1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 69 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设a n 与(b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 a n b n =0，则 D.若 a n 为无穷大，且 3.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0
2、处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导4.设函数 f(x)二阶连续可导且满足关系 f(x)+f 2 (x)=x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 y=y(x)由 ye xy +xc
3、osx-1=0 确定，求 dy x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_7.求 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_9.I(x)= 0 x （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x，y)在区域 D：x 2 y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 xy= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.求 （分数：2.
4、00）_16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， =1，f(1)=0证明：(1)存在 （分数：2.00）_17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f + (a)f - (b)0，且 g(x)0(xa，6)，g(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_18.设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2) (1)证明方程 f n (x)=1 有唯一的正根 x n ； (2)求 （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b
5、f(x)dx=0证明： (1)存在c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f( i )+f( i )=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f()-3f()+2f()=0（分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 (x)dx=f()（分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_23.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：2.00
6、）_24.设 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_27.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_28.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 69 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00
7、)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设a n 与(b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 a n b n =0，则 D.若 a n 为无穷大，且 解析：解析：(A)不对，如 a n =2+(-1) n ，b n =2-(-1) n ，显然a n 与b n 都发散，但 a n b n =3，显然a n b n 收敛；(B)、(C)都不对，如 a n =n1+(-1) n ，b n =
8、n1-(-1) n ，显然a n 与b n 都无界，但 a n b n =0，显然a n b n 有界且 3.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析：解析：令 f(x)=4.设函数 f(x)二阶连续可导且满足关系 f(x)+f 2 (x)=x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)
9、的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f(0)=0 得 f(0)=0，f(x)=1-2f(x)f(x)，f(0)=10，由极限保号性，存在0，当 0x 时，f(x)0，再由 f(0)=0，得二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx-1=0 确定，求 dy x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2dx）解析：解析：当 x=0 时，
10、y=1，将 ye xy +xcosx-1=0 两边对 x 求导得 e xy +cosx-xsinx=0， 将x=0，y=1 代入上式得 7.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4-）解析：解析：9.I(x)= 0 x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：令 I(x)= 时，I(x)0， 当 x 时，I(x)0，所以 x= 为 I(x)在-1，1上的最小值点，又 I(1)= 0 1 =ln(u 2 -u+1) 0 1 =0， I(-1)= 0 -1
11、 10.设 f(x，y)在区域 D：x 2 y 2 t 2 上连续且 f(0，0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：由当 t0 时，t-ln(1+t)=t-t- +o(t 2 ) t 2 (t0)， 由积分中值定理得 f(x，y)dxdy=f(，).t 2 ，其中(，)D， 于是 11.微分方程 xy= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+C）解析：解析： 所以三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案
12、：(正确答案： )解析：14.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 0 1 (1-u)sinxudu= sinx， 1 2 (u-1)sinxudu= 所以原式 )解析：16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， =1，f(1)=0证明：(1)存在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=f(x)=x，(x)在0，1上连续， ，(1)=-10， 由零点定理，存在 )解析：17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f +
13、 (a)f - (b)0，且 g(x)0(xa，6)，g(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f + (a)0，f - (b)0， 由 f + (a)0，存在 x 1 (a，b)，使得 f(x 1 )f(a)=0； 由 f - (b)0，存在 x 2 (a，b)，使得 f( 2 )f(b)=0， 因为 f(x 1 )f(x 2 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0 令 h(x)= ，显然 h(x)在a，b上连续，由 h(a)=h(c)=h(b)=0， 存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h( 1 )=h
14、( 2 )=0， 而 令 (x)=f(x)g(x)-f(c)g(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=f(x)g(x)-f(c)g(x)，所以 )解析：18.设 f n (x)=x+x 2 +x n (n2) (1)证明方程 f n (x)=1 有唯一的正根 x n ； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 n (x)=f(x)-1，因为 n (0)=-10， n (1)=n-10，所以 n (x)在(0，1) (0，+)内有一个零点，即方程 f n (x)=1 在(0，+)内有一个根 因为
15、n (x)=1+2x+nx n-1 0，所以 n (x)在(0，+)内单调增加，所以 n (x)在(0，+)内的零点唯一，所以方程 f(x)=1 在(0，+)内有唯一正根，记为 x n ， (2)由 f n (x n )-f n-1 (x n-1 )=0，得 (x n -x n-1 )+(x n 2 -x n-1 2 )+(x n n -x n+1 n )=x n+1 n+1 0，从而 x n x n-1 ，所以x n n-1 单调减少，又 x n 0(n=1，2，)，故 x n 存在，设 x n =A，显然 Ax n x 1 =-1，由 x n +x n 2 +x n n =1，得 =1，两
16、边求极限得 =1，解得 A= )解析：19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明： (1)存在c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f( i )+f( i )=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f()-3f()+2f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得
17、 a b f(x)dx=F(b)=F(a)=F(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0，即 f(c)=0 (2)令 h(x)=e x f(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h( 1 )=h( 2 )=0，而 h(x)=e x f(x)+f(x)且 e x 0，所以 f( i )+f( i )=0(i=1，2) (3)令 (x)=e -x f(x)+f(x)，( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e -x f(x)-f(x)且 e -x 0，所以 f()=
18、f() (4)令 g(x)=e -x f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g( 1 )=g( 2 )=0，而 g(x)=e -x f(x)-f(x)且 e -x 0，所以 f( 1 )-f( 1 )=0，f( 2 )-f( 2 )=0 令 (x)=e -2x f(x)-f(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 (x)d
19、x=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)=0，(1)= 0 1 f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 (x)= )解析：22.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令f(c)= f(x) 根据积分中值定理， a b f(x)dx=f()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)=f()+f(x)dx，取绝对值得 f(c)f()+ c f(x)dxf()+ a b
20、 f(x)dx，即 )解析：23.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为x+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=x-x是以 1 为周期的函 数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= 对充分大的 x，存在自然数 n，使得nxn+1，则 0 n f(x)dx 0 x f(x)dx 0 n+1 f(x)dx， 而 0 n f(x)dx=n 0 1 f(x)dx=n 0 1 xdx= ，同理 0 n+1 f(x)dx= 所以 ，得 显然当 x+时，n+，由迫敛定理得 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确
21、答案：(1)因为 0f(x，y) f(x，y)=0=f(0，0)，故 f(x，y)在点(00)处连续。 (2)f(x，y)=f(x，y)-f(0，0)= f x (0，0)= =0 因为 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =2(x 2 +y 2 )，解得 x 2 +y 2 = ， 则 ，2(x 2 +y 2 )dxdy )解析：26.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 解得 f(0，y)=Csiny 由 =1，得 C=1，即 f(0，y)=siny 又由 )解析：27.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动
22、开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为(10+x)g-(8-x)g=2(x+1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定律 F=ma 得 且 x(0)=0，x(0)=0， 解得 x(t)= ，当链条滑过整个钉子时，x=8， 由 )解析：28.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 ，即 x =y-v 0 t 两边对x 求导，得 ，代入(*)， 得 令 y=p，由 两边积分，得 ，由 y(x 0 )=0，得 c 0 =x 0 k ， 从而 当 k1 时， 由 y(x 0 )=0，得 c 1 = ，则 B 的轨迹方程为 当k=1 时，B 的轨迹方程为 )解析：
