1、第六章 恒定电流,第六章 恒定电流,本章基本要求 1. 理解导体中电流的形成及其相关概念。 2. 掌握电流强度、电流密度的计算；理解恒定电流的连续性。 3. 掌握欧姆定律、焦耳定律，理解电流、电阻、电压三者的关系。 4. 能够熟练运用基尔霍夫第一、第二方程计算回路中电流、电势的分布。,本章主要介绍电流的规律。,6.1 电流和电流密度,一. 导体中电流的形成,在导体中形成电流的条件有二： 第一、要有可以移动的电荷； 第二、要有维持电荷作定向移动的电场。,1. 载流子：可移动的电荷,载流子可以是各种不同的带电粒子。,(1) 在金属导体中的载流子是带负电的自由电子。自由电子在导体中相对于导体作有规则
2、移动时就形成电流。,(2) 在电解质的溶液中，载流子是正、负离子。,(3) 在半导体中，载流子是电子和空穴。,2. 金属导电的经典电子理论简介,金属内的载流子是电子。,根据金属导电的经典电子理论，自由电子布满于金属导体内，与容器中作不规则热运动的气体分子很相似，所以也称为“电子气”，并认为电子气的运动也服从气体动理论的统计规律。尽管大量作无规则热运动的自由电子的平均速率很高( 例如室温时约为 105 ms-1 )。可是，就每个电子来说，由于其运动的无规则性，因而在任何一个给定方向上，它的平均速度都为零。,因此，在通常情况下，作为载流子的电子，并不能在宏观上形成有规则的定向运动，即金属中不显现电
3、流,当金属中存在电场时，每个自由电子都将受到电场力的作用，使电子逆着电场的方向相对于晶体点阵作定向的加速运动。,当金属导体中形成电流后，如果撤去电场，则由于电子的热运动以及频繁地与晶体点阵相碰撞，定向运动立即被破坏电流便消失。因而要维持电流，必须使导体内各处的电场强度不为零。,每个电子除了杂乱的热运动外，还同时逆着电场方向作有规则的定向运动，直到电子和晶体点阵碰撞为止。,碰撞时，电子受到碰撞力的作用，这个力比电场力大得多，它破坏了电子的定向运动，迫使电子沿着另一方向重新开始运动。碰撞后，电子又在电场力作用下作定向加速运动，其速度又逐渐增大起来。所以每个电子的定向运动是间断的，它不能毫无阻碍地一
4、往直前，而是漂荡地前进着；只有在两次连续碰撞之间飞行的一段时间内，定向运动的速度大小才在电场的加速下累积起来，并且对大量电子来说，电子的每“一段”定向运动的时间间隔也是或长或短、参差不齐的。但是平均来说，我们可以认为大量电子是以平均的定向速度 u ( 称为电子的“漂移”速度，约为 10-4 ms-1 )逆着电场方向缓慢地漂移过去。,这种大量自由电子的定向漂移运动在宏观上就形成金属导体中的电流。,每个电子除了杂乱的热运动外，还同时逆着电场方向作有规则的定向运动，直到电子和晶体点阵碰撞为止,3. 电流的流向,在历史上规定正电荷移动的方向作为电流的方向（以后统称“流向”)。 在金属导体中，自由电子的
5、定向移动与电流的流向是相反的。,思考,前面已经说过，电子热运动速率的数量级约为 105 ms-1；当有电场存在而产生电流时，电子作定向漂移运动的平均速率却是很小的，据估算，仅约为 10-4 ms-1。那么电流究竟是如何在瞬间传到千家万户的呢？,因为这时用电场所的电流并不是由发电机漂移过来的电子所形成的，而是由于发电机通过变压器对导线两端施加了电压，从而在导线中就要激发电场，当这个电场沿着导线传播到用电处时，使得用电处的自由电子在该处电场的驱动下，就作定向运动而形成电流。因此电流“传播”的速度就是电场传播的速度，这个速度的大小等于光速( 3108ms-1)，相当于1s内能绕行地球七圈半。 因此，
