1、考研数学三-概率论与数理统计(三)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：50，分数：100.00)1.齐次方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是AA 是 n 阶可逆矩阵 B非齐次方程组 Ax=b 无解CA 的列向量组线性无关 DA 的行向量组线性无关（分数：2.00）A.B.C.D.2.设 A 为秩是 r 的 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是Ar=m Bm=n.Cr=n Dmn（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是A秩 r(A)=min(m，n) BA 的行向量组
2、线性无关Cmn DA 的列向量组线性无关（分数：2.00）A.B.C.D.4.设线性方程组 Ax=b 有 m 个方程，n 个未知数且 mn，则正确命题是A若 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 必有唯一解B若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 必有无穷多解C若 Ax=b 无解，则 Ax=0 只有零解D若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 必有非零解（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是A若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解B若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解C若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解
3、D若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解（分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 4 阶方阵 A= 1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4均为四维列向量，其中 1， 2线性无关，若 1+2 2- 3=， 1+ 2+ 3+ 4=，2 1+3 2+ 3+2 4=，k 1，k 2为任意常数，那么 Ax= 的通解为A .B .C .D （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A 为 n 阶矩阵，A T是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()A TAx=0，必有A()的解是()的解，()的解也是()的解B()的解是()的解，()的解不是()的解C()的解是()的
4、解，()的解不是()的解D()的解不是()的解，()的解也不是()的解（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=0，现有四个命题(1)()的解必是()的解 (2)()的解必是()的解(3)()的解不是()的解 (4)()的解不是()的解以上命题中正确的是A(1)(2) B(1)(4)C(3)(4) D(2)(3)（分数：2.00）A.B.C.D.9.设矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.10.已知 A 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是AA- B2A-C
5、A+2 DA-4.（分数：2.00）A.B.C.D.11.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是AA T BA 2 CA -1 DA-（分数：2.00）A.B.C.D.12.矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.13.矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.14.已知 =(1，-2，3) T是矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中(1)A2 (2)P-1AP (3)AT (4)E- （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 A 是 n 阶矩阵，
6、下列命题中正确的是A若 是 AT的特征向量，那么 是 A 的特征向量B若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量C若 是 A2的特征向量，那么 是 A 的特征向量D若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（分数：2.00）A.B.C.D.17.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A3=3A-2A 2，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是A BA+2CA 2-A DA 2+2A-3（分数：2.00）A.B.C.D.18.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1， 2， 3，若 P= 1，2 3，- 2
7、，则 p-1AP=A .B .C .D （分数：2.00）A.B.C.D.19.已知 （分数：2.00）A.B.C.D.20.已知矩阵 ，那么下列矩阵中(1) ，(2) ，(3) ，(4) （分数：2.00）A.B.C.D.21.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是A .B .C .D （分数：2.00）A.B.C.D.22.下列矩阵中，A 和 B 相似的是ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.23.设 A 是三阶矩阵， 是三阶可逆阵，且 ，则 AA .B .C .D （分数：2.00）A.B.C.D.24.设 A、B、C、D 都是 n 阶矩阵，且 AC,BD，则必有A(A+B)(C+D)
