1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 58 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)sin2x在区间 （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.0。3.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。4.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导，且 f (x 0 )=a。B.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导。C.f(
2、x)在 x=x 0 处有极限，但未必连续。D.以上结论都不对。5. （分数：2.00）A.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)。B.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)。C.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)。D.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)。6.设在0，1上 f (x)0，则 f (0)，f (1)，f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f (1)f (0)f(1)f(0)。B.f (1)f(1)一 f(0)f (0)。C.f(1)一 f(0)f (1)f (0)。D.f (1)f(0)一 f(1)f (0)。7.设函数 f
3、(x)在(一，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在(一，+)上可导且单调增加，则对一切 x(一，+)，都有 f (x)0。B.若 f(x)在点 x 0 处取得极值，则 f (x 0 )=0。C.若 f (x 0 )=0，则(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.若 f (x 0 )=0，f (x 0 )=0，f (x 0 )0，则 x 0 一定不是 f(x)的极值点。8.设常数 k0，函数 f(x)=lnx （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.0。9.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf (x)+3xf (x) 2
4、=1 一 e x ，若 f (x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值。B.f(x 0 )是 f(x)的极小值。C.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点。10.曲线 y= （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f (
5、0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 x=e t ，y= 0 1 ln(1+ 2 )d，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 y=sin 4 x，则 y (n) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_18.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_19.曲线 x
6、y=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.已知函数 f()具有二阶导数，且 f (0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xe y1 =1 所确定。设z=f(lnysinx)，求 （分数：2.00）_设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)= 0 2 f(x)dx=f(2)+f(3)。（分数：4.00）(1).证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；（分数：2.00）_(2).证明存在 (0，3)，使 f ()=0
7、。（分数：2.00）_22.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)= 。 证明：存在 （分数：2.00）_23.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点。（分数：2.00）_24.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a。（分数：2.00）_25.讨论曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln 4 x 的交点个数。（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 58 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选
8、择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)sin2x在区间 （分数：2.00）A.3。B.2。 C.1。D.0。解析：解析：设 g(x)=x 2 +x 一 2，(x)=sin2x，显然 g(x)处处可导，(x)处处连续但有不可导点。 形如 f(x)=g(x)(x)，其中 g(x)在 x 0 的某邻域内连续，(x)在 x=x 0 处可导，则 f(x)在 x 0 处可导 (x 0 )=0。根据上述结论，只需验证 (x)在不可导点处 g(x)是否为零。 (x)=sin2x的
9、图形如图 123 所示，在 内的不可导点为 x=0， ，1。 因为 g(0)=一 20，g( )0，g(1)=0，所以 f(x)=g(x)(x)在 x=0， 3.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D.3。解析：解析： 4.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导，且 f (x 0 )=a。B.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导。C.f(x)在 x=x 0 处有极限，但未必连续。D.以上结论都不对。 解析：解析：本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左、右导数 f (x 0 )和 f (x 0
10、)与 f (x)在 x=x 0 处的左、右极限 区分开。 =a，但不能保证 f(x)在 x 0 处可导，以及在 x 0 处连续和极限存在。 例如 但是 5. （分数：2.00）A.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)。 B.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)。C.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)。D.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)。解析：解析： 2x lnx ln(1+t)dt =ln(1+lnx)(lnx) 一 ln(1+2x)(2x) =ln(1+lnx) 一 ln(1+2x)2 = 6.设在0，1上 f (x)0，则 f (0)，f (1)，f(1)一 f(0)或
11、 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f (1)f (0)f(1)f(0)。B.f (1)f(1)一 f(0)f (0)。 C.f(1)一 f(0)f (1)f (0)。D.f (1)f(0)一 f(1)f (0)。解析：解析：由已知 f (x)0，x0，1，所以函数 f (x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得 f(1)一 f(0)=f ()，(0，1)。 因此有 f (0)f ()f (1)， 即可得 f (0)f(1)一 f(0)f (1)。 故选 B。7.设函数 f(x)在(一，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x
12、)在(一，+)上可导且单调增加，则对一切 x(一，+)，都有 f (x)0。B.若 f(x)在点 x 0 处取得极值，则 f (x 0 )=0。C.若 f (x 0 )=0，则(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.若 f (x 0 )=0，f (x 0 )=0，f (x 0 )0，则 x 0 一定不是 f(x)的极值点。 解析：解析：若在(一，+)上 f (x)0，则一定有 f(x)在(一，+)上单调增加，但可导函数 f(x)在(一，+)上单调增加，可能有 f (x)0。例如 f(x)=x 3 在(一，+)上单调增加，f (0)=0 故不选 A。 f(x)若在 x 0 处取
