1、考研数学二（二重积分）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（A）若 f(x， y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D0 均有 f(x，y)d=0，则 f(x，y)0( (x，y) D)（B）若 f(x，y) 在 D 可积， f(x，y)0 但不恒等于 0(x，y)D) ，则 f(x，y)d0（C）若 f(x，y) 在 D 连续 f2(x，y)d=0 ，则 f(x，y)0(x，y)D) （D）若 f(x， y)在 D 连续，f(x ，y)0(x，y) D)，则 f(x，y)d02 比较下列积分值
2、的大小：()l 1= ln3(x+y)dxdy，I 0= (x+y)3dxdy，I 3= sin(x+y)3dxdy，其中 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，则 I1，I 2，I 3 之间的大小顺序为（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I23 比较下列积分值的大小：J i= e-(x2+y2)dxdy，i=1， 2，3，其中D1=x，y) x2+y2R2，D 2=(x，y)x 2+y22R2，D3=(x，y) xR ，yR则 J1，J 2，J 3 之间的大小顺序为（A）J 1J 2J 3（B） J2J 3J 1（C）
3、J1J 3J 2（D）J 3J 2J 1二、填空题4 设 D 是 OXy 平面上以 A(1，1)，B(-1 ，1)和 C(-1，-1) 为顶点的三角形区域，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 将 f(x，y)dxdy 化为累次积分，其中 D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay 的公共部分(a 0)6 设 D 是由曲线 (a0，b0) 与 x 轴，y 轴围成的区域，求I= ydxdy7 在极坐标变换下将 f(x，y)d 化为累次积分，其中 D 为：x 2+y22ax 与 x2+y22ay的公共部分(a0)8 计算二重积分 ，其中 D 由 y=x 与 y=x4 围成
4、9 求 I= ，其中 D 为 y= ，y=x 及 x=0 所围成区域10 求 I= ，其中 D 是由抛物线 y2=x，直线 x=0，y=1 所围成11 求 I= x1+yf(x2+y2)dxdy，D 由 y=x3，y=1 ，x=-1 围成，f 是连续函数12 求 I= 其中 D：x1 ，0y2 13 设 D 由抛物线 y=x2，y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后 y 的顺序，将 I=化成累次积分14 求 I= ，D 由曲线 x2+y2=2x+2y-1 所围成15 交换累次积分的积分顺序：I= 01dx f(x，y)dy+ 14dx f(x，y)dy16 将极坐标变换后的二重积分
5、f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：其中 F(r，)=f(rcos，rsin)r17 计算累次积分：I= 01dx1x+1ydy+12dxxx+1ydy+23dxx3ydy18 将 d0sinf(rcos，rsin)rdr 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分19 计算 e-y2dy0ye-x2dx+ e-x2dx20 计算 ，其中 D 是由圆心在点 (a，a)、半径为 a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域21 计算二重积分： x+y-2dxdy，其中 D：0x2，-2y222 计算下列二重积分：() xyd，其中 D 是由曲线 r=
6、sin2(0 )围成的区域；() xyd，其中 D 是由曲线 y= ，x 2+(y-1)2=1 与 y 轴围成的在右上方的部分23 求下列二重积分：()I= ，其中 D 为正方形域：0x1，0y1；( )I= 3x+4y dxdy，其中 D：x 2+y21；()I= ydxdy，其中D 由直线 z=-2，y=0 ，y=2 及曲线 x= 所围成24 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且恒大于零，证明： abf(a)dxab (b-a)225 ()记 (R)=(x，y)x 2+y2R2，I(R)= e-(x2+y2)dxdy，求 I(R)；()证明： -+e-x2dx=考研数学二（二重积分）模拟
7、试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接指出其中某命题不正确因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确设(x 0，y 0)是 D 中某点，令f(x，y)= 则在区域 D 上 2f(x，y)0 且不恒等于 0，但 f(x，y)d=0因此选 (B)或直接证明其中三个是正确的命题(A)是正确的用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证若 f(x，y)在 D不恒为零 (x0，y 0)D， f(x0，y 0)0，不妨设 f(x0，y 0)0，由连续性 有界闭区域 D0 D，且当