6、开关一经接通，电场在整个导线(电路)中几乎是同时建立起来的，导体中全部自由电子几乎同时沿着场强的反方向投入定向运动，即几乎同时有电流，而每个电子的定向运动的速度大小却是很慢的。,v = 10-4 m/s,c = 3108 m/s,二. 电流强度 电流密度,亦即，通过已知截面的电流强度 I 是单位时间内通过这个截面的电荷量。,设在导体上任取一截面 S，如果在 时间内，流过这个截面的电荷为 ，则通过这截面的电流强度（简称“电流”）定义为：,如果通过该截面的电流强度是随时间而变的(例如交流电)，则可用如下的瞬时电流强度来表示电流的强弱，即,注：电流强度是标量。,2. 电流密度,电流强度来描述总量 描
7、述电流强度的分布电流密度,电流线,斜柱体的体积：,单位体积内载流子的数目：n, 考虑单一载流子的情况,在 dt 时间内通过 dS 面的电荷量？,dt 时间内通过 dS 面的电量为：,dt 时间内通过 dS 面的载流子数目为：,通过dS 面的电流为：,引入矢量面元：dS = dSen,电流密度,电流密度是描述电流分布细节的物理量，是矢量： 方向为正电荷移动的方向； 大小等于通过垂直于载流子运动方向的单位面积的电流强度。, 若导体中存在几种不同的载流子 ( ni, qi, vi ), 金属中的载流子为自由电子，但各个自由电子的速度不同 ( ni, e, vi ),引入平均速度：,无外加电场，电子作
8、无规则热运动， = 0，不产生电流； 外加电场，电子获得一个平均定向速度，形成电流。,例如，铜导线单位体积内电子数约为1028 m-3 ，电子漂移速度约为 ，则电流密度大小约为104 A/m2 。, 对于通过一个有限面积 S 的电流, 对于通过一个封闭曲面 S 的电流,即：通过任一面积的电流即为通过该面积的电流密度通量。,3. 电流的连续性方程,表示净穿出封闭面的电流线的条数。,由电荷守恒定律，在单位时间内，从任意封闭面内向外流出的电荷就等于该封闭曲面内总电荷的减少，即,电流的连续性方程,例6-1-1 在电工技术上，为安全起见，铜线内电流密度大小不得超过 6A mm-2，已知铜线中的自由电子数
9、密度 n = 8.5 1028 m-3，求铜线内电子定向运动的平均速率。,6.2 恒定电流与恒定电场,一. 恒定电流及基尔霍夫第一方程,恒定电流：导体内各处的电流密度都不随时间而变化的电流，常称直流电；,1. 恒定电流的连续性,对于恒定电流，具有一个重要的性质：,反证：若有净电流流出，即有正电荷从封闭面出来，又由于电流恒定不变，即有正电荷源源不断的从封闭面中流出违背了电荷守恒定律。,表明：通过任意封闭曲面的净电流等于零，也就意味着封闭面以内的电荷分布是不随时间发生变化。,2. 导线中的恒定电流, 在无分支的电路中，通过任一截面的电流强度都是相等的：,如图(b)所示，点 P 叫做节点，它是三条
10、(或更多条) 支路的连接点。由恒定电流的连续性可知，流出节点的电流的代数和为零，即：, I1 I2 I3 + I4 + I5 = 0,即,节点电流方程（基尔霍夫第一方程）, 有分支的电路中,二. 恒定电场及基尔霍夫第二方程,说明：在恒定电流电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和总等于零回路电压方程（基尔霍夫第二方程）,恒定电场：不随时间改变的电荷分布产生的不随时间改变的电场。恒定电场一旦建立，就出现恒定电流。,辨析,恒定电场与静电场有哪些异同？,共同点： 电荷分布不随时间变化； 高斯定律、场强环路定理均成立。所以都是保守力场，可以引进电势和电势差的概念。,区别： 激发静电场的电荷是相对静
11、止的；而激发恒定电场的电荷是运动的（动态平衡）。 静电场中导体内场强为零，导体是等势体，导体中无宏观电流；而恒定电场中导体内场强不为零，导体不是等势体，导体表面也不是等势面，导体中有电流。 电荷运动时恒定电场力要做功；因此，恒定电场的存在总伴随着能量的转换。而维持静电场则不需要能量的转换。,6.3 欧姆定律和电阻,一. 欧姆定律,欧姆. G. S.,在恒定电流情况下，一段导体两端的电势差（电压）U 与通过这段导体的电流 I 之间满足：,二. 电阻,导体的电阻是描述整段导体的电学性质的一个物理量。,当导体的材料和温度一定时，横截面积为 S、长度为 l 的一段柱形导体的电阻为：,或,介绍,在工程结