13、得极值，且 f (x 0 )存在，则有 f (x 0 )=0，但当 f(x)在 x 0 处取得极值，在 x 0 处不可导，就得不到 f (x 0 )=0，例如 f(x)=x在 x 0 =0 处取得极小值，它在 x 0 =0 处不可导，故不选 B。 如果 f(x)在 x 0 处二阶导数存在，且(x 0 ，f(x 0 )是曲线的拐点，f (x 0 )=0，反之不一定，例如 f(x)=x 4 在 x 0 =0 处 f (0)=0，但 f(x)在(一，+)没有拐点，故不选 C。由此选 D。8.设常数 k0，函数 f(x)=lnx （分数：2.00）A.3。B.2。 C.1。D.0。解析：解析：因 f
14、(x)= ，令 f (x)=0，得唯一驻点 x=e，f(x)在区间(0，e)与(e，+)内都具有单调性。又 f(e)=kO，而 9.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf (x)+3xf (x) 2 =1 一 e x ，若 f (x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值。B.f(x 0 )是 f(x)的极小值。 C.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：由 f (x 0 )=0 知，x=x 0 是 y=f(x
15、)的驻点。将 x=x 0 代入方程，得 x 0 f (x 0 )+3x 0 f (x 0 ) 2 =1 一 e x 0 ，即得 f (x 0 )= 10.曲线 y= （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。 解析：解析：本题的解题思路是，先利用曲线渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后再分别判断。 因为 =0， 所以 y=0 是曲线的水平渐近线； 因为 =， 所以 x=0 是曲线的垂直渐近线；二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）
16、解析：解析：当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y 一 1=e x(1y) (1 一 yxy )， 将 x=0，y=1 代入上式，可得 y (0)=1。 所以 12.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f (0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n！）解析：解析：由于 f (x)=(x+1)(x+2)(x+n)+x(x+2)(x+n)+(x+1)(x+2)(x+n 一 1)， 所以 f (0)=n！。13.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：
17、解析：方程两边对 x 求导可得， y+xy +y e y =1， 解得 y = 。 再次求导可得， 2y +xy +y e y +(y )e y =0， 整理得 y = (*) 当 x=0 时，y=0，y (0)=1，代入(*)得， y (0)= 14.设 x=e t ，y= 0 1 ln(1+ 2 )d，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由题干可得，15.设 y=sin 4 x，则 y (n) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先将原式分解为 由数学归纳法，求余弦函数的 n 阶导数，即 (cosax) =
18、一asinax=acos(ax+ )， (cosax) =一 a 2 sin(ax+ )=a 2 cos(ax+)， (cosax) (n) =a n cos(ax+ )， 16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x）解析：解析： 所以17.设函数 y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一，1)）解析：解析：本题主要考查参数方程曲线的凹凸性。 18.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在区间0，2上的最小值为 1，最大值为 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确
19、答案：27）解析：解析：令 (x)=4x 3 一 18x 2 +27，则 (x)=12x(x 一 3) 19.曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 一 2) 2 +(y 一 2) 2 =2）解析：解析：由题干可知， 由曲率圆的定义可知，圆心位于点 D(1，1)所在的法线 y=x 上，其图像如图 1 一 25 所示，圆心坐标为(2，2)。 三、解答题(总题数：7，分数：14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.已知函数 f()具有二阶导数，且 f (0)=1，函数 y=y(x)由方
20、程 y 一 xe y1 =1 所确定。设z=f(lnysinx)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =lnysinx，则 。 在等式 y 一 xe y1 =1 的两边对 x 求导，得 y 一 ey y1 一 xe y1 y =0，即 y = ，又 y(0)=1，可得 y (0)=1。 在 y = 两边对 x 求导得 )解析：设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)= 0 2 f(x)dx=f(2)+f(3)。（分数：4.00）(1).证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f
21、(t)dt，x0，2。由于 f(x)在0，2上连续，所以可知 F(x)在0，2上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在 (0，2)，使得 f()= )解析：(2).证明存在 (0，3)，使 f ()=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(2)+f(3)=2f(0)，即 )解析：22.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)= 。 证明：存在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 x 3 ，则 F(1)=F(0)=0。 在区间 上分别应用拉格朗日中值定理， 将上面两个等式相加 F(1)一 F(0)= f
22、 ()一 2 + )解析：23.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f (x)=3ax 2 +2x，由题意 f (0)=0，f (一 1)=3a 一 2=0，由此可得 a= ，于是 f (x)=2x 2 +2x，f (x)=4x+2，令 f (x)=0，则可得 x= 。列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性，如下： 由此可知，函数 f(x)的单调增区间是(一，一 1)和(0，+)，单调减区间是(一 1，0)，极大值是 f(一 1)= ，极小值为 f(0)=2，拐点是 )
23、解析：24.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=xsinx+2cosx+x，需证 0ax 时，f(x)是单调增加的。 f (x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosx 一 sinx+， f (x)=cosx 一 xsinxcosx=一 xsinx0， 所以 f (x)严格单调减少。 又 f ()=cos+=0， 故 0ax 时，f(x)的一阶导数大于零，从而函数单调增加，根据 ba 可得，f(b)f(a)， 即可得 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a。)解析：25.讨
24、论曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln 4 x 的交点个数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln 4 x 的交点个数等价于方程 (x)=ln 4 x 一 4lnx+4x一 k 在区间(0，+)内的零点个数。对以上方程两端求导得 (x)= (ln 3 x 一 1+x)， 可知x=1 是 (x)的驻点。 当 0x1 时，ln 3 x0，则 ln 3 x 一 1+x0，而 0，因此 (x)0，即 (x)单调减少； 当 x1 时，ln 3 x0，则 ln 3 x 一 1+x0，且 0，因此 (x)0，即 (x)单调增加。 故 (1)=4 一 k 为函数 (x)的唯一极小值，即最小值。 当 (1)=4 一k0，即当 k4 时，(x)(1)0，(x)无零点，两曲线没有交点； 当 (1)=4 一 k=0，即当k=4 时，(x)(1)=0，(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点； 当 (1)=4 一 k0，即当 k4 时，由于 )解析：