8、B .CABCDD （分数：2.00）A.B.C.D.25.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，若 AB，则下列命题中(1)ABBA (2)A 2B 2 (3)A-1B -1 (4)ATB T正确的命题共有A4 个 B3 个 C2 个 D1 个（分数：2.00）A.B.C.D.26.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0A必是 A 的二重特征值B至少是 A 的二重特征值C至多是 A 的二重特征值D一重、二重、三重特征值都有可能（分数：2.00）A.B.C.D.27.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有A秩 r(A)=0 B秩 r(A)=1C秩 r(A)=2 D条件不足，不能确定（分数：2.00
9、）A.B.C.D.28.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 与 B 相似的A充分必要条件 B必要而非充分条件C充分而非必要条件 D既非充分也非必要条件（分数：2.00）A.B.C.D.29.n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征向量是 A 与 B 相似的A充分必要条件 B充分而非必要条件C必要而非充分条件 D既不充分又不必要条件（分数：2.00）A.B.C.D.30.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的A充分必要条件 B充分而非必要条件C必要而非充分条件 D既不充分也不必要条件（分数：2.00）A.B.C.D.31.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1
10、，-1，则下列命题中不正确的是A矩阵 A-E 是不可逆矩阵B矩阵 A+E 和对角矩阵相似C矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交D方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成（分数：2.00）A.B.C.D.32.二次型 f(x1，x 2，x 3)= -4x1x2+2x2x3的标准形可以是A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.33.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2-5(x2+x2)2的规范形是A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.34.下列矩阵中，正定矩阵是A .B .C .D （分数：2.00）A.B.C.D.35
11、.对于 n 元二次型 xTAx，下述命题中正确的是A化 xTAx 为标准形的坐标变换是唯一的B化 xTAx 为规范形的坐标变换是唯一的Cx TAx 的标准形是唯一的Dx TAx 的规范形是唯一的（分数：2.00）A.B.C.D.36.下列矩阵中 A 与 B 合同的是A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.37.与二次型 f= +6x1x2的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是A .B .C .D （分数：2.00）A.B.C.D.38.设 A，B 均 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则AA 与 B 有相同的特征值 BA 与 B 有相同的秩CA 与 B 有相同的特征向量 DA 与 B
12、有相同的行列式（分数：2.00）A.B.C.D.39.下列二次型中正定二次型是Af 1=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2Bf 2=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2Cf 3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2Df 4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4-x1)2（分数：2.00）A.B.C.D.40.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 CA等价但不相似 B合同但不相似C相似但不合同 D等价，合同且相似（分
13、数：2.00）A.B.C.D.41.现有一批电子元件，系统初始先由一个元件工作，当其损坏时，立即更换一个新 元件接替工作如果用 Xi表示第 i 个元件的工作寿命，那么事件 A=“到时刻 T 为止，系统仅 更换一个元件”可以表示为AA=X 1T BA=X 1+X2TCA=X 1+X2T DA=X 1T，X 1+X2T（分数：2.00）A.B.C.D.42.设事件 A 与 B 相互独立，且 0P(A)1，0P(B)1，则能下结论：AA 与 AB 一定不独立 BA 与 A-B 一定不独立CA 与 B-A 一定不独立 DA 与 AB 一定不独立（分数：2.00）A.B.C.D.43.设随机变量 X 在
14、0，1上服从均匀分布，记事件 ，B= （分数：2.00）A.B.C.D.44.将一枚硬币独立投掷二次，记事件 A=“第一次掷出正面”，B=“第二次掷出反面”，C=“正面最多掷出一次”，则事件AA，B，C 两两独立 BA 与 BC 独立CB 与 AC 独立 DC 与 AB 独立（分数：2.00）A.B.C.D.45.设 A，B，C 为随机事件，A 与 B 相互独立，P(C)=1则可作不相互独立事件组AA，B，A BA，B，A-CA，B，A DA，B， （分数：2.00）A.B.C.D.46.已知 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 P( |B)=P(B| ) 充要条件是AP(B|
15、A)=P(B| ) BP(A|B)=P(A| )CP( |A)=P(A| ) DP(A|B)=P( （分数：2.00）A.B.C.D.47.设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是AP(A|B)+P( |B)=1 BP(A|B)+P(A| )=1CP(A|B)+P =1 DP(A| )+P （分数：2.00）A.B.C.D.48.设随机事件 A 与 B 互不相容，则AP 一 0BP 0CP(A )=P(A) DP(A )=P( （分数：2.00）A.B.C.D.49.对任意两个互不相容的事件 A 与 B，必有A如果 P(A)=0，则 P(B)=0 B