12、构试验中，常常使用一种电阻式传感器，其传感元件叫做电阻应变片，它是把电阻丝或半导体薄片胶粘在薄膜衬底上的一种贴片。使用时，将它贴在待测的杆件上，当杆件受力发生形变时，应变片跟着杆件一起发生形状、大小的改变，根据上式可知，这就要引起其电阻值的改变。用电学仪器测出应变片的电阻改变值，从而可相应地确定杆件的应变。电阻应变片常用于测量飞机、轮船、桥梁、房屋的构件在受力时发生的应变。,电阻应变片, 电阻率与温度的关系,实验表明，当温度改变时，导体的电阻率也要改变。所有金属的电阻率都随温度的升高而增大。,在一般的温度范围内，几乎所有金属导体的电阻率都与温度之间近似地有如下的线性关系：,三. 超导体,有些金
13、属和化合物在降到接近绝对零度时，它们的电阻率突然减小到零，这种现象叫超导。,汞在4.2K附近电阻突然降为零, 通过积分的方法求截面不均匀的导体的电阻,例6-3-1,电阻元的电阻为：,解：如图所示，取半径为r，厚度为 dr 薄圆柱层为电阻元，则面积为： （注意电流沿径向）,由于各个薄层都是串联的，所以总电阻就应是各薄层电阻之和，求积分得：,例6-3-2 如图所示的正圆台形电阻，若沿任意横截面上电流密度的分布都是均匀的，求：,沿长度方向的电阻； 当 a = b 时，证明该圆台沿长度方向的电阻为,解：如图所示，取一小圆台，其高为dl，截面积为r2，由于电流密度均匀，小圆台沿高度方向的电阻为：,由几何
14、图所示，可知：,(1),代入(1) 式,出现两个未知量,积分得：,(2) 当 a = b 时，有,三. 欧姆定律的微分形式,欧姆定律是电压和电流的关系,实验证明，在金属或电解液内，电流密度 J 的方向与电场强度 E 的方向相同：,欧姆定律的微分形式,一般金属或电解液，欧姆定律在相当大的电压范围内是成立的，但对于许多导体（如电离了的气体）或半导体，欧姆定律不成立，这种非欧姆导电特性有很大的实际意义，在电子技术，电子计算机技术等现代技术中有重要作用。,练习1：,如图所示，半径为 R1 和 R2 的两同心导体球壳之间充满电阻率为 的介质。,计算两球壳之间的电阻； 设两球壳间电势差为U，求任意半径 r
15、 处的电流密度。,(1) 在介质中取半径为 r，厚度为 dr 的薄球壳，其电阻为：,则两球壳之间的电阻为：,(2) 由欧姆定律：,解：,在半径为 r 的球面上，电流所通过的横截面,6.4 电动势,2) 要产生恒定电流就必须设法使流到低电势处的电荷重新回到高电势处去，这样才能保持恒定的电荷分布，从而产生一个恒定电场。,1) 单纯利用静电电势差不可能维持恒定的电流，它只能产生短暂的非恒定电流。,一. 电源 电动势,非静电力：能不断分离正负电荷使正电荷逆静电场力方向运动。,电源：提供非静电力的装置。,电源的作用是克服静电力作功，迫使正电荷从低电势处 (负极) 经电源内部移向高电势处 (正极)。,电源
16、通过非静电力做功的方式，把其他形式的能量转换为电能。,称为电源的电动势。在数值上等于将单位正电荷从负极经电源内部送回到正极的过程中，非静电力所作的功。,假设正电荷 q 从电源负极送回到正极的过程中非静电力所作的功为 Ane，则,注意：规定从负极指向正极的方向为电动势的“方向”,(a), 等效的非静电场 Ene,非静电力 Fne = qEne,只存在于电源内部,在电源内，电荷q由负极移到正极时非静电力所做的功为：,（电源内）,电源的电动势：,（电源内）,标志了单位正电荷在电源内通过时有多少其他形式的能量(如电池的化学能、发电机的机械能等)转换成电能。,小结：电源电动势大小等于单位正电荷经电源内部
