1、2013届河南省南阳市一中高三第八次周考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为，所以，故选 C。 考点：本题主要考查集合的运算，函数的概念。 点评：基础题，关键是理解集合中元素的特征，集合 P,Q 表示函数的值域。 如果直线 与圆 交于 M,N 两点，且 M,N 关于直线 对称，动点 P(a， b)在不等式组 表示的平面区域内部及边界上运动，则 取值范围是（ ） A B C D答案： D 试题分析： M， N 是圆上两点，且 M， N 关于直线 2x-y=0对称， 直线 2x-y=0经过圆的圆心（ ， ），且直线 2x-y=0与直线
2、y=kx+1垂直 k= ， m=-1 约束条件为 根据约束条件画出可行域， 表示可行域内点 Q 和点 P（ 1， 2）连线的斜率， 当 Q 点在原点 O 时，直线 PQ的斜率为 2，当 Q 点在可行域内的点 B（ 4， 0）处时，直线 PQ的斜率为 ， 结合直线 PQ的位置可得，当点 Q 在可行域内运动时，其斜率的取值范围是： 2， +） 从而得到 w的取值范围 2， +） 故选 D 考点：本题主要考查轴对称问题，简单的线性规划，以及利用几何意义求最值。 点评：中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，能依题意首先求得 m,k是解题的关键，使得规划问题得以深化 某学习小组共 1
3、2人，其中有五名是 “三好学生 ”，现从该小组中任选 5人参加竞赛，用 表示这 5人中 “三好学生 ”的人数，则下列概率中等于 的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： P（ =0） = ， P（ =1） = ， P（ 1） = ， 故选 B 考点：本题主要考查等可能事件的概率。 点评：注意 =0和 =1的意义，概率计算是关键，中档题 在椭圆 （ ）中，记左焦点为 F,右顶点为 A，短轴上方的端点为 B，若角 ，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为椭圆左焦点为 F(-c， 0)，短轴上方的端点为 B (0， b)，右顶点为A(a， 0)， ，所以 BF=
4、a= ，即 ，所以 ，故选 D。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：基础题，利用数形结合思想，通过三角形 BOF，确定得到 a,b的关系，对椭圆中 a,b,c,e的关系要熟悉。 已知 =(cos , sin ), , ，若 OAB是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 OAB的面积等于（ ） A 1 BC 2 D答案： A 试题分析：因为 ， ， OAB是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ,从而 ，整理得 =0 ， =1 又 OAB是以 O 为直角，所以 =0， = =1， OAB的面积 =1，故选 A。 考点：本题主要考查向量的数量积及向量模的运算。 点评：典型题
5、，从 出发得到 =0，为后面计算奠定了基础。 设有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ） 正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A 4+ B 4+ C 4+ D 4+ 答案： C 试题分析：观察三视图可知，该几何体是一组合体。其体积计算为一个三度分别为 2,2,1的长方体与一个底半径为 1，高为 3的半个圆柱及半个底半径为 1，高为 2的半个圆柱，所以体积为 4+ ，故选 C。 考点：本题主要考查三视图及几何体的体积计算。 点评：基础题，认识几何体的特征是解题的关键。 设 ，曲线 在 处的切线与 轴的交点的纵坐标为 ，则 ( ) A 80 B 32 C 192 D 256 答案： A 试
6、题分析： x=2时， ； ， 曲线 在 x=2处的切线斜率为曲线在点（ 2， ）的导数， 即切线斜率 k= ， 所以曲线 在 处的切线方程为 x=0时，上式化为 ，所以 = ， 80，故选 A。 考点：本题主要考查导数的计算，导数的几何意义。 点评：基础题，解答本题关键是准确求导数，并进一步求得切线方程。 已知函数 在 上两个零点，则 m的取值范围为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 x ，所以 ， 令 ，则 ，故选 C。 考点：本题主要考查零点的概念，三角函数图象和性质。 点评：基础题，利用函数方程思想，将问题转化成确定三角函数的值域问题。 过椭圆 的右焦点 F2作倾斜角为