16、如果 P(A)=0，则 P(B)=1C如果 P(A)=1，则 P(B)=0 D如果 P(A)=1，则 P(B)=1（分数：2.00）A.B.C.D.50.设 A，B 为随机事件，P(B)0，则AP(AB)P(A)+P(B) BP(A-B)P(A)-P(B)CP(AB)P(A)P(B) DP(A|B) （分数：2.00）A.B.C.D.考研数学三-概率论与数理统计(三)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：50，分数：100.00)1.齐次方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是AA 是 n 阶可逆矩阵 B非齐次方程组 Ax=b 无解CA 的列向量组线性无关
17、DA 的行向量组线性无关（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 A 是 mn 矩阵，则齐次方程组 Ax=0 只有零解 r(A)=n A 的列向量组线性无关故应选 C注意方程组不一定是 n 个方程 n 个未知数，所以 A 是充分条件，不必要方程组 Ax=b 无解 r(A)r 此时 r(A)可以为 n 也可以不等于 n例如 都有方程组 Ax=b 无解但齐次方程组 和2.设 A 为秩是 r 的 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是Ar=m Bm=n.Cr=n Dmn（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 A 是 mn 矩阵，r(A)=m 说明 A 的行向
18、量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的 m 个行向量也必线性无关因此，r(A)=r =m，即方程组 Ax=b 必有解但方程组有解时，并不要求秩必为 m所以 A 是充分条件那么 B、C、D 错在何处?当 m=n 时，A 是秩为 r 的 n 阶矩阵，由于增广矩阵的秩不能保证必是 r，因此推导不出方程组必有解；当 r(A)=n 时，增广矩阵的秩 r 有可能是 n+1，因此不能保证 Ax=b 必有解(注意 A 是 mn 矩阵，m有可能大于 n)你能举个反例吗?当方程个数小于未知数个数时，Ax=b 是否有解仍是不确定的所以 B、C、D 均不是方程组有解的充分条件请考查下列方程组，以
19、说明 B、C、D 均不正确3.设 A 是 mn 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分条件是A秩 r(A)=min(m，n) BA 的行向量组线性无关Cmn DA 的列向量组线性无关（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(A，b)当 A 的行向量组线性无关时，有 r(A)=m，那么此时亦有 r(A，b)=m，所以方程组 Ax=b 有解但是当 A 的行向量组线性相关时，方程组 Ax=b 也可能有解例如 ，故 B 是充分条件注意当 mn 时，若 r(A)=min(m，n)=m，方程组 Ax=b 有解，而 mn 时，由 r(A)=n r(A
20、，b)=n，故 A 不正确例如 ，有 r(A)=2 而 r =3当 mn 时，齐次方程组 Ax=0 肯定有非零解而非齐次线性方程组 Ax=b 则可以无解，这里不要混淆例如4.设线性方程组 Ax=b 有 m 个方程，n 个未知数且 mn，则正确命题是A若 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 必有唯一解B若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 必有无穷多解C若 Ax=b 无解，则 Ax=0 只有零解D若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 必有非零解（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 Ax=0 只有零解 r(A)=n，但 r(A)=n r =n，所以 A 不正确Ax=0 有非零解 r(A)
21、n，但 r(A)n r(A)=r ，所以 B 不正确Ax=b 无解 r(A)r ，但 r(A)r r(A)n，所以 C 不正确Ax=b 有无穷多解 r(A)=r n，自然有 r(A)n，故 D 正确请构造简单的反例说明 A、B、C 均错误5.设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是A若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解B若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解C若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解D若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 A 是 mn 矩阵，若 A 中有 n 阶
22、子式不为零，而 A 中又不存在 n+1 阶子式，故必有 r(A)=n同理，若 A 中有 m 阶子式不为零，则必有 r(A)=m，本题就是考查秩与方程组解之间的关系.对于(A)，因为 r(A)=n，而 Ax=0 是 n 个未知数的齐次方程组，所以 Ax=0 必只有零解关于 B，当 r(A)=n 时，增广矩阵 的秩有可能是 n+1，所以 Ax=b 可能无解即 B 不正确为此，请思考下例有 r(A)=2，r =3，方程组无解.至于 C 和 D，r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 r =m因此，方程组 Ax=b 必有解但是否必有唯一解?Ax=0 是否只有零解都是不
23、确定的例如，仅当 m=n 时，C、D 才正确本题涉及矩阵的秩、向量组的秩的概念及相互关系，Ax=0 及 Ax=b 解的理论另外要注意的是，当 A 是mn 矩阵且 r(A)=n 时，不要误以为必有 r =n，因为 r6.已知 4 阶方阵 A= 1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4均为四维列向量，其中 1， 2线性无关，若 1+2 2- 3=， 1+ 2+ 3+ 4=，2 1+3 2+ 3+2 4=，k 1，k 2为任意常数，那么 Ax= 的通解为A .B .C .D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 1+2 2- 3= 知7.设 A 为 n 阶矩阵，A T是 A 的转置
