1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，则下列选项中不正确的是 ( )（A）矩阵 AE 是不可逆矩阵。（B）矩阵 A+E 和对角矩阵相似。（C）矩阵 A 属于 1 与一 1 的特征向量相互正交。（D）方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。2 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（A）A T。（B） A2。（C） A1 。（D）AE 。3 三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（A）秩 r(A)=0。（B）秩 r(A)=1
2、。（C）秩 r(A)=2。（D）条件不足，不能确定。4 已知 =(1，一 2，3) T 是矩阵 A= 的特征向量，则 ( )（A）a= 一 2，b=6。（B） a=2，b=一 6。（C） a=2，b=6。（D）a= 一 2，b=一 6。5 设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中A 2； P1 AP； A T； E 一 A。 肯定是其特征向量的矩阵个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。6 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（A）充分必要条件。（B）必要而非充分条件。（
3、C）充分而非必要条件。（D）既非充分也非必要条件。7 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA ； A2 B2； A TB T； A 1 B 1 。 正确的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。8 已知 P1 AP= ， 1 是矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量， 2 与 3 是矩阵 A 属于特征值 =5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是( )（A）( 1，一 2， 3)。（B） (1， 2+3， 223)。（C） (1， 3， 2)。（D）( 1+2， 1 一 2， 3)。9 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则( )（A）A 的 n 个特征
4、向量两两正交。（B） A 的 n 个特征向量组成单位正交向量组。（C）对于 A 的 k 重特征值 0，有 r(0E 一 A)=n 一 k。（D）对于 A 的 k 重特征值 0，有 r(0E 一 A)=k。二、填空题10 设矩阵 A= 的一个特征值为 1=一 3，且 A 的三个特征值之积为一12，则 a=_；b=_；A 的其他特征值为_。11 已知矩阵 A= 的特征值的和为 3，特征值的乘积是一 24，则b=_。12 设 =(1，一 1，a) T，=(1，a，2) T，A=E+ T，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是_。13 设 =(1，一 1，a) T
5、是 A= 的伴随矩阵 A*的特征向量，其中 r(A*)=3，则 a=_。14 设 A 是三阶可逆矩阵，A 的各行元素之和为 k，A *的各行元素之和为 m，则A=_ 。15 若矩阵 A= 只有一个线性无关的特征向量，则这个线性无关的特征向量是_。16 已知 A= 有三个线性无关的特征向量，则 x=_。17 已知 Ai=ii(i=1，2，3)，其中 i=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1) T， 3=(一 2，一1，2) T，则 A=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 n 阶矩阵 A= ，求 A 的特征值和特征向量。19 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值，
6、1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=3。20 已知 A= 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量，并求可逆矩阵 P 使 P1 AP=A。20 已知矩阵 相似。21 求 x 与 y；22 求一个满足 P1 AP=B 的可逆矩阵 P。23 设矩阵 相似，求 x，y；并求一个正交矩阵 P，使 P1 AP=A。23 某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所
7、占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量 。24 求 的关系式并写成矩阵形式： ；25 验证 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；26 当 。26 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且27 求 A 的所有特征值与特征向量；28 求矩阵 A。29 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=一 1， 3=0；对应 1， 2 的特征向量依次为 P1=(1，2，2) T，P 2=(2，1，一 2)T，求 A。29 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2， 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A5 一 4A3+
8、E，其中 E 为三阶单位矩阵。30 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；31 求矩阵 B。32 29设 A= ，且存在正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 (1，2，1) T，求 a，Q。考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，一 1，所以矩阵 AE 的特征值是一1，0，一 2。由于 =0 是矩阵 AE 的特征值，所以 AE 不可逆。故选 A。因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵
9、 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。(或由 而知 A+E 可相似对角化)。由矩阵 A 有一个特征值等于 0 可知 r(A)=2，所以齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系由 nr(A)=3-2=1 个解向量构成。选项 C 的错误在于，若 A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般 n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 A【试题解析】 由于E AT= (E A)T=EA ，A 与 AT 有相同的特征多项式，所以 A 与 AT 有相同的特征值。 由 A=，0 可得到 A2=2，A 1 =1