7、弦 AB，则 |AB为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：椭圆 ，则 a= ， b=1， c=1， ，两个焦点（ -1， 0） , （ 1， 0）。 直线 AB的方程为 y=x-1 ，代入 整理得 3 所以由弦长公式得 |AB|= = ，故选 B. 考点：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用。 点评：基础题，利用数形结合思想，通过确定弦的方程，进一步转化成代数问题。 已知数列 ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10项，则判断框内的条件是（ ） A n 8 B n 9 C n 10 D n 11 答案： B 试题分析：因为要利用此程序框图计算数列的第 10项，所以由
8、循环体的意义可知， n 9时应继续循环，否则输出 ，故选 B。 考点：本题主要考查程序框图的概念及其应用。 点评：简单题，关键是理解循环体的意义。 已知函数 的大致图象如图所示， 则函数 的式应为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：如图，因为函数定义域是 x|x0，排除 A选项， 当 x -， f（ x） 0 ，排除 B， 根据函数图象不关于 y轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项 C， 故选 D 考点：本题主要考查函数的图象及性质 点评：基础题，本题以图考图，考查识图能力，函数的性质以及数形结合的思想 已知 为两个命题，则 “ 是真命题 ”是 “ 是真命题 ”的（ ） A充分不必
9、要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为 是真命题，所以 是真命题；反之， 是真命题，则有多种情况： p,q均为真命题或 p真 q假或 p假 q真，即 “ 是真命题 ”是 “是真命题 ”的充分不必要条件，故选 A。 考点：本题主要考查充要条件的概念，复合命题的真假判断。 点评：基础题，解题时要牢记真值表，判断命题的真假是关键。 填空题 记函数 的导数为 ， 的导数为 的导数为 。若 可进行 次求导，则 均可近似表示为： 若取 ，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数 _（用分数表示） 答案： ； 试题分析：构造函数 f（ x） =ex，根据导数
10、运算，可知 f（ n） （ x） =ex， f（ n） （ 0）=1 所以若取 n=5， exf（ 0） +x+ + + + ， 令 x=1，则 e1+1+ + + + = ，故答案：为 。 考点：本题主要考查导数的运算 点评：本题综合考查函数求导运算，阅读、转化、构造、计算能力 夹在 的二面角内的一个球与二面角的两个面的切点到棱的距离都是 6，则这个球的半径为 _ 答案： ； 试题分析：结合截面图形分析知，在直角三角形 OMA中， OM=6，所以这个球的半径为 。 考点：本题主要考查球面距离及相关计算。 点评：解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离
11、的公式，本题考查了空间想像能力，能根据题设 条件想像出两个几何体的位置关系且判断出夹角是解题成功的保证 在 的展开式中，含 的项的系数是 答案： -30 试题分析： （ 1-x） 5的二项展开式中的 x3的项的系数为： （ -1） 3=-10， （ 1-x） 6的二项展开式中的 x3的项的系数为： （ -1） 3=-20， （ 1-x） 5+（ 1-x） 6的展开式中，含 x3的项的系数是 -10-20=-30 故答案：为 -30 考点：本题主要考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式 点评：属于基础题，注意展开式中系数的正负号。 计算定积分 =_ 答案： ； 试题分析： 。 考点：本题主
12、要考查简单函数的定积分。 点评：简单题，关键是找准被积函数的原函数。 解答题 （本小题满分 12分） 已知向量 ，设函数 ,（ ）求函数 的表达式；（ ）在 中， 分别是角 的对边， 为锐角 ,若 ， ， 的面积为 ，求边 的长 答案：（ ） f(x) ;（ ）边 的长为 5。 试题分析：（ ）由题意得： （ ）由 得： ，化简得： , 又因为 ，解得： 由题意知： ，解得 ， 又 ,所以 故所求边 的长为 5。 考点：本题主要考查正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数 点评：本题综合考查了平面向量的数量积运算，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以
