1、2014届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，集合 ，则下列关系中正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， 或 ，则 ，故选B 考点：集合的运算。 设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 ， 得： ，即，令 ，则当 时， ，即 在是减函数， ， ， 在 是减函数，所以由 得， ，即，故选 考点： 1求导； 2用导数研究函数的单调性。 已知直线 与双曲线 交于 ， 两点 ( ， 在同一支上 ), 为双曲线的两个焦点 ,则 在（ ） A以 ， 为焦点的椭
2、圆上或线段 的垂直平分线上 B以 ， 为焦点的双曲线上或线段 的垂直平分线上 C以 为直径的圆上或线段 的垂直平分线上 D以上说法均不正确 答案： B 试题分析：当直线 垂直于实轴时，则易知 在 的垂直平分线上；当直线 不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在 轴， 分别为双曲线的左、右焦点，且 、 都在右支上，由双曲线定义： ，则 ，由双曲线定义可知，在以 、 为焦点的双曲线上，故选 考点：双曲线的定义。 已知函数 ，则 的图象大致为（ ） 答案： A 试题分析： ，令 ，则，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现 与 共有三个交点，横坐标从小到大依次设为 ，在 区间上有
3、 ，即 ；在区间 有 ，即；在区间 有 ，即 ；在区间 有，即 .故选 考点： 1转化思想； 2函数图像。 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是 1，高是 2，所以母线长为 ，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即，故选 考点： 1三视图； 2几何体的表面积。 计划将排球、篮球、乒乓球 个项目的比赛安排在 个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 个的安排方案共有（ ） A 种 B
4、 种 C 种 D 种 答案： A 试题分析：若 个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有 种；若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过 2个的安排方案共有种 .故选 考点：排列组合。 已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是（ ） A B 2 CD 3 答案： B 试题分析：由题可知 是抛物线 的准线，设抛物线的焦点 为，则动点 到 的距离等于 ，则动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值，即焦点 到直线 的距离，所以最小值是 ，故选 考点：抛物线的定义。 以下四个命题中： 从匀速传递的产品生产
5、流水线上，质检员每 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； 若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 ； 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 位于区域内的概率为 ，则 位于区域 内的概率为 ； 对分类变量 与 的随机变量 K2的观测值 k来说， k越小，判断 “ 与 有关系 ”的把握越大其中真命题的序号为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 应为系统（等距）抽样； 线性相关系数 的绝对值越接近 1，两变量间线性关系越密切； 变量 ， ； 随机变量 的观测值 越大，判断 “ 与 有关系 ”的把握越大故选 考点： 1变量间的相关关系； 2独立性
6、检验。 运行如图所示的程序框图，若输出的 是 ，则 应为（ ） A n5 B n6 C n7 D n8 答案： C 试题分析：由程序框图算法可知， ，由于输出 ，即，解得 ，故 应为 “ ”，故选 考点：算法程序框图。 已知命题 ：函数 的图象恒过定点 ；命题 ：若函数为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称，则下列命题为真命题的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 的图象可看出先把函数 的图象上每一个点的横坐标向左平移一个单位，再将所得图象沿 轴作翻折，最后再将所有点的坐标向上平移 个单位得到，而 的图象恒过 ，所以 的图象恒过 ，因此 为假命题；若函数 为偶函数，即图象关于
