1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )2 在曲线 y=(x-1)2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为 ( )二、填空题3 4 5 6 7 8 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 10 11 12 设 f(x)连续且关于 x=T 对称，a13 14 设 f(x)在区间0，1上可导， 证明：存在 (0，1)，使得2f()+f(
2、)=015 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得16 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且 证明：存在 (0，)，使得 f()=017 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f(x)2证明：18 设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得19 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数(1)证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c,1 上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设 f(x)在(0，1)内可导，且 ，证明(1)中的 c 是唯一
3、的20 求曲线 与 x 轴围成的区域绕 x 轴、y 轴形成的几何体体积21 求双纽线(x 2+y2)2=a2(x2 一 y2)所围成的面积22 抛物线 y2=2x 把圆 x2+y2=8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比23 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设C 的方程是 y=x2，C 1 的方程是 ，求曲线 C2 的方程24 设曲线 y=a+xx3，其中 a0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与 x
4、轴所围成图形的面积相等，求 a25 求曲线 y=x2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V26 设平面图形 D 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积27 设 L：y=e -x(x0)(1)求由 y=e-x、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)(2)设 ，求 c28 求由曲线 y=4 一 x2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积29 曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 z 轴所
5、围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积30 求摆线 的第一拱绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积31 设曲线 与 x 轴、y 轴所围成的图形绕 z 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)+V2(a)最大，并求最大值32 设一抛物线 y=ax2+bx+C 过点(0，0)与(1，2)，且 a33 设直线 y=kx 与曲线 所围平面图形为 D1，它们与直线 x=1 围成平面图形为 D2(1)求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值；
6、(2)求此时的 D1+D234 求摆线 的长度35 设曲线 ，过原点作切线，求此曲线、切线及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的表面积36 一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功考研数学一（高等数学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y=(x-1)2 上点(2，1) 的法线方程为 ，该法线与 x轴的交点为(4，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x
7、 轴旋转一周所得的几何体的体积为 ，选(D)【知识模块】 高等数学部分二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模
8、块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得 ，其中 c ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，所以 2f()+2f()=0，注意到 0，故 2f()+f()=0【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块
9、】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 设曲线 y=a+xx3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，(【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】
10、 【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 C=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2 一 a因为 a0，抛物线与 x 轴的两个交点为 ，所以令 S(a)=0，得 a=一 4，从而 b=6，所以当 a=一 4，b=6，c=0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功，d=(2Rx)R2 一(Rx) 21gdx=x(2Rx)2gdx， 【知识模块】 高等数学部分