24、矩阵，对于线性方程组()Ax=0 和()A TAx=0，必有A()的解是()的解，()的解也是()的解B()的解是()的解，()的解不是()的解C()的解是()的解，()的解不是()的解D()的解不是()的解，()的解也不是()的解（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 如果 是()的解，有 A0，可得ATA=A T(A)A T00即 是()的解故()的解必是()的解反之，若 是()的解，有 ATA=0，用 T左乘可得(A) T(A)=( TAT)(A)= T(ATA)= T0=0若设 A=(b 1，b 2，b n)T，那么(A) T(A)= =0bi=0(i=1，2，n)即 A=0亦
25、即 是()的解因此()的解也必是()的解所以应选 A若 =( 1， 2， 3)T，则 T= ，因此 T=08.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=0，现有四个命题(1)()的解必是()的解 (2)()的解必是()的解(3)()的解不是()的解 (4)()的解不是()的解以上命题中正确的是A(1)(2) B(1)(4)C(3)(4) D(2)(3)（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 若 An=0，则 An+1=A(A n)=A0=0，即若 是()的解，则 必是()的解，可见命题(1)正确下面的问题是选 A 还是选 B?即(2)与(4)哪一个
26、命题正确?如果 An+1=0，而 An0，那么对于向量组 ，A，A 2，A n，一方面有：若 k+k 1A+k 2A2+k nAn=0，用 An左乘上式的两边，并把 An+1=0，A n+2=0，代入，得kAn=0，由于 An0 而知必有 k=0类似地用 An-1左乘可得 k1=0，因此， 1，A，A 2，A n 线性无关但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量它们必然线性相关，两者矛盾故 An+1=0 时，必有 An=0，即()的解必是()的解因此命题(2)正确9.设矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由特征值的性质： i=a ii现在a ii=1+(-3)+1=-1，故可
27、排除 C显然，矩阵 A 中第 2、第 3 两列成比例，易知行列式|A|=0，故 =0 必是 A 的特征值，因此可排除 B对于 A 和 D 的选择，我们可以用特殊值法，由于说明 =1 不是矩阵 A 的特征值故可排除 A这一类题目可以直接计算 A 的特征多项式另一个方法是验算代入 值，那个选项的 满足|E-A|=0但是应当会用： i=a ii，10.已知 A 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是AA- B2A-CA+2 DA-4.（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 A*的特征值是 1，-1，2，4 知|A *|=-8，又因
28、|A *|=|A|n-1而知|A| 3=-8，于是|A|=-2那么，矩阵 A 的特征值是：-2，2，-1， 因此，AE 的特征值是-3，1，-2， ，因为特征值非 0，故矩阵 A-E 可逆类似地易见，矩阵 A+2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A+2E 不可逆既要会由矩阵 A 的特征值求 A*的特征值，也要会由 A*的特征值求 A 的特征值若 1是 A 的特征值，则 是 A*特征值。即 1 1*=|A|根据|A|=11.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是AA T BA 2 CA -1 DA-（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于|E-A T|=|(E
29、-A) T=|E-A|A 与 AT有相同的特征多项式，所以 A 与 AT有相同的特征值由 A=，0 可得到：A2= 2，A -1=12.矩阵 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 如果(A)中(-1，1，0) T不是矩阵 A 的特征向量，则 D 中的(3，-3，0) T亦肯定不是矩阵 A 的特征向量，所以 A、D 均是矩阵 A 的特征向量由所以 B 是矩阵 A 的特征向量故应选 C.其实13.矩阵 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 若 是 A 的特征向量，那么 k(k0)仍是 A 的特征向量因此，如果 B 正确，必有 D 正确所以 B、D 均不正确，故排除 B 和 D由
30、 A=，0 知 与 A 的坐标应当成比例因为(1，0，-1) T与(7，0，5) T坐标不成比例，所以(1，0，-1) T不是 A 的特征向量，所以 A 不正确，用排除法可知应选 C，或直接验算14.已知 =(1，-2，3) T是矩阵 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有即有15.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中(1)A2 (2)P-1AP (3)AT (4)E- （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 A=，0，有 A2=A()=A= 2
31、，a0 即 必是 A2属于特征值 2的特征向量又(E- A)=- A=(1- )，0知 必是矩阵 E- A 属于特征值 1-16.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是A若 是 AT的特征向量，那么 是 A 的特征向量B若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量C若 是 A2的特征向量，那么 是 A 的特征向量D若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 是 2A 的特征向量即(2A)=0那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量即 D 正确由于(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解，所以 不一定是
