1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 118 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，f(x)，g(x)均为 x 的同阶无穷小量，则下列命题正确的是 ( )（A）f(x)-g(x) 一定是 x 的高阶无穷小量（B） f(x)+g(x)一定是 x 的高阶无穷小量（C） f(x)g(x)一定是 x 的高阶无穷小量（D） 一定是 x 的高阶无穷小量2 设 a 为常数， f(x)= 则( )（A）当 0a 1 时，f +(1)存在（B）当 1a2 时，f +(1)存在（C）当 a1 时，f +(1)存在（D）当 a2 时，f(x) 在 x=1 处右连续3
2、 设 f(x)= 处处可导，则( )4 函数 y=x3cos3x 在 内有( )（A）一个驻点，无极值点（B）两个驻点，一个极值点（C）两个驻点，两个极值点（D）三个驻点，两个极值点5 下列积分中，不等于零的是( )6 由曲线 y=1-(x-1)2 及直线 y=0 围成的图形绕 y 轴旋转形成的旋转体的体积为 ( )7 设 ，则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但两个偏导数不存在（C）两个偏导数存在但不可微（D）可微8 设 u(x，y，z)-=zarctan ，则 grad(1，1，1)=( )9 设空间区域 由旋转抛物面 z=x2+y2 与圆锥面 围成，则 的体积等于
3、( )10 设三元函数 u=xy2+z2+xyz，则 rot grad u=( )（A）xi+yi+zk（B） (y2+yz)i+(2xy+xz)j+(2z+xy)k（C） 0（D）yi+zj+xk11 幂级数 (-1)n(x+1)n 的和函数是( )12 微分方程 y+3y+2y=x2+xe-x 的特解应具有的形式为( )（A）y *=Ax2+Bx+C+x(ax+b)e-x（B） y*=Ax2+Bx+C+(ax+b)e-x（C） y*=Ax2+x(ax+b)e-x（D）y *=Ax2+(ax+b)e-x.二、填空题13 =_.14 设 f(x)= 在点 x=0 处连续，则 a=_15 设 y
4、=lnarctan(1-x)，则 dy=_16 曲线 y=4x-x2 在点_处的曲率最大17 =_.18 =_.19 曲线 与直线 x=0，x= 及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为_20 设函数 z=z(x，y)是由方程 x2+y2= 确定的隐函数，其中 为可导函数，则 =_.21 =_(其中 a，b 均为大于零的常数)22 已知 f(x)具有一阶连续导数，f(1)=e，曲线积分与路径无关，则当积分曲线从 A(0，1)到B(1，2) 时，I 的值为_23 设幂级数 an(x-x0)n，如果由该幂级数在 x=2 点发散，在 x=-1 点收敛，便可知其收敛半径，则幂级数
5、an(x-1)n 的收敛域是_24 微分方程 的通解为_.25 二阶线性常系数非齐次微分方程 y+y=2x+cosx 具有的特解形式为_26 差分方程 2yt+1-6yt=3t 的通解为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 118 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件，设当 ab时，a-b0，即 f(x)-g(x)不是 x 的高阶无穷小量，排除 A；当 a-b时，a+b0，即 f(x)+g(x)不是 x 的高阶无穷小量，排除 B取 f(x)=sin2x，g(x)=tan2x，则当 x0 时f(x)，g(x) 均为 x
6、的同阶无穷小量，但 即不是 x 的高阶无穷小量，排除 D故应选 C事实上【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 当 x1 时，f(x)=a(x-1) a-1 而由此可知，当 a-10，即 a1时，f +(1)不存在；当 a-10，即 a1 时，f +(1)=0；当 a=2 时， 不存在；当 a2 时， =0=f+(1)综上所述，只有 C 正确【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)处处可导，所以 f(x)处处连续，当然在点 x=0 处连续，于是由于 f(x)在点 x=0 处可导，所以 f-(0)=f+(0)，而【知识模块】 高等数学4 【正确答案】
7、 D【试题解析】 y=3x 2cos3x3x 3sin3x=3x2(cos3x-xsin3x)，令 y=0，则 x=0 ， 或cos3x-xsin3x=0令 (x)=cos3x-xsin3x，则 (x)在 上连续，而由零点定理，至少存在点 1 ，使 (1)=(2)=0，故 y=x3cos3x 在内至少存在三个驻点：0， 1， 2选 D【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查奇偶函数在对称积分区间上的积分特点 由于A、B、C 选项中的被积函数均为连续的奇函数，所以其积分的结果均为零，故应选 D事实上，【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 一般地，求旋
8、转体的体积都有两种方法根据本题的选项，取 y 为积分变量，为此将曲线 y=1-(x-1)2 表示成( 两条)：如图 15 所示，所求旋转体的体积 V 看成是两个旋转体的体积之差：于是 V=V 1-V2=故应选 D【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件(记z=f(x，y)=f(0，0) ，dz=dx-2dy，= 知z-dz=o()， 即z=dz+o()由可微的定义知，f(x，y)在点(0 ，0)处可微，且 dz=dx-2dy，故应选D【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个三元函数在某点的梯度的计算问题，由梯度计算公式，有【知识模块】 高等数学
