1、2005 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= 的定义域为 ( )（A）x1（B） x5（C） 1x5（D）1x52 下列函数中，图象关于 y 轴对称的是 ( )（A）y=cosx（B） y=x3+x+1（C）（D）3 当 x0 时，与 -1 等价的无穷小量是 ( )（A）x（B） x2（C） 2x（D）2x 24 = ( )（A）e（B） e2（C） e3（D）e 45 设 f(x)= ，在 x=0 处连续，则 a= ( )（A）1（B） -1（C）（D）6 设函数 f(x)在 x=1 处可导，且 ，则 f(1
2、)= ( )7 由方程 xy=ex+y 确定的隐函数 x=x(y)的导数 = ( ) 8 设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则 f(n)(x)= ( )（A）nf(x) n+1（B） n!f(x)n+1（C） (n+1)f(x)n+1（D）(n+1)!f(x) n+19 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )（A）f(x)=1-x 2，x-1 ，1（B） f(x)=xe-x，x-1 ，1（C） f(x)= ，x-1，1（D）f(x)=x，x -1， 110 设 f(x)=(x-1)(2x+1)，x(-，+)，则在( ，1)内，f(x)单调 ( )（A）增加，曲
3、线 y=f(x)为凹的（B）减少，曲线 y=f(x)为凹的（C）增加，曲线 y=f(x)为凸的（D）减少，曲线 y=f(x)为凸的11 曲线 y= ( )（A）只有垂直渐近线（B）只有水平渐近线（C）既有垂直渐近线，又有水平渐近线（D）无水平、垂直渐近线12 设参数方程 ，则二阶导数 = ( )13 若f(x) +C，则 f(x)= ( )14 若f(x)dx=F(x)+C,则cosxfsinx)dx= ( )（A）F(sinx)+C（B） -F(sinx)+C（C） F(cosx)+C（D）-F(cosx)+C15 下列广义积分发散的是 ( )16 = ( )17 设 f(x)在-a,a上连
4、续，则定积分 f(-x)dx= ( )18 设 f(x)的一个原函数是 sinx，则f(x)sinxdx= ( ) 19 设函数 f(x)在区间a，6上连续，则不正确的是 ( )（A） 是 f(x)的一个原函数（B） 是 f(x)的一个原函数（C） 是-f(x)的一个原函数（D）f(x)在a，b上可积20 直线 与平面 x-y-z+1=0 的关系是 ( )（A）垂直（B）相交但不垂直（C）直线在平面上（D）平行21 函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 存在是它在该点处可微的 ( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）无关条件22 设 z= ，则 dz (1，
5、2) = ( )23 函数 f(x， y)=x2+xy+y2+x-y+1 的极小值点是 ( )（A）(1 ，-1)（B） (-1，1)（C） (-1，-1)（D）(1 ，1)24 二次积分 写成另一种次序的积分是 ( )25 设 D 是由上半圆 y= 和 x 轴所围成的闭区域，则 f(x，y)dxdy= ( )26 设 L 为 y=x2/sup从点(0，0)到点(1，1)的一段弧，则 L2xydx+x2dy： ( )（A）1（B） 1（C） 2（D）-227 下列级数中，条件收敛的是 ( )28 下列命题正确的是 ( )（A）若级数 收敛，则级数 收敛（B）若级数 收敛，则级数 收敛（C）若正
6、项级数 收敛，则级数 收敛（D）若级数 收敛，则级数 都收敛29 微分方程(x-2y)y=2x-y 的通解是 ( )（A）x 2+y2=C（B） x+y=C（C） y=x+1（D）x 2-xy+y2=C30 微分方程 +2x=0 的通解是 ( )（A）x=C 1cost+C2sint（B） x=C1e-t+C2et（C） x=cost+sint（D）x=e -t+et二、填空题31 设 f(x+1)=x2+2，则 f(x-2)=_32 若 =5，则 a=_33 曲线 y=arctanx 在(1， )处的切线方程是_34 设 y= ，则 dy=_35 函数 y=2x2-lnx 的单调递增区间是
7、_36 曲线 y= 的拐点是_37 设 f(x)连续，且 f(t)dt=x，则 f(27)=_38 设 f(0)=1，f(2)=2 ，f(2)=3，则 xf(2x)dx=_39 函数 y= te-tdt 的极小值是_40 =_41 由向量 a=1，0，-1) ，b=0 ，1，2)为邻边构成的平行四边形的面积为 _42 设 =_43 设 D 是由 y= ， y=x，y=0 所围成的第一象限部分，则dxdy=_44 将 f(x)= 展开为 x 的幂级数是_45 用待定系数法求方程 y-4y+4y=(2x+1)e2x 的特解时，特解应设为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求极限47 已知
