1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)= ，则必有( )（A）P(A|B)=（B） P(A|B)（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B)2 设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ =1，则 A 与 B 必( )（A）不相容（B）对立（C）独立（D）不独立3 设随机变量 X 的分布函数 ，则 PX=1=( )（A）0（B）（C）（D）1-e -14 设连续型随机变量 X1 与 X2 相互独立且方差均存在，X 1
2、 与 X2 的概率密度分别为f1(x)与 f2，随机变量 Y1 的概率密度为 f1(y)+f2(y)，随机变量 Y2= (X1+X2)，则( )（A）EY 1EY 2，DY 1 DY2（B） EY1=EY2，DY 1=DY2（C） EY1=EY2，DY 1DY 2（D）EY 1=EY2，DY 1DY 2二、填空题5 设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等，若已知 A 至少出现一次的概率等于 ，则事件 A 在一次试验中出现的概率为_ 6 设一批产品中一、二、三等品各占 60，30，10，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_7 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则 P
3、X+Y1=_8 设随机变量 X 的概率密度为 ，- x+，问 X 服从什么分布(若有参数须答出)?且常数 A=_9 用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个零件是次品的概率为 ，(i=1，2，3)，设这 3 个零件中有 X 个合格品(非次品即为合格品 )，则 P(X=2)=_10 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 E(X2)=_。11 设 和 是两个相互独立且均服从正态分布 N(0，12)的随机变量，则 E(|-|)=_。12 设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表) ， 其中， 未知，但已知 E(Y)=53，则 =_，=_，E(X
4、)=_，E(XY)=_13 已知一批零件的长度 X(单位：cm) 服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是_(注：标准正态分布函数值 (196)=0 975，(1645)=095)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设随机变量 X 与 y 相互独立，X 服从正态分布 N(， 2)，y 服从-，上均匀分布，试求 Z=X+Y 的概率分布密度 (计算结果用标准正态分布函数 表示，其中)15 设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为 p，且各引擎是否正常运行是相互独立的，如果有至少 50的引擎正常运行，飞机就
5、能成功飞行，问对于多大的 p 而言，4 引擎飞机比 2 引擎飞机更可取?15 设随机变量 X 的概率分布为 PX=1)=P(X=2)=12，在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i=1，2)。16 求 Y 的分布函数 FY(y)；17 求 EY18 对随机变量 X，已知 EekX 存在(k0 常数)，证明：PX E(e kX)，(其中0)19 设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70 的概率不小于 095，样本容量n 至少应取多大?(1645)=09519 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数，从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X
6、 n，记 =min(X1，X 2，X n)20 求总体 X 的分布函数 F(x)；21 求统计量 的分布函数 ；22 如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性23 设总体 XB(m，p)，其中 m 已知，p 未知，从 X 中抽得简单样本X1，X n，试求 p 的矩估计和最大似然估计24 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 S=11，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(B|
7、A)= 化简得 P(AB)=P(A)P(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(A|B)= ，得 P(AB)=P(A)P(B)，故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P(X=1)=F(1)-F(1-0)=(1-e -1)- -e-1，故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，X 1 与 X2 独立，且 X1 与 X2 均为连续型随机变量，故 E(X1-X1)20，即有E(X12)+E(X22)2E(X 1X2)即 E(Y12)E(Y 22)，故得DY1DY 2，选(D) 【知识模块
8、】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 设在每次试验中 A 出现的概率为 p，则， =P(A 至少出现 1 次)=1-P(A 出现 0 次 )=1-C230p0(1-p)3-0=1-(1-p)3，解得【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 记 Ai=取得 i 等品)，i=1，2，3则 =09，而=P(A1)=06，故 P(A1| )=【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 其中区域 G 如如图所示(阴影部分)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 -x 2+x=，与正态分布的概率密度相比较，得【知识模块】
9、概率论与数理统计9 【正确答案】 11/24【试题解析】 设 Ai=第 i 个零件是合格品，i=1，2，3则 P(X=2)=【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 184【试题解析】 由题意，XB(10，04)，EX=1004=4 DX=1004(1-04)=2 4 所以 EX2=DX+(EX)2=24+4 2=184【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 若记 X=-，则 EX=E-E=0，DX=D+D=1 可得 XN(0，1)【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 29；19；53；259【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答
10、案】 (3951，4049)【试题解析】 总体 XN(， 02)， 02=1 已知，n=16， =40(样本均值)，1-=095， =u0975=196，故得 的置信下限为： 的置信上限为：故 的置信区间为(3951 ，4049) 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 由题意，y 的概率密度为由卷积公式，知Z 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设 4 引擎与 2 引擎飞机分别有 X 与 Y 个引擎正常工作，则XB(4，p) ，YB(2，p)，P(X2)=1-(1-p) 4-4p(1-p)3，P(Y1)=1
11、-(1-p) 2，由 P(X2)P(Y1)，而 0P 1，可解得【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(Yy|X=1)P(X=1)+P(Yy|X=2)P(X=2)由题意可得：【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由 FY(y)=P(Yy)=P(Yy|X=1)P(X=1)+P(Yy|X=2)P(X=2)由题意可得： 得 Y 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 不失一般性，设 X 为连续型随机变量，概率密度为 f(x)，则EekX=-+exkxf(x)dx，而 Px)=【知识模块】 概率论与
12、数理统计19 【正确答案】 由题意知：【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 F(x)= -xf(t)dt 当 x 时，F(x)=0；当 x 时，F(x)= x2e-2(t-)dt=1-e-2(x-)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 =Pmin(X1，X n)x=1-Pmin(X1，X m)x=1-PX 1x，X 2x，X nx=1-PX 1x)PX2xX nx=1-1-F(x) n【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 的概率密度为：【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 矩估计：EX=mp ， ；最大似然估计；似然函数为：L= P(Xi=xi)=【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设炮口速度为总体 X，XN( ， 2)，而 n=9，=005， 的置信下限为 =74299， 的置信上限为【知识模块】 概率论与数理统计