8、(x，y) D0 时 f(x，y)0 f(x，y)d 0，与已知条件矛盾因此，f(x，y)0 ( (x，y)D) 命题(D) 是正确的利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证这是因为 f(x，y) =f(x0，y 0)0，其中(x 0，y 0)是 D 中某点于是由二重积分的不等式性质得 f(x，y)df(x 0，y 0)0，其中 是 D 的面积命题(C)是正确的若f(x，y) 在(x，y)D 上 f2(x，y)0 且不恒等于 0由假设 f2(x，y)在 D 连续f2(x，y)d0 与已知条件矛盾于是 f(x，y)0 在 D 上成立因此选 B【知识模块】 二重积分2 【正确答
9、案】 C【试题解析】 在区域 D 上， x+y1当 t1 时，lntsintt，从而有(x，y)D时，ln 3(x+y) sin3(x+y) (x+y)3，则 ln3(x+y)d sin3(x+y)d (x+y)3d因此选 C【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 C【试题解析】 D 1，D 2 是以原点为圆心，半径分别为 R， 的圆，D3 是正方形，显然有 D1 D3 D2因此 C 成立【知识模块】 二重积分二、填空题4 【正确答案】 8【试题解析】 连 将区域 D 分成 D1(三角形 OAB)，D 2(三角形 DBC)两个部分(见图 82) ，它们分别关于 y 轴与 x 轴对称由于 对 x
10、 与 y均为奇函数，因此又由于D 的面积= .2.2=2，所以 4dxdy=4.2=8于是 I=0+8=8【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 如图 85，x 2+y2=2ax 与 x2+y2=2ay 是两个圆，其交点为 O(0，0)，P(a，a)因此，若先对 y 积分，就有若先对 x 求积分，则【知识模块】 二重积分6 【正确答案】 先对 y 积分 令 ，则x=a(1-t)2，dx=2a(t-1)dt于是 I= 04t4(1-t)2adt= .【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acos 与 r
11、=2asin，交点 P 处的极坐标是 于是连接 OP 将区域 D 分成两部分(见图 813)，则或者先对 积分，则【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 D 的图形如图 814 所示，虽然 D 的边界不是圆弧，但被积函数是 r= 选用极坐标变换方便在极坐标变换下，D 的边界方程是 =从而 于是【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 区域 D 如图 815被积函数只含 y，先对 x 积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单. 若先对 y 积分，则求积分要费点功夫选择先对 x 积分，将 D 分块：于是【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 的原函数不是初等函数，故 积不出来，因此选先 x后 y 的
12、顺序积分区域 D 如图 816，于是 I=01dx0y2 =01 0y2dy=01 (yey-y)dy= .【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 D 的图形如图 817 xdxdy=-11dxfx31xdy=-11x(1-x3)dx= xyf(x2+y2)dxdy= xyf(x2+y2)dxdy=0这里被积函数 xyf(x2+y2)关于(x，y)为偶函数，而 D1=(x，y)0x1，0yx 3与 D1=(x，y)-1x0，x 3y0关于原点对称 xyf(x2+y2)dxdy= xyf(x2+y2)dxdy， xyf(x2+y2)dxdy= xyf(x2+y2)dxdy+ xyf(x2+y2
13、)dxdy= xyf(x2+y2)dxdy=0因此【知识模块】 二重积分12 【正确答案】 在积分区域 D 上被积函数分块表示为 y-x2=(x，y) D，因此要将 D 分块，用分块积分法又 D 关于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数，记 D1=(x，y)(x，y)D，x0，yx 2，D2=(x，y) (x，y)D，x0，yx 2，于是【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 区域 D 如图 818 所示，将 D 分成 x0 与 x0 两部分才是先积x 后积 y 的类型，于是用分块积分法即得【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 D 是圆域：(x-1) 2+(y-1)21，见图 819
14、作平移变换 u=x-1，v=y-1，则其中D=(u，v)u 2+v21【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 将累次积分表示为 f(x，y)d，累次积分的表示式表明：积分区域 D 由两部分构成，当 0x1 时，区域 D 的下侧边界为 ，上侧边界为；当 1x4 时，D 的下侧边界为 y=x-2，上侧边界为 即D=(x，y) 0x1 ， (x，y)1x4，x-2y .其图形为图820 所示，改变积分顺序，先对 x 求积分，就要把区域 D 的边界表示成 y 的函数，即 D 的左侧边界为 x=y2，右侧边界为 x=y+2，最后再求出 x=y2 与 x=y+2 的两个交点的纵坐标 y=-1 和 y=2