17、电势的升高值。,注意：规定从负极指向正极的方向为电动势的“方向”。,在整个闭合回路上都存在非静电场时，电动势可表示为：,表明：电动势在量值上等于非静电力使单位正电荷绕闭合回路一周所做的功。,如感生电动势（第十章）,辨析,电动势与电势差的异同是什么？,相同点： 二者都是描述移动单位正电荷的做功能力，因而它们的单位是相同的，都为伏特(V)。 不同点： 前者是非静电力做功，且必须经电源内部。而后者是静电力做功，与路径无关。,6.5 有电动势的电路,回路中有电动势，电流如何确定？,导体内有 Fne 和 F 共同存在,由恒定电场的保守性,又,r：电源内的电阻（内阻）; R：电源外的电阻,或,全电路欧姆定
18、律公式,注：只适用于电路只有一个回路的情况。, 适用于有多个回路的复杂电路的全电路欧姆定律公式,注意：各量正负号的选取原则。,例6-5-1 已知一段含源电路，则 UAB 等于多少？,例6-5-2 一电路如图所示，其中 b 点接地， R1 = 10，R2 = 2.5，R3 = 3， R4 = 1， E1 = 6V，r1 = 0.4， E2 = 8V，r2 = 0.6。求,通过每个电阻中的电流； 每个电池的端电压；a、d 两点间的电势差；b、c 两点间的电势差；a、b、c、d 各点的电势。,解： (1) 设电流沿逆时针方向,I,并联电阻 R1、R2 的等效电阻：,总电流,流经各电阻的电流分别是：I
19、3 = I4 = I = 2A,(2) 各电池的端电压：,(3) a、d 两点间的电势差：,E1, r1,R1,R3,R2,E2, r2,a,b,c,d,R4,I,(4) b、c 两点间的电势差：,(5) a、b、c、d 各点的电势,例6-5-3 如图所示， E1 = 3.0V，E2 = 1.0V，r1 = 0.5， r2 = 1.0，R1 = 4.5 ，R2 = 19.0 ，R3 = 10.0 ， R4 = 5.0 。 求电路中的电流分布。,解：列出基尔霍夫方程,对节点 b：,对回路 aR1bR3a：,对回路 aR3bR2a：,将已知数据代入，联立解此三方程，得：,6.7 电流的一种经典微观
20、图象,注意：由于频繁地与正离子的碰撞，在逆着电场的方向上，电子的定向运动是间断的加速运动。,第 i 个电子在两次碰撞之间的自由飞行时间内：,一. 的微观解释（经典理论）,说明：每一段自由飞行时间内的加速过程，对每一个电子来说都是全新的。（对历史没有记忆）,结论：电子的定向运动是一段一段的加速运动的接替，而各段加速运动都是从速度为零开始。 金属中电流的经典微观图象,假设在单位体积内有 n 个自由电子，则,平均自由飞行时间,二. 焦耳热的微观解释,焦耳热：电流通过金属导体时发的热,微观解释：当电流在金属导体中形成时，自由电子通过碰撞将在自由飞行时间内受电场力作用而增加的动能传给了正离子，使正离子的
21、无规则振动能量增大宏观上就表现为导体的温度升高，即发热,三. 从微观的角度推导焦耳定律,其相应的动能为：,对大量电子而言，取能量的统计平均值：,在单位体积内，n 个电子；单位时间内每个电子经历 次碰撞，,这就是单位时间内在导体单位体积内电能转换成的内能，即产生的焦耳热。,焦耳定律的微分形式,热功率密度, 考虑：一根长为 l，横截面积为 S 的导体，当电流 I 流过它时，整个导体发热的功率为：,焦耳热功率公式,小结： 定性的了解金属导体中自由电子导电的经典微观图像，即：电子的定向运动是一段一段的加速运动的接替，而各段加速运动都是从速度为零开始。,本章总结,几个基本概念,电流密度： J = qnv,电流强度：,电源的电动势：,（电源内）,几个基本方程,电流的连续性方程,节点电流方程（基尔霍夫第一方程）,全电路欧姆定律公式,回路电压方程（基尔霍夫第二方程）,两个定律,欧姆定律的微分形式,金属中电流的经典微观图象,焦耳定律：,欧姆定律： U = I R,焦耳定律的微分形式,