10、 ，(AE)=(1)， 说明 A2、A 1 、AE 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)。所以应选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 D【试题解析】 考查下列矩阵 它们的特征值全是零，而秩分别为 0，1，2。所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的。所以应选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有即有 所以 =一 4，a=一2，b=6，故应选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A=，0，有 A2=A()=A=2，即
11、 必是 A2 属于特征值2 的特征向量。又 知 必是矩阵 E 一 A属于特征值 1 一 的特征向量。关于 和则不一定成立。这是因为(P 1 AP)(P1 )=P1 A=P1 ，按定义，矩阵 P1 AP 的特征向量是 P1 。因为 P1 与 不一定共线，因此 不一定是 P1 AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组(E A)x=0 与(E 一 AT)x=0 不一定同解，所以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=B，故E 一 B
12、= E一 P1 AP=P 1 (EA)P=P 1 E AP=E A，即 A 与B 有相同的特征值。但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似。例如虽然 A，B 有相同的特征值 1=2=0，但由于 r(A)r(B)，A，B 不可能相似。所以，相似的必要条件是 A，B 有相同的特征值。所以应选B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 D【试题解析】 因 AB，可知存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，于是 P1 A2P=B2，P TAT(PT)1 =BT，P 1 A1 P=B1 ， 故 A2B 2，A TB T，A 1 B 1 。 又由于 A 可逆，可知 A1 (AB)
13、A=BA，即 ABBA。故正确的命题有四个，所以选D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 D【试题解析】 若 P1 AP= ，P=( 1， 2， 3)，则有 AP=PA，即(A1，A 2，A 3)=(11， 22， 33)，可见 i 是矩阵 A 属于特征值 i(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此 1， 2， 3 线性无关。若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确。若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 与 的线性组合仍是属于特征值 的特征向量。本题中， 2， 3 是属于 =5 的线性无关的特征向量，故 2+3， 2 一
14、23 仍是 =5 的特征向量，并且 2+3， 2 一 23 线性无关，故选项 B 正确。对于选项 C，因为2， 3 均是 =5 的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确。故选项 C 正确。由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故选项 D 错误。所以应选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 C【试题解析】 实对称矩阵 A 必可相似对角化，A 的属于 k 重特征值 0 的线性无关的特征向量必有 k 个，故 r(0EA)=n 一 k。选项 C 正确。 需要注意的是：实对称矩阵 A 的特征向量不一定两两正交，但属于
15、不同特征值的特征向量一定正交；n 个特征向量不一定是单位正交向量组。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题10 【正确答案】 1；2 或一 2； 2=3=2【试题解析】 由题意可得A=一 4a2b2=一 12，所以 2ab 2=6。又 A 的特征多项式为EA= =( 一 2)2 一(a 一 2) 一 6，而 A 有特征值一 3，所以 1=一 3 必是方程 2 一(a 2) 一 6=0 的根，故 a=1，b=2 或一2。由E 一 A=( 一 2)(2+ 一 6)=( 一 2)2(+3)可得矩阵 A 的另外两个特征值为 2=3=2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 一
16、 3【试题解析】 矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+(一 1)=3，所以 a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有=5b9=一 24，所以 b=一 3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 k(1，一 1，1) T。k0【试题解析】 令 B=T，则矩阵 B 的秩是 1，且 T=a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是 =( T)=(T)=2， 即 =(1，一 1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2
17、 的特征向量，也是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 一 1【试题解析】 是 A*的特征向量，设对应于 的特征值为 0，则有 A*=0，该等式两端同时左乘 A，即得 AA*=A= 0A，即展开成方程组的形式为因为 r(A*)=3，A *0，因此 00，根据方程组中的前两个等式，解得 a=一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 km【试题解析】 由 A 的各行元素之和为 k，A *的各行元素之和为 m 可知 A(1，1，1)T=k(1，1，1) T，A *(1，1，1) T=m(1，1，1) T， 在 A(1，1
18、，1) T=k(1，1，1) T 两边同时左乘 A*可得 A*A(1，1，1) T=kA*(1，1，1) T，即 A(1，1，1) T=kA*(1，1，1)T=km(1，1，1) T， 故A=km。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 k(1，0，1) T，其中 k0【试题解析】 因 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必是三重的，且 r(EA)=2。由 tr(A)=1+2+3=9 可得 1=2=3=3。于是 3EA=，显然 a1。再由(3EA)x=0 的解得特征值 =3对应的特征向量为(1，0，1) T。故线性无关的特征向量是 k(1，0，1) T，其中 k0
