N 2分 布2 n 2nt 分 布 0 2n n (n2)（ 5）二 维随 机变 量的 数字 特征 期 望 ni ii pxXE 1)( nj jj pyYE 1)( dxxxfXE X )()( dyyyfYE Y )()(函 数 的 期 望 ),( YXGE i j ijji pyxG ),( ),( YXGE dxd
38、yyxfyxG ),(),(方 差 i ii pXExXD 2)()( j jj pYExYD 2)()( dxxfXExXD X )()()( 2 dyyfYEyYD Y )()()( 2概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1协 方 差 对 于 随 机 变 量 X与 Y， 称 它 们 的 二 阶 混 合 中 心 矩 11 为 X 与 Y 的 协 方差 或 相 关 矩 ， 记 为 ),cov( YXXY或 ， 即).()(11 YEYXEXEXY 与 记 号 XY 相 对 应 ， X 与 Y 的 方 差 D（ X） 与 D（ Y） 也 可 分 别 记 为 XX与 YY 。相 关
39、系 数 对 于 随 机 变 量 X 与 Y， 如 果 D（ X） 0, D(Y)0， 则 称)()( YDXD XY为 X与 Y的 相 关 系 数 ， 记 作 XY （ 有 时 可 简 记 为 ） 。| | 1， 当 | |=1 时 ， 称 X 与 Y 完 全 相 关 ： 1)( baYXP完 全 相 关 ，时负 相 关 ， 当 ，时正 相 关 ， 当 )0(1 )0(1 aa而 当 0 时 ， 称 X与 Y不 相 关 。以 下 五 个 命 题 是 等 价 的 ： 0XY ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D
40、(Y).协 方 差 矩 阵 YYYX XYXX 混 合 矩 对 于 随 机 变 量 X 与 Y， 如 果 有 )( lkYXE 存 在 ， 则 称 之 为 X 与 Y 的k+l阶 混 合 原 点 矩 ， 记 为 kl ； k+l阶 混 合 中 心 矩 记 为 ：.)()( lkkl YEYXEXEu （ 6）协 方差 的性 质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).概 率 论 与 数 理
41、统 计 公 式 （ 全 ）1（ 7）独 立和 不相 关 （ i） 若 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则 0XY ； 反 之 不 真 。（ ii） 若 （ X， Y） N（ , 222121 ） ，则 X 与 Y 相 互 独 立 的 充 要 条 件 是 X 和 Y 不 相 关 。第 5 章 大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理（ 1） 大 数 定 律X 切 比 雪夫 大 数定 律 设 随 机 变 量 X1， X2， 相 互 独 立 ， 均 具 有 有 限 方 差 ， 且 被 同 一常 数 C 所 界 ： D（ Xi） C(i=1,2, ),则 对 于 任 意 的 正 数
42、， 有.1)(11lim 11 ni ini in XEnXnP特 殊 情 形 ： 若 X1， X2， 具 有 相 同 的 数 学 期 望 E（ XI） = ，则 上 式 成 为 .11lim 1 ni in XnP伯 努 利大 数 定律 设 是 n 次 独 立 试 验 中 事 件 A 发 生 的 次 数 ， p 是 事 件 A 在每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 ， 则 对 于 任 意 的 正 数 ， 有.1lim pnPn伯 努 利 大 数 定 律 说 明 ， 当 试 验 次 数 n 很 大 时 ， 事 件 A 发 生的 频 率 与 概 率 有 较 大 判 别 的 可 能 性 很 小
43、 ， 即 .0lim pnPn这 就 以 严 格 的 数 学 形 式 描 述 了 频 率 的 稳 定 性 。辛 钦 大数 定 律 设 X1， X2， ， Xn， 是 相 互 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 且 E（ Xn） = ， 则 对 于 任 意 的 正 数 有.11lim 1 ni in XnP概 率 论 与 数 理 统 计 公 式 （ 全 ）1（ 2） 中 心 极 限 定理 ),( 2nNX 列 维 林 德 伯格 定 理 设 随 机 变 量 X1， X2， 相 互 独 立 ， 服 从 同 一 分 布 ， 且 具 有相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ：),2,1
44、(0)(,)( 2 kXDXE kk ， 则 随 机 变 量 n nXY nk kn 1的 分 布 函 数 Fn(x)对 任 意 的 实 数 x， 有 x tnk knnn dtexn nXPxF .21lim)(lim 21 2 此 定 理 也 称 为 独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理 。棣 莫 弗 拉 普拉 斯 定理 设 随 机 变 量 nX 为 具 有 参 数 n, p(0p1)的 二 项 分 布 ， 则 对 于任 意 实 数 x,有 x tnn dtexpnp npXP .21)1(lim 22（ 3） 二 项 定 理 若 当 ),(, 不 变时 knpNMN ， 则knkknnN kn MNkM ppCCCC )1( ).( N超 几 何 分 布 的 极 限 分 布 为 二 项 分 布 。（ 4） 泊 松 定 理 若 当 0, npn 时 ， 则 ekppC kknkkn !)1( ).( n其 中 k=0， 1， 2， ， n， 。二 项 分 布 的 极 限 分 布 为 泊 松 分 布 。第 6 章 样 本 及 抽 样 分 布（ 1） 数 理统 计 的 基本 概 念 总 体 在 数 理 统 计 中 ， 常 把 被 考 察 对 象 的 某 一 个 （ 或 多 个 ） 指 标 的 全体 称 为
