1、专升本（高等数学一）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题1 若 x0 为 f(x)的极值点，则( )（A）f(x 0)必定存在，且 f(x0)=0（B） f(x0)必定存在，但 f(x0)不一定等于零（C） f(x0)可能不存在（D）f(x 0)必定不存在2 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=F(1)，则在(0，1) 内曲线 y=f(x)的所有切线中( )（A）至少有一条平行于 x 轴（B）至少有一条平行于 y 轴（C）没有一条平行于 x 轴（D）可能有一条平行于 y 轴3 设 f(x)在点 x0 处连续，则下面命题正确的是( )4 由点 A(x1，y 1，z
2、1)，B(x 2，y 2，z 2)确定向量 =( )5 函数 f(x)= 的间断点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 幂级数 在点 x=3 处收敛，则级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 an 有关7 设 y=lnx 则 y“=( )8 曲线 y=xe-x 的拐点是( )（A）(2 ，2e -2)（B） (0，0)（C） (1，e -1)（D）(2 ，e -2)9 设函数 f(x)=e2x，则不定积分 =( )（A）2e x+C（B） ex+C（C） 2e2x+C（D）e 2x+C10 设 f(x+y， x-y)= ，则 f(x，y)=( )二、填空
3、题11 若 =e-kx，则 k=_。12 要使 y=arcsinau(a0)，u=2+x 2 能构成复合函数，则 a 取值范围是_。13 设 f(x)= 且 f(x)在点 x=0 处连续，则 a=_。14 已知由方程 x2+y2=e 确定函数 y=y(x)，则 =_。15 已知 f(x)dx=2x+sinx+C，则 f(x)=_。16 设 f(2)=1， 02f(x)dx=1，则 02f(x)dx=_。17 过原点且与平面 2x-y+3z+5=0 平行的平面方程为_。18 函数 f(x， y)=x3+y3-9xy+27 的极小值点是_。19 级数 绝对收敛的充要条件是_。20 微分方程 x(y
4、)2-2xy+x=0 的阶数是_。21 计算22 计算sin3xdx23 将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子，问当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积。24 求过点 M0(0，2，4)，且与两个平面 1， 2 都平行的直线方程，其中 1：x+y-2z-1=0， 2：x+2y-z+1=025 设 x2+y2+z2-4z=0，求 。26 将函数 f(x)= 展开为 x-1 的幂级数，并指出收敛区间( 不考虑端点)。27 求微分方程 y“+y-2y=0 的通解。28 设 (1)改变积分次序；(2)计算
5、 I 的值。专升本（高等数学一）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 虽然 x0 为 f(x)的极值点，但在此点处导数可能存在也可能不存在。故选 C。2 【正确答案】 A【试题解析】 所设条件正好是罗尔定理的条件，则由罗尔定理的结论可知应选A。3 【正确答案】 C【试题解析】 由连续函数定义可知：f(c)在 x0 处连续应有 =f(x0)，C 项正确；函数连续并不一定函数可导，D 项错误，所以选 C。4 【正确答案】 B【试题解析】 由 A(x1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，可知 =x2-x1，y 2-y1，z 1-z1)，则 ，故选 B。5
6、 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要是讨论没有定义的点因为 x=0，x=1 处没有定义，所以在 x=0 和 x=1 处间断，故选 C。6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 在 x=3 处收敛，即|a n| ，所以由常数级数中几何级数 q= 1，知 (-1)nan 是绝对收敛的，故选 A。7 【正确答案】 C【试题解析】 y=lnx， 故选 C。8 【正确答案】 A【试题解析】 y=xe -x，y=e -x-xe-x，y“=-e -x-e-x+xe-x=e-x(x-2)，令 y“0 得 x=2因为在x=2 左侧 y“0，在 x=2 右侧 y“0，所以 x=2，y=2e -2 为拐点，故选