8、 y= ，f(x)=arctanx 2，求48 求不定积分49 设 f(x)=50 设 x=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f(u，v)可微，求51 求 ，其中 D 是由 xy=1,y=x 及 x=2 所围成的闭区域52 求幂级数 的收敛域(考虑区间端点)53 求微分方程(x 2+1)y+2xy-cosx=0 的通解四、综合题54 一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 100 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费试问租金定为多少元时可获得最大收入?最大收入是多少?54 平面图形由抛物线
9、y2=2x 与该曲线在点( ，1) 处的法线所围成，试求：55 该平面图形的面积.56 该平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体体积五、证明题57 试证：当 x0 时，有2005 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 x-10 且 5-x0，解得 10，于是，曲线有拐点(1，e)37 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(t)dt=x，两边同时对 x 求导，得 f(x3).3x2=1， 所以 f(x3)= ，将 x=3 代入，得 f(27)=38 【正确答案】 【试题解析】 39 【正确答案】
10、0【试题解析】 y=xe -x，令=0，得驻点 x=0； 又 y=e-x-xe-x=(1-x)e-x，于是y x=00=10， 故 x=0 是函数的极小值点，且极小值为 y(0)=040 【正确答案】 lnx+cosx +C【试题解析】 d(x+cosx)=lnx+cosx+C41 【正确答案】 【试题解析】 因 ab=42 【正确答案】 【试题解析】 方程 可化为 =0 令 F(x，y，z)= -lnz+lny43 【正确答案】 【试题解析】 积分区域 D 可表示为(r，) 0 ，0r1 44 【正确答案】 【试题解析】 f(x)45 【正确答案】 y *=x2(Ax+B)e2x，(A，B
11、为特定常数)【试题解析】 特解可设为 y*=xk(Ax+B)e2x 特征方程为 r2-4r+4=0，解得特征根为r1,2=2 所以 k=2，因此 y*=x*(Ax+B)e2x，(A，B 为特定常数 )三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 原式47 【正确答案】 令 u=48 【正确答案】 令 x=tant, ，dx=sec2 2dt 原式= sec2tdt=tan2tdsect=(sec2t-1)dsect= sec2t-sect+C=49 【正确答案】 令 u=x-1=3ln2-150 【正确答案】 由已知，得 u=exsiny，v=x 2+y2，z=f(u，v)， 51
12、 【正确答案】 如第 51 题图所示，区域 D 可表示为：(x，y)1x2 ， yx52 【正确答案】 设 un(x)= ，则 所以，当 x21 时，即-1x1 时，级数收敛， 则幂级数的收敛区间为(-1，1)， 又当 x=-1 时，对应的数项级数为 ，该级数发散， 当 x=1 时，对应的数项级数为 ，该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛 所以，已知级数的收敛域为(-1，153 【正确答案】 原方程可化为 y+ ，其齐次方程的通解为 y=设原方程的解为 y= ，代人原方程，得整理得 C(x)=cosx 两边积分得 C(x)=sinx+C 故原方程的通解为：y=四、综合题54 【正确
13、答案】 设月租金为 x，由题意得，该房产公司的收人为 y=(50-x )(x-200)=(70-001x)(x-200)，x2000 因 y=-001(x-200)+70-001x=-002x+72 令 y=0，得驻点：x=3600 又 y=-00255 【正确答案】 由导数的几何意义知，点( ，1)处的切线斜率为 =1 于是过该点的法线的斜率为：k=-1， 所以法线方程为：y-1=-(x- )，即 x+y= 抛物线 y2=2x 与点( ，1)处的法线即 x+y= 所围成的平面图形如第 55 题图中阴影所示 联立 y2=2x 与 x+y= ，解得交点坐标为：则所求平面图形的面积为56 【正确答案】 将(1)中阴影图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积为 五、证明题57 【正确答案】 取 f(x)=lnx，当 x0 时 f(x)在x， 1+x上满足拉格朗日定理的条件，于是至少存在一点 (x,1+x)，使得 f()= 又x1+x ，于是 所以
