1、专升本（高等数学一）综合模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 极限 等于( )（A）e（B） eb（C） eab（D）e ab+b2 在空间直角坐标系中，方程 x2-4(y-1)2=0 表示( )（A）两个平面（B）双曲柱面（C）椭圆柱面（D）圆柱面3 级数 是( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性不能判定二、填空题4 若函数 在 x=0 处连续，则 a=_。5 若 f(x0)=1，f(x 0)=0，则 =_。6 设 y=xe+ex+lnx+ee，则 y=_。7 曲线 y=ex+x 上点(0，1)处的切线方程为_。8 定积分 (2x+1)99dx=_。9 求10 求11 设
2、 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=3x2-x01f(x)dx，求 f(x)。12 计算13 已知直线 l： ，若平面 过点 M(2，1，-5)且与 l 垂直，求平面 的方程。14 设 u=arctan15 设 z=z(x，y)由方程 yz+x2+2=0 所确定，求 dz。16 求二元函数 f(x，y)=x 3-y3+3x2+3y2-9x 的极值，17 判断级数 的收敛性。18 求微分方程 y“+6y+13y=0 的通解。19 试判定方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0 有几个实根? 分别在什么范围内?20 求曲线 y= 的渐近线。21 求22 求由曲线
3、 y=lnx，x=e 与 y=0 所围成的封闭平面图形绕 Ox 轴、Oy 轴旋转所得到的两个旋转体体积 Vx，V y。23 计算二重积分 ，其中区域 D 为 y=0， y=x，x=1 所围成的区域。24 设平面 x=1，x=-1，Y=1 和 y=-1 围成的柱体被坐标平面 z=0 和平面 x+y+z=3 所截，求截下部分立体图形的体积。25 将 f(x)= 展开为麦克劳林级数。26 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解 y1=ex 与 y2=e2x，求相应的微分方程。专升本（高等数学一）综合模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，故选 C。【知识模块】
4、极限和连续2 【正确答案】 A【试题解析】 由于所给曲面方程 x2-4(y-1)2=0 中不含 z，可知所给曲面为柱面，但是由于所给方程可化为 x 2=4(y-1)2，进而可以化为 x=2(y-1)与-z=2(y-1) ，即 x-2y+2=0， x+2y-2=0， 为两个平面，故选 A。【知识模块】 空间解析几何3 【正确答案】 A【试题解析】 依前述判定级数绝对收敛与条件收敛的一般原则，常常先判定的收敛性，由于 的 p 级数，知其为收敛级数，因此所给级数绝对收敛，故选 A。【知识模块】 无穷级数二、填空题4 【正确答案】 -2【试题解析】 由于 (无穷小量乘有界变量)，而 f(0)=a+2，
5、由于 f(x)在 x=0 处连续，应有 a+2=0，即 a=-2。【知识模块】 极限和连续5 【正确答案】 -1【试题解析】 由于 f(x0)存在，且 f(x0)=0，由导数的定义有【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 y=e e-1+ex+【试题解析】 由导数的基本公式及四则运算规则，有 y=ee-1+ex+ 。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 由曲线 y=f(x)在其上点(x 0，f(x 0)的切线公式 y-f(x 0)=f(x0)(x-x0)， 可知 y-1=2(x-0)， 即所求切线方程为 y=2x+1。【试题解析】 注意点(0，1)在曲线 y=ex+x 上，又 y
6、=ex+1，因此 y|x=0=2。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 令 t=2x+1，则 dt=2dx，dx= 当 x= 时，t=0 ；当 2=0 时，t=1，因此【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 分母用等价无穷小量代换 ln(1+x)x(x0 时) ，分子是无穷小量的加减，不能代换，可用洛必达法则求极限。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 这是“一”型不定式，应先化为 型不定式，再用洛必达法则。【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 设 01f(x)dx=A，则 f(x)=3x2-Ax，将其两端在区间0 ，
7、1上取定积分，则 01f(x)dx=01(3x2-Ax)dx， 可得 A= ，故 f(x)=3x2-【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 令 x=sint，则 dx=costdt，t 因此引入直角三角形如图 1 所示，则锐角 t 的直角邻边也为 ，所以【试题解析】 由于所给积分为 的形式，所以考虑利用三角置换求解。【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 3(x-2)+2(y-1)-(z+5)=0【试题解析】 由题意可知，直线 l 的方向向量 s=3，2，-1必定平行于所求平面 的法线向量 n，因此可取 n=s=3，2，-1)，利用平面的点法式方程可知 3(x-2)-4-2(y