7、A。9 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=e 2x，令 =f(t).2dt=2e2tdt=2td(2t)=e2t+C=ex+C，故选 B。10 【正确答案】 C【试题解析】 f(x+y，x-y)= ，令 x+y=u，x-y= ，则有 f(u，)= 故选 C。二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 这是检查第二类重要极限的题。因为e-5k，所以由条件等式有 e-5k=e-10，即5k=10，k=2 。12 【正确答案】 【试题解析】 因为由常见函数 y=arcsinQ(x)，这里的 |Q(x)|1，-1Q(x)1，即-1au1，0a(2+x 2)1，有 02aa(2+x -5k)1，
8、得 0a ，又由 a0 可知 a 的取值范围为 0a 。13 【正确答案】 0【试题解析】 ，f(0)=a，可知当 f(x)在 x=0 处连续时，必有 =f(0)，从而 a=0。14 【正确答案】 【试题解析】 此题是隐函数求导数的题且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数 ，具体解法是：在 x2+y2=e 两侧关于 x 求导数，得2x+2yy=0，15 【正确答案】 2 xln2+cosx【试题解析】 这是求原函数的题，等式右侧的导数应该为 f(x)，即 f(x)=(2x+sinx+C)=2xln2+cosx。16 【正确答案】 1【试题解析】 由分部积分公式有： 02xf(x)dx=0
9、2xdf(x)=xf(x)|02-02f(x)dx=2f(2)-02f(x)dx=21-1=1。17 【正确答案】 2x-y+3z=0【试题解析】 已知平面 1：2x-y+3z+5=0 的法向量 n1=2，-1，3。所求平面/1，则平面 的法向量 n1/n1，可以取 n=n1=2，-1，3。由于所求平面过原点，由平面的点法式方程，得 2x-y+3z=0 为所求平面方程。18 【正确答案】 (3，3)【试题解析】 这是二元函数求极值的题。令 解得驻点为(3，3)，(0，0)。f“ xx=6x， f“=-9，f“=6y。当 时，A=f“ xx(3，3)=18，B=f“(3，3)=-9，C=f“ y
10、y(3，3)=18，B 2-AC0，且 A=180，所以在(3，3)处 f(x，y)取得极小值；当 时，A=f“ xx(0，0)=0 ，B=f“ xy(0，0)=-9，C=f“ yy(0， 0)=0，B 2-AC0，所以点(0，0) 不是 f(x，y) 的极值点。19 【正确答案】 |a|1【试题解析】 如果想判定 是绝对收敛还是条件收敛，通常依下列步骤进行：(1)先判定 |un|的收敛性，如果 |un|收敛，则可知 un 绝对收敛。(2)如果 |un|发散，再考察 un 的收敛性，如果 un 收敛，则为条件收敛。20 【正确答案】 1【试题解析】 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称
11、为这个方程的阶。21 【正确答案】 【试题解析】 所给求极限的函数为分式，其分子与分母的极限都为零，问题为型，可以考虑利用洛必达法则求解。注意分母可以分解因式：x 2-1=(x-1)(x+1)，此时分子与分母有公因式。因此也可以先将求极限的函数恒等变形。22 【正确答案】 设 t=3x，则 dt=3dx。【试题解析】 可以利用换元法，也可以利用直接凑微分法求不定积分。23 【正确答案】 正三棱柱盒子的高为 正三棱柱盒子的底面积为 正三棱柱盒子的容积为令 V(x)=0，得驻点 x1= (舍去)或 x2= 由所给问题的实际意义知 x= 为最大值点，所以 x= 时容积最大，最大容积为【试题解析】 首
12、先根据所设 x 由题意写出体积函数 V(x)，然后利用一元函数求极值的方法即可得出最大体积(容积)。24 【正确答案】 如果直线 l 平行于 1，则平面 1 的法线向量 n1 必定垂直于直线 l的方向向量 s，同理，直线 l 平行于 2，则平面 2 的法线向量 n2 必定满足 n2s。由向量积的定义可知，取 由于直线 l过点 M0(0，2，4)，由直线的标准方程可知 为所求直线方程。【试题解析】 本题考查直线方程的求解。据题意可求出直线的方向向量，进而求出直线的点向式方程。25 【正确答案】 设 F(x，y，z)=x 2+y2+z2-4z，则 Fx=2x，F y=2y，F x=2z-4，故从而
13、【试题解析】 解这样一个二元函数隐函数求偏导数的题型。首先要设 F(x，y，z)=x2+y2+z2-4z，然后要掌握公式：26 【正确答案】 【试题解析】 已知的形式，再借用的已知展开式展开即可。27 【正确答案】 方程的特征方程为 r2+r-2=0，可解得特征根为 r1=-2，r 2=1，所以微分方程的通解为 y=C1e-2x+C2ex。【试题解析】 本题考查求二阶常系数齐次线性微分方程的通解。28 【正确答案】 (1)积分区域的不等式表示为 作出其草图，如图所示， 交换积分次序后，区域 D 又可表示为【试题解析】 根据式中先对 x 积分的积分上、下限画出积分区域 D 的草图，然后再根据画出的草图转化为先对 y 积分的二次积分，再计算 I 的值，如果按照 I 的原来积分次序，由于 不是初等函数，故不能积出，但是如果按照交换后的积分次序积分，情况就不同了。
