1、考研数学一（高等数学）-试卷 144 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：2，分数：4.00)1.已知方程 （分数：2.00）填空项 1:_2.微分方程 y6y9y0 的通解 y 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：24，分数：48.00)3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_4.求下列微分方程的通解： (I)(x 一 2)dyy2(x 一 2) 3 dx； ()y 2 dx(xy 2 )dy； ()(3y 一 7x)dx(7y 一 3x)dy0； () （分数：2.00）_5.求下列微分方程的通解或特解：
2、(I) 一 4y4x 2 ，y(0) ，y(0)2；() （分数：2.00）_6.求方程 y2myn 2 y0 的通解；又设 yy(x)是满足 y(0)a，y(0)b 的特解，求 （分数：2.00）_7.设 yy(x)在0，)内可导，且在 x0 处的增量yy(xx)一 y(x)满足y(1y)（分数：2.00）_8.设函数 f(x)连续，且 f(t)dtsin 2 x （分数：2.00）_9.设有微分方程 y一 2y(x)，其中 (x) （分数：2.00）_10.设函数 f(x)在0，)上连续，且满足方程 f(t) （分数：2.00）_11.已知 y 1 * xe x e 2x ，y 2 * x
3、e x e x ，y 3 * xe x e 2x e x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_12.求解初值问题 （分数：2.00）_13.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明： （分数：2.00）_14.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图 64)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 x 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_15.在0，)上给定曲线 yy(x)0，y(0)2，y(x)有连续导数已知 （分数：2.00）_16.设 f(x)为
4、连续正值函数，x0，)，若平面区域 R t (x，y)0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 yf(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 （分数：2.00）_17.设曲线 yy(x)上 （分数：2.00）_18.求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆（分数：2.00）_19.设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，已知此绳受1 克重量的外力作用时伸长 （分数：2.00）_20.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1 kg 肥皂（分数：2.00）_21.
5、设物体 A 从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(一 1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_22.已知 ， 都是单位向量，夹角是 （分数：2.00）_23.若 ，6，3，一 2，而14，求 （分数：2.00）_24.若 ， 是单位向量且满足 0，求以 ， 为边的平行四边形的面积（分数：2.00）_25.已知 ， 不共线，证明 0 的充要条件是 （分数：2.00）_26.把直线 L 的方程 （分数
6、：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 144 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：2，分数：4.00)1.已知方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x x）解析：解析：因 y 1 ，y 2 线性无关，该方程的通解 yC 1 e x C 2 x由初始条件得 C 1 1，C 1 C 2 2 C 1 1，C 2 1 2.微分方程 y6y9y0 的通解 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(C 1 C 2 x)e 3x）解析：解析：特征方程 2 690，即(3) 2 0通解为 y(C 1 C 2 x)e 3x
7、 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数二、解答题(总题数：24，分数：48.00)3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：4.求下列微分方程的通解： (I)(x 一 2)dyy2(x 一 2) 3 dx； ()y 2 dx(xy 2 )dy； ()(3y 一 7x)dx(7y 一 3x)dy0； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)原方程改写成 2(x2) 2 (一阶线性方程) ，两边乘 2(x 一 2) 积分得 y(x 一 2) 2 C 通解 y(x 一 2) 3 C(x 一 2)，其中 C 为任意常数. (II)原方程改写成 (以 y
8、为自变量，是一阶线性的) 两边乘 通解 ，其中 C为任意常数 ()原方程改写成 通解为(x 一 y) 2 (xy) 5 C，其中 C 为任意常数 ()这是伯努利方程将原方程改写成 故通解为 )解析：5.求下列微分方程的通解或特解： (I) 一 4y4x 2 ，y(0) ，y(0)2；() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)相应齐次方程的特征方程 2 一 40，特征根 2零不是特征根，方程有特解 y * ax 2 bxc，代入方程得 2a 一 4(ax 2 bxc)4x 2 4a4，b0，2a4c0 a1，c 由初值 y(0)C 1 C 2 ，y(0) 2C 1 2C 2 2 因此
9、得特解为 (II)相应齐次方程的特征方程 2 320，特征根 1 一 1， 2 一 2由于非齐次项是 e x cosx；，一 1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y * e x (acosxbsinx) 代入原方程比较等式两端 e x cosx 与 e x sinx 的系数，可确定出 ，所以非齐次方程的通解 为 yC 2 e x C 2 e 2x )解析：6.求方程 y2myn 2 y0 的通解；又设 yy(x)是满足 y(0)a，y(0)b 的特解，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 2 2mn 2 0，特征根 一 m ，通解为 注意：指数均为负的 将方程两边积分
10、)解析：7.设 yy(x)在0，)内可导，且在 x0 处的增量yy(xx)一 y(x)满足y(1y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式可得(1y) ，令x0 即得 从而 yy(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 方程两边乘 ，两边积分得 Cln(4x) yC(4x)(4x)ln(4x) 令 x0，y2 可确定常数 y( 2ln2)(4x)(4x)ln(4x)(4x) )解析：8.设函数 f(x)连续，且 f(t)dtsin 2 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程即得 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=
11、2sinxcosx 0 x f(u)dusin2x+ 0 x f(u)du (在中令 x0，得00，不必另加条件与同解) 在式中令 x0 可得 f(0)0，由式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)2cos2xf(x) 故求 yf(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 )解析：9.设有微分方程 y一 2y(x)，其中 (x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程 y一 2y2 的两边同乘 e 2x 得(ye 2x )2e 2x ，积分