9、9 【正确答案】 B【试题解析】 (用柱坐标计算) 空间区域 在 xOy 面上的投影区域为 x2+y21，所求体积为【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个梯度与旋度的综合计算问题【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 令 s(x)= (-1)nn(x+1)n=(x+1) (-1)nn(x+1)n-1，记 s1(x)= (-1)nn(x+1)n-1，等式两边从-1 到 x 积分得等式两边求导，得 故幂级数的和函数为 d(x)=(x+1)s1(x)=，x(-2 ，0) 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 二阶线性齐次微分方程 y+
10、3y+2y=0 的特征方程为 r2+3r+2=0，特征根为 r1=-1，r 2=-2故 y+3y+2y=x2 的特解应具有的形式为y*1=Ax2+Bx+C；y+3y+2y=xe -x 的特解应具有的形式为 y*2=x(ax+b)c-x，从而y+3y+2y=x2+xe-x 的特解应具有的形式为 y *=y*2+y*2=Ax2+Bx+C+x(ax+b)e-x【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 e 3【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)在点 x=0 处连续，所以【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数
11、学16 【正确答案】 (2，4)【试题解析】 y=4-2x，y=-2，曲率函数当 x=2 时，k 为最大，此时 y=4，故曲线在点(2， 4)处的曲率最大【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 这是一个函数记号的灵活表示与定积分计算结合的问题应先写出f(x)的表达式，然后再计算定积分 因为所以 f(x)= 从而【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查旋转曲面的侧面积的计算由旋转曲面的侧面积计算公式，有【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 这是一个三元方程所确定的二元隐函数的偏导
12、数计算问题题设三元方程可写成 x2+y2- =0记 F(z，y，z)=x 2+y2- ，利用隐函数求偏导公式，有【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 由于被积函数的原函数求不出来，无法直接计算定积分，但考虑到被积函数的特点，以及【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 这是一个第二类曲线积分的计算与微分方程求解的综合问题解题思路是：利用曲线积分与路径无关，建立微分方程，解微分方程求出未知函数 f(y)，然后再计算从 A(0，1) 到 B(1，2)时 I 的值记 P(x，y)=yf(y)，Q(x ，y)=，因为曲线积分 I 与路径无关，所以 即 -f(y)=f(y
13、)+yf(y)，也即 这是一个一阶线性微分方程的初值求解问题其通解为 由 f(1)=e，得 C=0，于是 f(y)= 此时故当积分曲线从 A(0，1)到 B(1，2)时，I 的值为【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查利用阿贝尔定理确定幂级数的收敛半径与收敛域的方法由阿贝尔定理知，如果幂级数 a(x-x0)n 在 x=2 处发散，则该幂级数在适合x-x 02-x 0的一切 x 发散如果幂级数 an(x-x0)n 在 x=-1 处收敛，则该幂级数在适合x-x 0-1-x 0=1+x 0的一切 x 收敛由已知条件，令2-x0= 1+x0，得 x0= ，故该幂级数的收敛
14、半径 R= an(x-1)n 的收敛区间为 当 x= 收敛；当 x= 发散故幂级数 an(x-1)n 的收敛域为【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 y=C(x-2y) 2 或 x=【试题解析】 (利用齐次方程) 原微分方程可写成 令，代入上面方程得分离变量，得等式两边积分，得所以 变量还原并化简，得 y=C(x-2y)2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y *=Ax+B+x(Ccosx+Dsinx)【试题解析】 因为 0 不是特征方程 r2+1=0 的根，所以设 y+y=2x 的一个特解为y1*=Ax+B 又因为i 是特征方程 r2+1=0 的根，所以设 y+y=cosx 的一个
15、特解为y2*=x(Ccosx+Dsinx)， 故 y+y=2x+cosx 具有的特解形式为 y*=y1*+y2*=Ax+B+x(Ccosx+Dsinx)【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 y t=C.3t+ t.3t【试题解析】 差分方程可化为 y t+1-3yt= .3t这是一个一阶线性差分方程，其对应的齐次差分方程为 yt+1-3yt=0，通解为 Yt=C.3t，其中 C 为任意常数设 yt*=At.3t是 yt+1-3yt= .3t 具有的特解形式，则 yt+1*=A(t+1)3t+1，将 yt*，y t+1*代入到 yt+1-3yt=.3t，并化简得 A= ，所以 yt*= t.3t故原差分方程的通解为yt=Yt+yt*=C.3t+ t.3t【知识模块】 高等数学