32、AT的特征向量例如17.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A3=3A-2A 2，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是A BA+2CA 2-A DA 2+2A-3（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 已知 A3+2A 2-3A=0即有(A+3E)(A2-A)=0=0(A 2-A)因为 ，A，A 2 线性无关，那么必有 A2-A0，所以，A 2-A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，亦即矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量根据线性无关的定义，若 1， 2， 3线性无关，那么对任意不全为 0 的 k1，k 2，k 3必有
33、k1 1+k2 2+k3 30所以本题中必有 A2-A0要会用定义法分析矩阵的特征值与特征向量由(A3+2A2-3A)=0，你还能找出矩阵 A 另外两个特征值与特征向量吗?18.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1， 2， 3，若 P= 1，2 3，- 2，则 p-1AP=A .B .C .D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由 A 2=3 2，有 A(- 2)=3(- 2)，即当 2是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2仍是矩阵 A 属于特征值 -3 的特征向量同理 2 3仍是矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量当 P-1AP
34、= 时，P 由 A 的特征向量所构成， 由 A 的特征值所构成，且 P 与 的位置是对应一致的现在，矩阵 A 的特征值是 1，3，-2，故对角矩阵 应当由 1，3，-2 构成，因此排除 B、C由于 2 3是属于 =-2 的特征向量，所以-2 在对角矩阵 中应当是第 2 列，故应选 A当 P-1AP=B 时，P 不是矩阵 的特征向量当 P-1AP= 时，P 是矩阵 A 的特征向量， 是矩阵 A 的特征值，且 P 与 中特征向量与特征值位置要对应正确。19.已知 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 P-1AP= ，P= 1， 2， 3则有 AP=P即 A 1， 2， 3= 1， 2
35、， 320.已知矩阵 ，那么下列矩阵中(1) ，(2) ，(3) ，(4) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 A= ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值它就一定和 相似，也就一定与 A 相似(1)与(2)分别是上三角与下三角矩阵，特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，又可见(4)亦与 A 相似而(3)与 A 不相似相似的必要条件是有相同的特征值，故知(3)与 A 不相似但特征值相同时，矩阵不一定相似例如 与21.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是A .B .C .D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 是
36、实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化C 是秩为 1 的矩阵，由|E-A|= 3-4 2，知矩阵的特征值是 4，0，0对于二重根 =0，由秩 r(0E-A)=r(A)=1知齐次方程组(0E-A)x=0 的基础解系有 3-1=2 个线性无关的解向量，即 =0 有两个线性无关的特征向量从而矩阵必可以相似对角化D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，-1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩22.下列矩阵中，A 和 B 相似的是ABCD （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据
37、 A 和 B 相似的必要条件(1)r(A)=r(B) (2)|A|=|B| (3) A= B (4)a ii=b ii易见 A、B、D 均不相似(理由依次为：秩，主对角线的和，特征值)所以应选 C实际上，由知矩阵 A 的特征值为 2，0，0又因秩 r(0E-A)=1，有 n-r(0E-A)=2即齐次方程组(0E-A)x=0 有 2个线性无关的解，亦即 =0 有两个线性无关的特征向量从而类似地因此23.设 A 是三阶矩阵， 是三阶可逆阵，且 ，则 AA .B .C .D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 可以由 B 作列变换得到将 的 1、2 列互换再将第 2 列乘 2，第 3 列
38、乘-1，得 AB，即B 是可逆阵，两边左乘 B-1，得 ，故24.设 A、B、C、D 都是 n 阶矩阵，且 AC,BD，则必有A(A+B)(C+D)B .CABCDD （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 AC，即存在可逆阵 P，使 P-1AP=C.BD，即存在可逆阵 Q，使 Q-1BQ=D，故存在可逆阵，使得得25.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，若 AB，则下列命题中(1)ABBA (2)A 2B 2 (3)A-1B -1 (4)ATB T正确的命题共有A4 个 B3 个 C2 个 D1 个（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于矩阵 A 可逆，有A-1(AB)ABA按
