1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1992 年) 当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量?( )（A）x 2 （B） 1 一 cosx （C）（D）xtanx2 (2013 年) 函数 的可去间断点的个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (2002 年) 设函数 f(x)在闭区间 a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0（B）对任何 (a，6)，有（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (
2、a，b) ，使 f()=0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)4 (2011 年) 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 =( )（A）一 2f(0)（B）一 f(0)（C） f(0)（D）05 (1992 年) 设 ，其中 f(x)为连续函数，则 等于( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在6 (2008 年) 已知 则( )（A）f x(0，0)，f y(0，0)都存在（B） fx(0， 0)不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0， 0)存在，f y(0，0)不存在（D）f x(0，0)，f y(0，0)都不
3、存在7 (1994 年) 设常数 0，而级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关8 (2010 年) 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常， 使 y1+y2 是该方程的解，y 1y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )二、填空题9 (2009 年) =_.10 (1991 年) 设 f(x)=xex，则 f(n)(x)在点 x=_处取极小值 _11 (2007 年) 设函数 ，则 y(n)(0)=_12 (1988 年) 设 ，一x+，则 1)f(x)=_ 2)f(x)的单调性是_ 3)f(x)的奇偶性是 _ 4
4、)其图形的拐点是 _ 5)凹凸区间是_ 6)水平渐近线是_13 (2011 年) 曲线 直线 x=2 及 x 轴所围的平面图形绕 z 轴旋转所成的旋转体的体积为_14 (2002 年) 交换积分次序 =_15 (2016 年) 设函数 f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)zy 2=x2f(xz，y)确定，则dz (0， 1)=_16 (1989 年) 幂级数 的收敛域是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (2015 年) 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k
5、的值18 (1989 年) 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为P=P(x)= 且最大需求量为 6，其中 x 表示需求量，P 表示价格 1)求该商品的收益函数和边际收益函数； 2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格；3)画出收益函数的图形19 (1998 年) 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t=0)就售出，总收入为R0(元)如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为 假定银行的年利率为 r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 r=006 时的 t 值20 (2009 年)()证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a
6、 ，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(B)一 f(A)=f()(b 一 a) ) 证明：若函数 f(x)在 x=0处连续，在(0，)( 0)内可导，且 ，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A21 (1990 年) 求函数 在区间e，e 2上的最大值22 (2000 年) 设23 (2010 年) )比较 01lnt1n(1+t) ndt 与 01tnlntdt(n=1，2，)的大小，说明理由； )记 un=01lnt 1n(1+t) ndt(，z 一 1，2，)，求极限 24 (1993 年) 设 z=f(x，y) 是由方程 z 一 y 一 x+xez yx =0
7、 所确定的二元函数，求dz25 (2002 年) 设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xexyey=zex所确定，求 du26 (2010 年) 求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值27 (2000 年) 设28 (1989 年) 求微分方程 y+5y+6y=2ex 的通解29 (2003 年) 设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(一 ，+)内满足以下条件： f(x)=g(x)，g(x)=f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x (1)求 F(x)所满足的一阶方程； (2)