15、，即可将区域 D 表示为 D=(x，y)-1y2，y 2xy+2，由此不难写出新的累次积分先对 x 积分，就是从区域 D 的左侧边界 x=y2 到右侧边界 x=y+2两边界线的交点为 (1，-1) 与(4，2)，于是由(84)式得 I= f(x，y)dxdy= -12dyy2y+2f(x，y)dx.【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 r=2acos 是圆周 x2+y2=2ax，即(x-a) 2+y2=a2，因此 D 的图形如图821 所示为了先 后 r 的积分顺序，将 D 分成两块，如图 821 虚线所示，D=D1D2，D 1=(x，y)0r D2=因此【知识模块】 二重积分17 【正确
16、答案】 由累次积分限知：0x1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1；2x3时 xy3，于是积分区域 D 如图 823 所示，因此 D 可表示为D=(x，y) 1y3 ，y-1xy，则原式= yd=13dyy-1yydx=13ydy= y2 13=4.【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 D 的极坐标表示： 0，0rsin ，即 0，r 2rsin，即x2+y2y，x0，则 D 为左半圆域：x 2+y2y，x0，即x2+ ，x0先对 y 后对 x 积分，D ：于是原式=【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 题中无论是先对 x，还是先对 y 积分都很难进行，这是因为 e-x2，e -y
17、2 的原函数不是初等函数，所以必须改用其他坐标系又由于被积函数属f(x2+y2)的形式，因此选用极坐标系较方便积分区域 D 为扇形所以原式= e-(x2+y2)dxdy= d0Re-r2rdr= (1-e-R2)= (1-e-R2).【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 由于圆的方程为：(x-a) 2+(y-a)2=a2，区域 D 的边界所涉及的圆弧为 y=a- ，所以【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 因 如图824，用直线 y=-x+2，y=-x 将 D 分成 D1，D 2 与 D3于是【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 () 积分域 D 见图 825D 的极坐标表示是：0
18、 ，0rsin2，于是()选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为 r=1 与 r=2sin，交点的极坐标为(见图 826) ，于是积分域 D 的极坐标表示为 D=，则【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解()尽管D 的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便 D 的边界线 x=1及 y=1 的极坐标方程分别为于是()在积分区域 D 上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因 D 是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，则 D：02，0r
19、1从而I=023cos+4sin d 01.rdr= 02sin(+0)d ，其中 sin0= ，cos 0= 由周期函数的积分性质，令 t=+0 就有()D 的图形如图827 所示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D1，则计算 D1 上的积分自然选用极坐标变换若只考虑区域 D，则自然考虑先 x 后 y 的积分顺序化为累次积分若注意 D 关于直线 y=1 对称，选择平移变换则最为方便作平移变换 u=x，v=y-1，注意曲线 即 x2+(y-1)2=1，x0，则 D 变成 D. D由 u=-2，v=-1，v=1 ，u 2+v2=1(u0)围成，则【知识模块】 二重积分24 【正确答案】 利用积分
20、变量的改变，可得 abf(x)dxab =abf(x)dxab其中 D=(x，y)axb，ayb并且利用对称性(D 关于y=x 对称 )，可得 abf(x)dxab=(b-a)2【知识模块】 二重积分25 【正确答案】 () 首先用极坐标变换求出 I(R)，然后求极限 I(R).作极坐标变换 x=rcos，y=rsin 得 I(R)=02d0Re-r2rdr=2( e-r2) 0R=(1-e-R2)因此，() 因为 e-x2 在(- ，+) 可积，则 -+e-x2dx= -RRe-x2dx通过求 -RRe-x2dx 再求极限的方法行不通，因为e -x2dx 积不出来( 不是初等函数)但可以估计这个积分值为了利用 e-(x2+y2)dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题( -RRe-x2dx)=-RRe-x2dx-RRe-y2dy= e-(x2+y2)dxdy其中D(R)=(x，y)xR，yR 显然 I(R) e-(x2+y2)dxdy ，又，于是 (-RRe-x2dx)2=(-+e-x2dx)2=.【知识模块】 二重积分