13、及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 （本小题满分 12分） 某校从 6名学生会干部（其中男生 4人，女生 2人）中选 3人参加市中学生运动会志愿者。（ ）所选 3人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望。 （ ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率 答案：（ I） 的分布列、期望分别为： 0 1 2 p E=0 +1 +2 =1 （ II）女生乙也被选中的概率为 试题分析：（ I） 得可能取值为 0,1,2；由题意 P(=0)= , P(=1)=, P(=2)= 的分布列、期望分别为： 0 1 2 p E=0 +1 +2 =1 （ II）设在男生甲被选中的情况下，
14、女生乙也被选中的事件为 C 男生甲被选中的种数为 ,男生甲被选中，女生乙也被选中的 种数为 P(C)= 女生乙也被选中的概率为 . 考点：本题主要考查离散型随机变量的期望；等可能事件的概率。 点评：确定分布列及数学期望，计算概率是关键，涉及组合、排列问题，注意公式的正确运用，属中档题。 （本小题满分 12 分）如图，在 点 上，过点 做 / 将 的位置（ ）， 使得 . (I)求证： （ II）试问：当点 上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由 答案：（ 1）见；（ 2）当点 E在线段 AB上移动时，二面角 的平面角的余弦值为定值 . 试题分析：（ 1）在
15、 中， 又 平面 PEB. 又 平面 PEB, （ 2）在平面 PEB内，经 P点作 PD BE于 D，由（ 1）知 EF 面 PEB, EF PD. PD 面 BCEF.在面 PEB内过点 B作直线 BH/PD,则 BH 面 BCFE.以 B点为坐标原点， 的方向分别为 x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系 . 设 PE=x（ 0 x 4）又 在 中， 从而 设 是平面 PCF的一个法向量，由 得 取 得 是平面 PFC的一个法向量 又平面 BCF的一个法向量为设二面角 的平面角为 ，则 因此当点 E在线段 AB上移动时，二面角 的平面角的余弦值为定值. 考点 ：本题主要考查立体几
16、何中的基本问题，空间向量的应用。 点评：本题通过考查直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想，函数与方程思想等属中档题。 （本小题满分 12分）设 和 是函数 的两个极 值点，其中 ， （ ） 求 的取值范围； （ ） 若 ，求 的最大值 答案： (I) (II) 的最大值是 试题分析： ( )解：函数 的定义域为 ， 依题意，方程 有两个不等的正根 ， （其中 ）故 ，并且 所以， 故 的取值范围是 ( )解 :当 时， 若设 ，则 于是有构造函数 （其中 ），则 所以 在 上单调递减， 故 的最大值是 考点：本
17、题主要考查导数知识的运用，考查函数在某点取得极值的条件。 点评：本题通过导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 如图，在正 ABC中，点 D,E分别在边 AC, AB上，且 AD= AC， AE= AB， BD， CE相交于点 F。 （ I）求证： A， E， F， D四点共圆； （ ）若正 ABC的边长为 2，求， A， E， F， D所在圆的半径 答案：（ ）证明：见；（ ） 。 试题分析：（ ）证明： ， . 在正 中， ， 又 ， ， BAD CBE， ， 即 ，所以 ， ， ， 四点共圆 . （ ）解：如图，取 的中点 ，连结 ，则 . ， ， ， ， AGD为正三角形， ，即 ， 所以点 是 AED外接圆的圆心，且圆 的半径为 . 由于 ， ， ， 四点共圆，即 ， ， ， 四点共圆 ，其半径为 。 考点：本题主要考查平面几何选讲，三角形及圆的问题。 点评：本题通过考查四点共圆、三角形全等，全面考查了平面几何选讲问题，中档题 已知函数 .（ ）求不等式 的解集； （ ）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围 . 答案：（ ） .（ ） . 试题分析：（ ）原不等式等价于 或 解之得 .即不等式的解集为 . （ ） . ，解此不等式得 . 考点：本题主要考查绝对值不等式的解法。 点评：利用分类讨论的数学思想，正确分类是关键
