1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 149 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列各项中正确的是（A）若 都收敛，则 (unv n)2 收敛（B）若 u nvn收敛，则 都收敛（C）若正项级数 un 发散，则 （D）若级数 un 收敛且 unvn(n1，2，)，则级数 也收敛2 若级数 an(x1)n 在 x一 1 处收敛，则此级数在 x2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定二、填空题3 设 L 是区域 D：x 2y 2一 2x 的正向边界，则 I (x3 一 y)dx(x 一 y3)dy_4 设 L 是平面上从圆周 x2y 2
2、a 2 上 一点到圆周 x2y 2b 2 上 一点的一条光滑曲线(a0，b0)，r ，则 I r3(xdxydy)_5 设 r ，常数 使得曲线积分 对上半平面的任何光滑闭曲线 L 成立，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 求一段均匀圆柱面 S：x 2y 2R 2(Ozh)对原点处单位质点的引力假设该圆柱面的面密度为 17 求 ，其中 L：x 2y 2R 2 的正方向7 求下列平面上曲线积分8 I y22xysin(x2)dx，其中 L 为椭圆 的右半部分，从 A(0，b) 到B(0，b) 9 I ，其中 A(0，1)，B(1，0) ， 为单位圆在第四象限部分10 ，其
3、中 是沿椭圆 正向从 A(a，0)到(0，b)的一段弧， a111 其中 L 是椭圆周 ，取逆时针方向12 I exsinymyy)dx(e xcosymx)dy，其中 L： t 从 0 到，a 012 求下列曲面积分13 ，其中为由区面 yx 2z 2 与平面 y1，y2 所围立体表面的外侧14 (z1)dxdy xydzdx，其中 为圆柱面 x2y 2a 2 上 x0，0z1 部分，法向量与 x 轴正向成锐角， 为 Oxy 平面上半圆域 x2y 2a2，x0 部分，法向量与 z 轴正向相反15 I (x2 一 y2)dzdx(y 2 一 z2)dzdx(z 2 一 x2)dxdy，S 是的
4、上侧15 求下列空间中的曲线积分16 I yzdx3zxdy xydz，其中 L 是曲线 且顺着 x 轴的正向看是沿逆时针方向17 I (x2 一 yz)dx(y 2 一 xz)dy(z 2 一 xy)dz，其中 是沿螺旋线xacos，yasin ，z ，从 A(a，0，0) 到 B(a，0，h)的有向曲线18 判断下列曲线积分在指定区域 D 是否与路径无关，为什么 ?(I) f(x2y 2)(xdzydy)，其中 f(u)为连续函数，D：全平面(II) ，D(x ，y)全平面除去一 z0，y019 设 (x)在(0，) 有连续导数，()1试确定 (x)，使积分在 x0 与路径无关，并求当 A
5、，B 分别为(1，1)，(，)时的积分值20 求 PdxQdy 在指定区域 D 上的原函数，其中 P，Q，Dy)x021 选择 a，b ，使 PdxQdy 在区域 D(x，y)x 2y 20内为某函数 u(x，y)的全微分，其中 P (x22xyax 2)，Q (x22xyby 2)22 已知 E r，其中 r x，y，z rr，q 为常数，求 divE 与 rotE考研数学一（高等数学）模拟试卷 149 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 (A) 正确【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 ，tx1，在 t
6、2 处收敛 R2，x2 时 t1 (R，R) 在 t1 即 在 x2 处绝对收敛选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 2【试题解析】 把线积分表成 D 是圆域：(x1) 2y 21，于是由格林公式 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 r 3(xdxydy) r3d(x2y 2) r3dr2r 4drd ，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 -1【试题解析】 把线积分表成 PdxQdy0 ，(上半平面是单连通区域)，即【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 (I)设引力 FF x，F y，F z，由对称性
7、知，F x0，F y0因此只需求 F 沿 z 轴的分量 Fz如图 934( )在圆柱面上任一点 (x，y，z)处取一小块曲面元 dS，记 rx，y，z ，r *430，则曲面元对原点处单位质点的引力 dF，它沿 z 轴的分量为 ()圆柱面对原点单位质点的引力的 z 分量 () 计算曲面积分要投影到 yz 平面(或 zx 平面)来计算圆柱面 S 在 yz 平面的投影区域为 Dyz(y ， z) 0zh，一 RyR，曲面 S的方程为 x ，曲面微元 记 S1 为前半圆柱面，于是【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 将 L 表成参数方程的形式，即 x Rcos，yRsin(02)，于是注意到右端积
8、分存在且为一常数，所以【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 I Ly2dx Lydcos(x2)cos(x 2)dy【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 将 I 表成 I LPdxQdy，则不能在 L 围成的区域上用格林公式，取圆周(如图 104)C ：x 2 y2 2 (0 充分小)，逆时针方向，在 L 与 C围成的区域 D上可用格林公式得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 将积分 I 分解成 II 1I 2，其中I1 易通过求原函数而求得，I 2 容易直接计算：因此【知识模块
9、】 高等数学【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 围成区域 ，直接用高斯公式得 作柱坐标变换 D(y)：0r ，02 ，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 12 不封闭，添加辅助面后用高斯公式 3：z1，X 2y 2a2，x0，法向量朝上 4：x0，一 aya，0z1，法向量与 x 轴正向相反 4 垂直 xy 平面与 zx 平面 (z1)dxdyxydzdx0 3垂直 zx 平面1， 2， 3， 4 围成区域，用高斯公式【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 用高斯公式来计算曲面不封闭，添加辅助面S 1：z0，1，取下侧S 与 S1 围成 (I) 记 I1 PdydzQdzdxRd
10、xdy，因为 S1与 yz 平面及 zx 平面垂直，且 S1 上 z0，所以()在 上用高斯公式注意 关于 yz 平面与 zx 平面对称，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 投影到 xy 平面上记 L 在 xy 平面上的投影为 ，也取逆时针方向， 围成的区域为 D：x 2(y 一 2)222用 z3y1，dz3dy 代入得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 把积分表示成，I PdXQdyRdz考察 F(P ，Q ，R)的旋度 若 是闭曲线，以 为边界的曲面S，定向按右手法则，由斯托克斯公式 这里 不封闭，添加辅助线 BA，构成了封闭曲线，于是【知识模块】 高等
11、数学18 【正确答案】 (I)f(x 2 y2)(xdxydy)d (x2y 2) 即被积表达式 f(x2y 2)(xdx ydy) 原函数，因此该线积分在全平面与路径无关 ()如图 109，L LPdxQdy， (X，Y)DD 为单连通区域，因此积分在D 与路径无关【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 记 I PdxQdy，在单连通区域 D：x0 上该积分与路径无关 两边乘 u(x) x 得x(x)sin x(x)一 cosxc由 ()1 得 C 1_因此 (x) 下求积分值 I注意 (x)，代入得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 先确定 a，b，使 ，(x，y) D因 D 不是单连通的， 在 D 成立不足以保证 PdxQdy 原函数用不定积分法直接求出原函数 u(x，y)【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 E x，y，z，【知识模块】 高等数学