39、相似定义知 ABBA即命题(1)正确因为 AB，故存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=B，那么B2=(P-1AP)(P-1AP)=P-1A2PB-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1PBT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=(p-1)T-1AT(P-1)T按相似定义知命题(2)(3)(4)均正确要会用定义法来分析问题26.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0A必是 A 的二重特征值B至少是 A 的二重特征值C至多是 A 的二重特征值D一重、二重、三重特征值都有可能（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 A 的对应 的线性无关特征向量的个数特征值的
40、重数r(A 33)=1，即 r(0E-A)=1，(0E-A)x=0 必有两个线性无关特征向量故 =0 的重数2至少是二重特征值，也可能三重例27.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有A秩 r(A)=0 B秩 r(A)=1C秩 r(A)=2 D条件不足，不能确定（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 请考察下列矩阵28.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 与 B 相似的A充分必要条件 B必要而非充分条件C充分而非必要条件 D既非充分也非必要条件（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 AB，即存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=B 知即 A 与 B 有相同的特征值但当
41、 A，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似，例如29.n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征向量是 A 与 B 相似的A充分必要条件 B充分而非必要条件C必要而非充分条件 D既不充分又不必要条件（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 AB，即存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=B 知；若 A=，0，有B(P-1)=(P -1AP)(P-1)=P -1A=(P -1)即 是 A 的特征向量，p -1 是 B 的特征向量所以，A 与 B 的特征向量不同反之，若 A 与 B 有相同的特征向量，因为它们可以属于不同的特征值，即A=，B= 由于 A 与 B 的特征值不同，A 和 B 不可能
42、相似因此，A 与 B 有相同的特征向量对于 AB 来说既不充分又不必要，所以应当选 D30.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的A充分必要条件 B充分而非必要条件C必要而非充分条件 D既不充分也不必要条件（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 若 ，则有可逆矩阵 P 使 P-1AP 或 AP=PA令 P= 1， 2， n，即有A 1， 2， n= 1， 2， n =a1 1，a 2 2，a n n从而有 A i=ai i i-1，2，n由 P 可逆，有 i0，且 1， 2， n线性无关按定义知 1， 2， n是 A 的 n 个线性无关的特征向量反之，若
43、 A 有 n 个线性无关的特征向量 1， 2， n，满足A i= i i，i=1，2，n那么，用分块矩阵有A 1， 2， n= 1， 2， n31.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列命题中不正确的是A矩阵 A-E 是不可逆矩阵B矩阵 A+E 和对角矩阵相似C矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交D方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，因此矩阵 AE 的特征值是-1，0，-2由于 0 是矩阵 A-E 的特征值，所以 A-E 不可逆命题 A 正确因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0
44、，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化命题 B 正确(或由 A A+E+E 而知 A+E 可相似对角化)因为矩阵 A 有三个不同的特征值，知32.二次型 f(x1，x 2，x 3)= -4x1x2+2x2x3的标准形可以是A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 用配方法，有f= -4x1x2+ + +2x2x3+ =(x1-2x2)2+(x2+x3)2可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0因此，A 是二次型的标准形所用坐标变换是：与即经坐标变换有 xTAx=yTy=二次型的标准形是不唯一的，化二次型为标准形所用坐标变换也是不唯一的只
45、要两个二次型的正、负惯性指数相同就一定有坐标变换把一个二次型转化为另一个二次型本题中， ，等均可以是二次型f 的标准形对于本题二次型矩阵为 ，A 的特征多项式是33.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2-5(x2+x2)2的规范形是A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 二次型的规范形中，平方项的系数只能是 1，-1，0故应当排除 A只要求出二次型的正、负惯性指数就可以确定二次型的规范形通常可以求二次型矩阵的特征值或用配方法化二次型为标准形来实现本题中，若令而认为规范形是 就不正确了因为行列式所以上述变换(1)不是坐标变换，当然 也就不是规范形了二次型 f 经整理为f(x1，x 2，x 3)= +14x1x2+4x1x3-4x2x3由于故矩阵 A 的特征值是 12，-6，0因此二次型正惯性指数 p=1，负惯性指数 q=1