8、求出 F(x)的表达式考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 x0 时是同阶无穷小，则应选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 则 x=0 和 x=1 为可去间断点，故应选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在(a ，b) 内可导 (a，b)，则 f(x)在 点可导，因而在 点连续，故4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 f(x)=f(0)+f(0)x+0(x)=f(0)x+o(x)f(x3)=f(o)x3+o(
9、x3)=f(0)一 2f(0)=一 f(0)5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 f(x，0)=e x，在 x=0 处不可导，事实上而 不存在，则 fx(0，0)不存在又 在 y=0 处可导，则 fy(0)存在，故应选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 收敛，又 收敛，则原级数绝对收敛8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 y1+y2 为方程 y+p(x)y=q(x)的解，则 (y 1+y2)+p(x)(y1+y2)=q(x)即 (y1+p(x)y1)+(y2+p(x)y2)=q(x) q(x)+q(x)=q(x) +=1 由于 y1y 2 为方程 y+p(x)
10、y=0 的解，则 (y 1y 2)+p(x)(y1y 2)=0 (y1+p(x)y1)(y 2+p(x)y2)=q(x) q(x)q(x)=q(x) =1 由(1) 式和(2)式解得二、填空题9 【正确答案】 应填【试题解析】 10 【正确答案】 应填一(n+1)，【试题解析】 由高阶导数的莱布尼兹公式 可知， f (n)(x)=(n+x)ex，f (n+1)(x)=(n+1+x)ex，f (n+2)(x)=(n+2+x)ex 令 f (n+1)(x)=0，解得 f( n)(x)的驻点x=一 (n+1)又 f(n+2)一(n+1)=e (n+1) 0，则 x=一(n+1)为 f(n)(x)的极
11、小值点，极小值为11 【正确答案】 应填【试题解析】 y=(一 1)(2x+3)2 .2；y=(一 1).(一 2)(2x+3)3 .22 则 y(n)=(一 1)nn!(2x+3)(n+1) .2n；y (n)(0)=(一 1)nn!3(n+1) .2n=12 【正确答案】 应填 在(一，+) 上单调增，奇函数， (0，0)，在(一，0)上凹，在(0 ，+)下凹，【试题解析】 (1) (2)因为 则 f(x)在(一，+)上单调增；(3)因为则f(x)是奇函数(4) 因为 f(0)=0，且在 x=0 两侧 f(x)变号，则(0，0)为拐点； (5)因为当 x0 时，f(x)0曲线 y=f(x)
12、上凹，当 x0 时，f(x)0，曲线 y=f(x)下凹；(6)则曲线 y=f(x)有两条水平渐近线：13 【正确答案】 应填【试题解析】 V= 12y2dx=12(x21)dx=14 【正确答案】 应填【试题解析】 由原累次积分可知积分域如图 216，因此15 【正确答案】 应填一 dx+2dy【试题解析】 由原方程知，当 x=0，y=1 时，z=1 方程(x+1)zy 2=x2f(x 一 2，y)两边求全微分 zdx+(x+1)dz 一 2ydy=2xf(xz，y)dx+x 2f1.(dxdz)+f2dy 将x=0，y=1，z=1 代入上式得 dz (0，1) =一 dx+2dy16 【正确
13、答案】 应填l，1)【试题解析】 该幂级数的收敛半径为当 x=1 时，原级数为是发散的当 x=一 1 时，由交错级数的莱布尼兹准则知级数收敛，则原级数收敛域为一 1，1)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由于当x0 时，f(x)kx 3，则18 【正确答案】 (1)收益函数 (0x6)边际收益函数为(2)由因此 R(x)在 x=2取得极大值，又因为极值点唯一，则此极大值必为最大值，最大值为 所以，当产量为 2 时，收益取最大值，收益最大值为(3)由以上分析可列下表，并画出收益函数的图形(见图21)19 【正确答案】 根据连续复利公式，这批酒在窖藏 t 年末售
14、出总收入 R 的现值为A(t)=Rert ，而 所以于是， 售出，总收入的现值最大当 r=006 时，20 【正确答案】 () 取 由题意知 F(x)在a， b上连续，在(a，b)内可导，且f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)()对于任意的 t(0，) ，函数 f(x)在0，t上连续在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理故f+(0)存在，且 f+(0)=A21 【正确答案】 xe，e 2则 I(x)在e， e2上单调增，则最大值为 I(e2)22 【正确答案】 23 【正确答案】 () 当 0t1 时，因为 ln(1+t)t，所以 lntln(1+t)ntnlnt，因此 01
15、lntln(1+t) ndt01tnlntdt () 由()知0un=01lntln(1+t) ndt01tnlntdt24 【正确答案】 25 【正确答案】 设 F(x，y，z)=xe xyey 一 zez，则 F x=(x+1)ex，F y=一(y+1)ey，F z=(z+1)ex26 【正确答案】 设 F(x，y，z，)=xy+2yz+(x 2+y2+z2 一 10)令得可能的最值点因为在 A，D 两点处27 【正确答案】 令则其收敛半径 R=1，在(一 1，1)内有28 【正确答案】 原方程相应的齐次方程的特征方程为 r 2+5r+6=0 解得 r1=一 2，r 2=一 3 则齐次方程
16、通解为 Y=C1e2x +C2e3x 设齐次方程特解为 y*=Aex ，代入原方程得 A=1 则原方程通解为 y=C1e2x +C2e3x +ex 29 【正确答案】 (1)由 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g2(x)+f2(x) =f(x)+g(x)2x 一 2f(x)g(x) =4e2x 一 2F(x) 则 F(x)所满足的一阶方程为 F(x)+2F(x)=4e 2x (2)方程 F(x)+2F(x)=4e2x是一个一阶线性方程，由求解公式得 F(x)=e 2dx 4e2x.e2dx+C =e2x+Ce2x 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式得 C=一 1 故 F(x)=e 2x 一 e2x
