1、全国高中数学联合竞赛一试 填空题 若函数 且 ，则 答案： 某车站每天 ， 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分） 答案： 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 答案： 若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 答案： 或 椭圆 上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的最小值为 答案： 使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数 的值为 答案： 在坐标
2、平面上有两个区域 和 ， 为 ， 是随 变化的区域，它由不等式 所确定， 的取值范围是 ，则 和 的公共面积是函数 答案： 已知直线 和圆 ，点 在直线 上， ，为圆 上两点，在 中， ， 过圆心 ，则点 横坐标范围为 答案： 解答题 （本小题满分 14分）设直线 （其中 ， 为整数）与椭圆交于不同两点 ， ，与双曲线 交于不同两点 ， ，问是否存在直线 ，使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 答案：满足条件的直线共有 9条 （本小题 15 分）已知 ， 是实数，方程 有两个实根 ，数列 满足 ， ， ( )求数列 的通项公式（用 ， 表示）； ( )若 ， ，求
3、的前 项和 答案： , 方法一： ( )由韦达定理知 ，又 ，所以 ， 整理得 令 ，则 所以 是公比为 的等比数列 数列 的首项为： 所以 ，即 所以 当 时， ， ，变为 整理得， ， 所以，数列 成公差为 的等差数列，其首项为 所以 于是数列 的通项公式为 ； 5 分 当 时， ， 整理得 ， 所以，数列 成公比为 的等比数列，其首项为所以 于是数列 的通项公式为 10 分 ( )若 ， ，则 ，此时 由第 ( )步的结果得，数列 的通项公式为 ，所以， 的前 项和为 以上两式相减，整理得 所以 15分 方法二： ( )由韦达定理知 ，又 ，所以 ， 特征方程 的两个根为 ， 当 时，通项 由 ， 得 解得 故 相关试题 （本小题满分 15分）求函数 的最大和最小值 答案：