19、。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方程EA= =(1)(2 一 1)=0，可得 A 的特征值是 =1(二重 )，=一 1。因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以=1 必有两个线性无关的特征向量，因此 r(EA)=32=1，根据【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 【试题解析】 由 Ai=ii(i=1，2，3)可知 A 的特征值为 1，2，3。令P=(1， 2， 3)= ，则 P1 AP= ，所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式
20、为EA= =1 一(n 1)b 一(1b) n1 ，则 A 的特征值为 1+(n 一 1)b 和 1b(n1 重)。当 b=0 时，A 的特征值是 1(n 重)，任意 n 维非零列向量均为 A 的特征向量。当 b0 时，对方程组(1+n 一 1)bEAx=0 的系数矩阵作初等行变换得解得上述方程组的基础解系为 1=(1，1，1，1) T。所以 A 的属于 =1+(n 一 1)b 的全部特征向量为 k1=k(1，1，1，1) T，其中 k0。对方程组(1b)EAx=0 的系数矩阵作初等行变换得 解得上述方程组的基础解系为 2=(1，一 1，0，0) T， 3=(1，0，一 1，0) T， n=(
21、1，0，0，一 1)T，所以 A 的属于 =1 一 b 的全部特征向量为 k22+k33+knn，其中k2，k 3，k n 是不全为零的常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 A( 1+2+3)=(1+2+3)。 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是有 ( 1)1+(一 2)2+( 一 3)3=0。 因为 1， 2， 3 线性无关，故 1=0， 一 2=0，3=0，即 1=2=3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 A 的特征多项式为=( 一2n+1)( 一 n+1)n1
22、 ，则 A 的特征值为 1=2n 一 1， 2=n1，其中 2=n 一 1 为 n 一1 重根。当 1=2n1 时，解齐次方程组( 1E 一 A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有 得到基础解系1=(1， 1， ，1) T。当 2=n 一 1 时，齐次方程组 (2E 一 A)x=0 等价于x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=(一 1，1，0，0) T， 3=(一 1，0，1，0)T， ， n=(一 1，0，0，1) T，则 A 的特征向量是 k11 和 k22+k33+knn，其中 k10，k 2，k 3，k n 不同时为零。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特
23、征向量21 【正确答案】 相似矩阵有相同的特征值，由矩阵 B 的特征值为 2，y，一 1 可知矩阵 A 的特征值也为 2，y，一 1，故A=2y(一 1)=一 2，且 tr(A)=2+0+x=2+y+(一 1)，解得 y=1，x=0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 A 的特征值为 1=2， 2=1， 3=一 1。由( iEA)x=0(i=1，2，3)解得矩阵 A 的属于特征值 1=2， i=1， 3=一 1 的特征向量分别为 1=(1，0，0)T， 2=(0，1，1) T， 3=(0，一 1，1) T，令可逆矩阵 P=(1， 2， 3)= ，则 P1 AP=B。【知识模
24、块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 A 与 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=一 4，=y是 A 的特征值。因为 =一 4 是 A 的特征值，所以A+4E= =9(x 一 4)=0，解得 x=4。又因为相似矩阵的行列式相同，A= =一 100， =一 20y，所以 y=5。当 =5 时，解方程(A 一 5E)x=0，得两个线性无关的特征向量 ，将它们正交化、单位化得： 当 =一 4 时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量 ，单位化得：【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 由题意得 化成矩阵形式为【知识模块】 矩阵的特征
25、值和特征向量25 【正确答案】 因为行列式 1， 2= =50，所以 1， 2 线性无关。又 A1= =1，故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值 1=1。A 2=，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值 2= 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 由 ，得即特征值 1=一 1， 2=1 对应的特征向量为 又由 r(A)=23 可知，A 有一个特征值为 0。设 3=0 对应的特征向量为是特征值 0 对应的特征向量。因此 k11，k 22，k 3 是依次对应于特征值一 1，1，
26、0的特征向量，其中 k1，k 2，k 3 为任意非零常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=(q1，q 2，q 3)，使QTAQ=Q1 AQ= 。将对应于特征值 1、 2 的特征向量单位化，得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 由 A1=1 得 A21=A1=1，依次递推，则有 A31=1，A 51=1，故 B1=(A5 一 4A3+E)1=A51 一 4A31+1=一 21，即 1 是矩阵 B 的属于特征值一2
27、的特征向量。由关系式 B=A5 一 4A3+E 及 A 的三个特征值 1=1， 2=2， 3=一 2得 B 的三个特征值为 1=一 2， 2=l， 3=1。设 1， 3 为 B 的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2、 3正交，即 1T2=0， 1T3=0。因此 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为：。B 的全部特征向量为：，其中 k10，k 2，k 3 不同时为零。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1，那么 知矩阵A 的特征值是 2，5，一 4。对 =5，由(5EA)x=0 得基础解系 2=(1，一 1，1) T。对 =一 4，由(一 4E 一 A)x=0 得基础解系 3=(一 l，0，1) T。因为 A 是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2， 3，即【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