7、轴对称，的图象即 整体向左平移一个单位得到，所以 的图象关于直线对称，因此 为假命题；参考四个选项可知，选 考点： 1函数过定点问题； 2函数的奇偶性； 3函数图像的平移； 4复合命题真假判断。 已知向量 , , ,若 为实数， ，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，又 ， ，即 ，解得 ，故选 考点：向量的数量积。 设 是虚数单位，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，故选 考点：复数的运算和复数的模长。 填空题 已知数列 中 , , , ,则 = . 答案： 试题分析： ， ， ， 所以 = 考点：数列求和。 用一个边长为 的正三角形硬纸，沿
8、各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为 的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为 . 答案： 试题分析：由题意可知蛋槽的高为 ，且折起三个小三角形顶点构成边长为的等边三角形 ，所以球心到面 的距离 ， 鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为 考点： 1锥体的体积； 2点到面的距离。 设 的展开式的常数项为 ，则直线 与曲线 围成图形的面积为 . 答案： 试题分析： ，令 ， ，所以直线为 与的交点为 和 ， 直线 与曲线 围成图形的面积考点： 1二项式定理； 2定积分。 在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若,则 = . 答案： 试题分析：由
9、正弦定理， ，所以 ，即， 考点： 1正弦定理； 2余弦定理。 解答题 已知直线 的参数方程为 为参数 )，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 （ 1）求圆 的直角坐标方程； （ 2）若 是直线 与圆面 的公共点，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析： （ 1）根据公式 将极坐标方程转化为直角坐标方程。（ 2）法一：设 ，将圆 的一般方程化为标准方程即可得圆心的坐标和圆的半径。将直线 化为普通方程。联立方程组可得两交点坐标。根据题意可知点 即在这两点连线的线段上。将两交点坐标代入 即可得其最值。 试题：（ 1）因为圆 的极坐标方程为 所以 又
10、所以 所以圆 的普通方程 （ 2）解法 1： 设 由圆 的方程 所以圆 的圆心是 ，半径是 将 代入 得 又直线 过 ，圆 的半径是 ，所以 所以 即 的取值范围是 解法 2： 直线 的参数方程化成普通方程为： 6分 由 ， 解得 ， 8分 是直线 与圆面 的公共点， 点 在线段 上， 的最大值是 ， 最小值是 的取值范围是 10分 考点： 1极坐标和直角坐标方程的互化； 2参数方程和普通方程间的互化； 3线性规划问题。 如图， 是圆 的直径， 是 延长线上的一点， 是圆 的割线，过点 作 的垂线，交直线 于点 ，交直线 于点 ，过点 作圆 的切线，切点为 . （ 1）求证： 四点共圆；（ 2
11、）若 ,求 的长 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 12 试题分析：（ 1）根据四边形的外角等于内角的对角时四点共圆，证问题即可得证。（ 2）由（ 1）可知 四点共圆，则可根据切割弦定理求边长。 试题：（ 1） 证明：连结 ， 是圆 的直径， ， 在 和 中， 又 四点共圆。 （ 2） 四点共圆， 是圆 的切线， 又因为 考点： 1四点共圆； 2切割弦定理。 已知函数 （ 1）求 的单调区间和极值； （ 2）设 ， ，且 ，证明：. 答案：（ 1）单调增区间是 ，单调减区间是 ；极小值 ，无极大值。（ 2）详见 试题分析：（ 1）先求导，再令导数大于 0的函数的增区间，令导数小于 0得函数的减
12、区间，根据函数的单调性可得函数的极值。（ 2）即证，不妨设 ，问题可转化为，令 ，令 ，用导数求其最值，证其最大值小于 0即可。 试题：（ 1）定义域为 令 则 ；令 则 的单调增区间是 ，单调减区间是 极小值 ， 无极大值 （ 2）证明：不妨设 ， 两边同除以 得， 令 ，则 ，即证： 令 令 ， ， 在 上单调递减，所以 即 ，即 恒成立 在 上是减函数，所以 得证 所以 成立 考点：利用导数研究函数的单调性和极值最值问题。 已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆上 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）点 在圆 上，且 在第一象限，过 作圆 的切线交椭圆于 , 两点，问： 的周长是否为定值？如果是
13、，求出定值；如果不是，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析：（ 1）根据点在曲线上可代入方程，再根据椭圆中 ，解方程组可得 的值。从而可得椭圆方程。法二，还可根据椭圆的定义椭圆上点到两焦点的距离为 直接求得 ，再根据 求 。（ 2）设 的方程为 ，根据与圆相切可得 间的关系。再将直线与 椭圆方程联立消掉 整理为关于 的一元二次方程，可得根与系数的关系。由直线与圆锥曲线的相交弦公式可得 ，再根据两点间距离可求 ，将三边长相加，根据前边得到的 间的关系问题即可得证。 试题：（ 1）解法 1： (1)由题意，得 ， 2分 解得 4分 椭圆方程为 .5分 解法 2： 右焦点为 ， 左焦点
