1、2015 年广东专插本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若当 0 时， k2 23 3 与 是等价无穷小，则常数 k ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 已知函数 f()在 0 处有二阶导数，且 f(0)0， f( 0)1，则下列结论正确的是 ( )（A） 0 为 f()的极小值点（B） 0 为 f()的极大值点（C） 0 不是 f()的极值点（D）( 0，f( 0)是曲线 yf()的拐点3 设 F()是 f()的一个原函数，C 为任意实数，则f(2)d ( )（A）F() C（B） F(2)C（C） F(2)C（D）2F(
2、2) C4 若函数 f() k 在区间0，1上满足罗尔 (Rolle)定理的条件，则常数k( )（A）1（B） 0（C） 1（D）25 下列级数中，收敛的是 ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 曲线 y(1 )的水平渐进线为 y_7 设函数 yf() 由参数方程 所确定，则 _8 广义积分 _9 微分方程 yy 0 满足初始条件 y 0 1 的特解为 y_10 设函数 f()log 2( 0)，则 _三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 已知函数 f() 在点 1 处连续，求常数 a 和 b 的值12 求极限13 设 yln 求 y 014 计算不定积分15 求由曲线 ycos2
3、 和直线 y0，0 及 围成的平面图形的面积16 将二次积分 I -11d 化为极坐标形式的二次积分，并计算 I的值17 求微分方程 y2y5y0 满足初始条件 y 0 2，y 0 0 的特解18 判定级数 的收敛性四、综合题19 设二元函数 zf(，y) vln(0，1)，平面区域D(，y) 2e，1y1 (1)求全微分 dz； (2)求 f(，y)d20 已知 f()是定义 R 上的单调递减的可导函数，且 f(1) 0函数 F() 0f(t)dt 21 (1)判别曲线 yF()在 R 上的凹凸性，并说明理由； (2)证明：方程F()0 在区间 (0，1)内有且仅有一个实根2015 年广东专
4、插本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 k1，故本题选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 由 f()在 0 处有二阶导数，f( 0) 10 且 f()0，则 0 为 f()的极小值点3 【正确答案】 C【试题解析】 f(2)d (2)d(2) F(2)C，故本题选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f()在0，1上满足罗尔定理知，f(0) f(1)，即 1k，故本题选C5 【正确答案】 D【试题解析】 级数 为公比小于 1 的几何级数，是收敛的；级数为 p 1 的 p-级数，也是收敛的，故级数 是收敛
5、的二、填空题6 【正确答案】 e -5【试题解析】 e -5，则 ye -5 为曲线的一条水平渐近线7 【正确答案】 2【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 对微分方程分离变量为 d，则 lny 2C，C 为任意常数即 y ，又 y 0 1，故 C0，特解为 y 10 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 f(1)a， 当a1b2，即 a2，b 1 时，f() 在 1 处连续12 【正确答案】 13 【正确答案】 ylne ln(e 1)ln(e 1)，14 【正确答案】 设 t，则 t 22，d2tdt，
6、15 【正确答案】 所求面积：16 【正确答案】 由给定的二次积分知，积分区域 D(，y)11 ，0y， 如图所示： 则在极坐标下：D(r，)0r1，017 【正确答案】 微分方程的特征方程为 r22r50， 解得 r12i ， 微分方程的通解为 ye (C1cos2C 2sin2)， ye (C1cos2C 2sin2)e (2C 1sin22C 2cos2)， y 0 C 12，y 0 C 12C 20，解得C22， C2 1，故微分方程的特解为 ye (2cos2sin2)18 【正确答案】 显然 ， 则由比值审敛法知，级数 收敛， 再由比较审敛法知，级数 收敛 由比较审敛法知，收敛四、
7、综合题19 【正确答案】 (1) y-1y y-1ln y-1(1yln)， yln2， dz y-1(1yln)d yln2dy (2) f(，y)d 2cd-11lnd 2c(y -11)d 20 【正确答案】 (1) F()f()2，F()f()2，且由题意知 f()0(R)， F ()0(R)， 故曲线 yF()在 R 上是凸的 (2)显然 F()在0，1上连续，且F(0)10， F(1) 01f(t)dt2 012dt20， 方程 F()0 在区间(0，1)内至少有一个实根 由 F()0 知 F()在 R 上单调递减， 1 时，有 F()F(1)f(1)20， 由此知 F()在(0，1)内单调递增， 因此方程 F()0 在(0，1)内至多只有一个实根， 故方程 F()0 在区间(0，1) 内有且仅有一个实根