12、得通解 yC 1 e 2x 一 1； 而当 x1 时，方程 y一 2y0 的通解为 yC 2 e 2x 为保持其在 x1 处的连续性，应使 C 1 e 2 1C 2 e 2 ，即 C 2 C 1 一 e 2 ，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C 1 1，即所求特解为 )解析：10.设函数 f(x)在0，)上连续，且满足方程 f(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 代入原方程得 两边对 t 求导得 在前一个方程中令 t0 得 f(0)1 求 f(t)转化为求解初值问题这是一阶线性方程，两边乘 )解析：11.已知 y 1 * xe x e
13、 2x ，y 2 * xe x e x ，y 3 * xe x e 2x e x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y 1 * y 3 * e x ，y 2 * y 3 * 2e x e 2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y 1 e x ，y 2 2(y 1 * y 3 * )一(y 2 * y 3 * )e 2x ， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4 * y 1 * y 2 xe x 因此该非齐次方程的通解是 yC 1 e x C 2
14、e 2x xe x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 ypyqyf(x) 它的相应特征根是 1 一 1， 2 2，于是特征方程是 (1)( 一 2)0，即 2 一 一 20 因此方程为 y一 y一 2yf(x) 再将特解 y 4 * xe x 代入得 (x2)e x (x1)e x 2xe x f(x)，即 f(x)(12x)e x 因此方程为 yy2y(12x)e x)解析：12.求解初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是可降阶类型的(方程不显含 x)令 p ，并以 y 为自变量变换原方程代入原方程得 由初值得 积分得
15、 最后得 )解析：13.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为对任意常数 C，y 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则即存在常数 C，使得 )解析：14.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图 64)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 x 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设凸弧的方程为 yf(x)，因梯形 OAPC 的面积为 1f(x)， 故 两边对 x 求导，则得 yf(x)所满足的微分方程为 xy
16、一 y一 6x 2 一 1 (原方程中令 x0 得 00，不必另加条 件，它与原方程等价) 其通解为 对任意常数 C，总有 y(0)1，即此曲线族均通过点A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即 y(1)0，由此即得 C5，即所求曲线为 y5x6x 2 1 )解析：15.在0，)上给定曲线 yy(x)0，y(0)2，y(x)有连续导数已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程，定初值 在0，x上侧面积与体积分别为 按题意 y(0)2 (II)转化将式两边求导得 2y(x) (在中令 x0，得 00，不必另附加条件)化简得 ()解初值问题 式分离变量得 积分得 为解出
17、y，两边乘 将相加得 )解析：16.设 f(x)为连续正值函数，x0，)，若平面区域 R t (x，y)0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 yf(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 而相应的曲边梯形的面积为 0 t f(x)dx见图 62按题意 (II)转化将方程两边求导，则 方程 f 2 (t)4f(t) 0 t f(x)dxf(t) f(t)4 0 t f(x)dx1 (中令 x0，等式自然成立，不必另加条件) f(x)实质上是可导的，再将方程两边求导，并在中令 t0 得 方程 ()求
18、解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘 (t) )解析：17.设曲线 yy(x)上 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)列方程曲线 yy(x)在 点(x，y)处的切线斜率为 ，与原点连线的斜率为 (II)解方程将方程改写为 ydyxdx0，即 d(x 2 y 2 )0 于是通解为 x 2 y 2 C(C0 为 )解析：18.求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由曲率半径公式知，曲线 yy(x)满足 解方程： 积分得 又由 由和式得 (xC 1 ) 2 (yC 2 ) 2 a 2 ，即曲线是圆周 若 )解析：19.设
19、有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，已知此绳受1 克重量的外力作用时伸长 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 s，向下为正 s?时，v(速度)0 (I)受力分析 弹性恢复力 fks 由条件知 gk k24g f24gs，g 为重力加速度 重力 mg3g ()加速度表示由题目的需要，加速度 ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得 3g 一 24gs 初始条件：t0 时 s(0)0， ()求解初值问题 分离变量得 vdv(g 一 8gs)ds gs 一 4gs 2 C 由 v(0)0 C0 gs
20、一4gs 2 (V)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v0解 gs 一 4gs 2 0 得 s0，s 因此，s )解析：20.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1 kg 肥皂（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg，任取t，tdt，这段时间内 肥皂含量的减少量抽出水的肥皂含量，即 解此初值问题得 Q(t) )解析：21.设物体 A 从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(一 1，0)与 A 同时出发，其速
21、度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：规定 A 出发的时刻 t0 1 列方程.t 时刻 A 位于(0，1vt).t 时刻 B 位于点(x(t)，y(t)，B 点的速度 (一 x，1vty)同向(见图 63) 又 B 点的速度大小为讲一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足的微分方程将式两边对 x 求导得 由式将它代入得 yy(x)满足的微分方程为 )解析：22.已知 ， 都是单位向量，夹角是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1，1
22、，cos， (2)(2)422154 (一 32)(一 32)9 一 6641312 7， (2)(一 32)6342一 4 )解析：23.若 ，6，3，一 2，而14，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x，y，z，由 147 2 26，3，2)解析：24.若 ， 是单位向量且满足 0，求以 ， 为边的平行四边形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记，则面积 Ssin 下求：由 0 因此 )解析：25.已知 ， 不共线，证明 0 的充要条件是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 0 0 一0 同理，由0 0 设 ，则 ()， ()0， ()0 ， 均与 共线 )解析：26.把直线 L 的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 L 的方向向量 再求一交点令 x0 得 因此直线 L 的方程为 )解析：