14、为 ，点 在椭圆上 所以 ， 所以椭圆方程为 5分 （ 2）解法 1： 由题意，设 的方程为 与圆 相切 ，即 6分 由 ，得 7分 设 ，则 ， 8分 10分 又 11分 （定值） 12分 解法 2： 设 ， 8分 连接 ，由相切条件知：10分 同理可求 所以 为定值 .12分 考点： 1椭圆的标准方程； 2直线和圆锥曲线的相交弦问题； 3直线和圆的位置关系。 如图，已知四棱锥 ，底面 是等腰梯形， 且 ， 是 中点， 平面 ， ， 是 中点 （ 1）证明：平面 平面 ； （ 2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）根据中位线可得 ，从而
15、可证得 平面 。证四边形 为平行四边形可得 平面 ，从而可证得平面 平面。（ 2）法一：延长 、 交于点 ，连结 ，则 平面，易证 与 全等。过 作 的垂线，则 与垂足的连线也垂直 。由二面角的平面角的定义可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空间向量法。由题意可以 为坐标原点建立空间直角坐标系。根据各点的坐标求出个向量的坐标，在根据数量积公式求各面的法向量，在用数量积公式求其两法向量夹角的余弦值。注意两法向量所成的角可能与二面角相等也可能为其补角。 试题： (1) 证明： 且 ， 2分 则 平行且等于 ，即四边形 为平行四 边形，所以 . 6分 (2) 解法 1： 延长 、 交于点
16、 ，连结 ，则 平面 ，易证 与 全等，过 作 于 ，连 ，则 ，由二面角定义可知，平面角 为所求角或其补角 . 易求 ，又 ， ，由面积桥求得 ，所以所以所求角为 ，所以 因此平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 解法 2： 以 为原点， 方向为 轴，以平面 内过 点且垂直于 方向为 轴 以 方向为 据 IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险 .根据测算，风能风区分类标准如下： 假设投资 A 项目的资金为 （ 0）万元，投资 B 项目资金为 （ 0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的 A项目获利 的可能
17、性为 ，亏损 的可能性为 ；位于二类风区的 B项目获利 的可能性为 ，亏损 的可能性是 ，不赔不赚的可能性是 . （ 1）记投资 A， B项目的利润分别为 和 ，试写出随机变量 与 的分布列和期望 ， ； （ 2）某公司计划用不超过 万元的资金投资于 A， B项目，且公司要求对 A项目的投 资不得低于 B项目 ,根据（ 1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利 润之和 的最大值 答案：（ 1）详见；（ 2） 15万元。 试题分析：（ 1） 项目有 的可能性获利，利润为 ，有 的可能性亏损，亏损额为 。 项目有 的可能性获，利润为 ，有 的可能性亏损，亏损额为 。有 的可能性不赔不赚。
18、据此可列出分布列，根据期望公式可求各期望值。（ 2）根据已知条件列出线性约束条件，根据约束条件可求其最值。 试题：（ 1） A项目投资利润 的分布列 B项目投资利润 的分布列 6分 (2)由题意可知 满足的约束条件为 9分 由 (1)可知， 当 ， 取得最大值 15. 对 A、 B项目各投资 50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是 15万元 .12分 考点： 1分布列及期望； 2线性规划问题。 已知 为锐角，且 ，函数 ，数列 的首项 ， . （ 1）求函数 的表达式；（ 2）求数列 的前 项和 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）先用正切的二倍角公式可得 的正切值为 1，从而可
19、得，从而可求得 的值，从而可得函数 的表达式。（ 2）先用构造法求数列的通项公式，然后再用公式求数列的前 项和 。 试题：（ 1）由 ， 是锐角， （ 2） ， , （常数） 是首项为 ,公比 的等比数列 , ， 考点： 1三角函数的化简； 2数列的通项公式和前 项和。 设函数 . （ 1）若不等式 的解集为 ，求 的值； （ 2）若存在 ，使 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据绝对值不等式公式可得 的解集，根据其解集与集合 可得 的值。（ 2）令 ，根据绝对值内式子的正负去绝对值将函数改写为分段函数，根据函数的单调性求 的最值，使其最大值小于 3即可。 试题：由题意可得 可化为 ， ，解得 . （ 2）令 ， 所以函数 最小值为 ， 根据题意可得 ，即 ，所以 的取值范围为 考点： 1绝对值不等式； 2函数最值问题。