8、-1)-z-(-5)3=0，即所求平面方程为 3(x-2)+2(y-1)-(z+5)=0。【知识模块】 空间解析几何14 【正确答案】 由于 当 y0 时， 有定义，此时 都为连续函数，由全微分存在的充分条件可知 du 存在，且 。【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 设 F(x，y，z)=yz+x 2+z，则 F x=2x，F y=z，F z=y+1，当 y+10 时， 为连续函数，有【试题解析】 为了求全微分 dz，可以先求 ，如果两个偏导数都是连续函数，那么由全微分的充分条件可知 dz= ，由于所给函数为隐函数形式，可利用隐函数求偏导数的公式。【知识模块】 多元函数微积分学1
9、6 【正确答案】 f(x，y)=3x 2+6x-9，f y(x，y)=-3y 2+6y。f“ xx(x，y)=6x+6，f“ yy(x，y)=-6y+6，f“(x ，y)=0。解方程组 得驻点(1 ，0) ， (1，2)，(-3，0)，(-3，2)。列表判断：所以，在点(1，0)处，B 2-AC0 且 A0，二元函数在此处取极小值 f(i，0)=-5；在点(1，2)处，B2-AC0，不取极值；在点(-3，0)处，B 2-AC0，不取极值；在点(-3，2)处，B 2-AC0 且 A0，二元函数在此处取极大值 f(-3，2)=31。【试题解析】 首先求二元函数的偏导数。【知识模块】 多元函数微积分
10、学17 【正确答案】 由于 且 ，该几何级数的公比为 。故 收敛，所以 也收敛。【试题解析】 可利用比较判别法来求解。【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 y=e -3x(C1cos2x+C2sin2x)【试题解析】 所给问题为求二阶常系数齐次线性微分方程的通解。 特征方程为r2+6r+13=0，故 r=-32i 为共轭复数根，于是通解为 y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)。【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 问题中没有给出所要考察的区间，注意到函数中出现了因子(x-1)，(x-2)，(x-3) ，可以先考察区间 a，b=1，2，此时 f(1)=(1-2)(1-3)=2
11、0， f(2)=(2)-(3)(2-1)=-10， 因此 f(1).f(2)0，由零点定理可知在(1，2)内必定存在一点 x1，使 f(x1)=0。 同样，考察a，b=2，3，此时 f(3)=(3-1)(3-2)=20， f(2)=(2-3)(2-1)=-10， 因此 f(3).f(2)0，由零点定理可知在(2，3)内必定存在一点 x2，使 f(x2)=0 且 x1x 2。 又由于 f(x)为二次函数，而二次方程 f(x)=0 至多有两个实根，因此可知 x1，x 2 即为所给方程的两个实根，且分别在(1，2)与(2，3)内。【试题解析】 所给问题为判定方程根的存在性与范围问题可以考虑利用闭区间
12、上连续函数的零点定理，为此先构造连续函数 f(x)=(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)。【知识模块】 极限和连续20 【正确答案】 当 x 时， 因此，x= 为曲线的一条铅直渐近线。由于 =0。所以 y=0 为曲线的一条水平渐近线。【试题解析】 先考查所给曲线的铅直渐近线，再考查曲线的水平渐近线。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，x 30，e xsinx2 有界，因此 0etsintdt0，可知所求极限为 型，此类问题的常见解法是利用洛必达法则。【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由于当 x=1 时，In x=
13、ln1=0 ，可知图形中 x 的变化范围为1，e。由于 y | x=1=0，y| x=e=lne=1，可知图形中 y 的变化范围为0，1，由 y=ln x 可知x=ey，因此由旋转体体积公式知 V x=1ey2dx=1eln2xdx， V y=01(e2-e2y)dy。 从而有【试题解析】 所给图形如图 2 所示。【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由于 有唯一解 x=1，y=1 ，对应点(1，1)，作直线平行于 y轴与区域 D 相交，沿 y 轴正方向看，入口曲线为 y=0，出口曲线为 y=x，因而0yx，又由于在 D 中 0x1，于是【试题解析】 积分区域 D 的图形如图 4 所
14、示。 积分区域 D较简单，但是如果先对 z 积分，则遇到 不能用初等函数表示出来，即不可积分，因此应该考虑先对 y 积分，后对 x 积分的次序。【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 由于所截得的形体是一个曲顶直柱体，其曲顶为 x=3-z-y，而其底为 因此，由二重积分的几何应用可得【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 由标准级数 (-x+)， (-x+)，因此 其收敛区间为(-，+)。【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 y“-3y+2y=0【试题解析】 这是求二阶常系数齐次线性微分方程解的反问题。 事实上，两个特解为 y1=ex，y 2=e2x，则可知原方程必有特征根 r1=1，r 2=2。 因此可知特征方程为(r-1)(r-2)=0，即 r2-3r+2=0。 相应的微分方程必为 y“-3y+2y=0。【知识模块】 常微分方程
