1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f(x)=ex2 一 1，g(x)=x 2，则当 x0 时 ( )（A）f(x)是比 g(x)高阶的无穷小（B） f(x)是比 g(x)低阶的无穷小（C） f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小（D）f(x)与 g(x)是等价无穷小2 设函数 f(x)可导，则 = ( )（A）0（B） 2f(x)（C） 2f(x)f(x)（D）2f(x)3 函数 y=ln(1+x2)的单调递增区间是 ( )（A）(5，5)（B） (，0)（C） (0，+)（D）(， +)4 设函
2、数 z=x2y+x+1，则 等于 ( )（A）2x+1（B） 2xy+1（C） x2+1（D）x 25 不定积分 dx= ( )（A）ln3x1+C（B） ln(3x1)+C（C） ln3x1+C（D） ln(3x1)+C6 在空间直角坐标系中，方程 1= 所表示的图形是 ( )（A）椭圆（B）椭圆面（C）抛物面（D）椭圆柱面7 下列命题中正确的有 ( )（A）设级数 un 收敛， vn 发散，则级数 (un+vn)可能收敛（B）设级数 un 收敛， vn 发散，则级数 (un+vn)必定发散（C）设级数 un 收敛，且 unvn(n=k，k+1 ，) ，则级数 vn 必定收敛（D）设级数 (
3、un+vn)收敛，则有 (un+vn)= vn8 向量组 1=(1，1+a ，0)， 2=(1，2，0)， 3=(0，0，a 2+1)线性相关，则 a= ( )（A）一 1（B） 0（C） 1（D）29 方程 y+3y=x2 的待定特解 y*应取 ( )（A）Ax（B） Ax2+Bx+C（C） Ax2（D）x(Ax 2+Bx+C)10 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则 ( )（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2
4、列得B *（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得B *二、填空题11 由方程 xyex+ey=0 确定的隐函数的导数 y=_12 dx=_13 直线 垂直，则 k=_14 f(3x)dx=_15 设 A= ，且有 AX+I=A2+X，则 X=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求由方程 y2+ cost2dt=0 确定的 y=y(x)的导函数 y17 设 f(x)= 求 f(x)dx18 设 z=z(x，y)由方程 yz+x2+z=0 所确定，求 dz19 计算x(1+x 2)2dx20 求 (x2+y2)dxdy，其中 D 为(xa) 2+y2a221 求微分方程 y一 3y+
5、2y=xex 的通解22 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数，并指出收敛区间 (不考虑端点) 23 取何值时，齐次线性方程组 有非零解，并求其通解四、综合题24 要造一个容积为 32 立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格为 1 元，问该容器的底面半径 r 与高 h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?25 求幂级数 一 1)x2n 在区间(一 1，1)内的和函数 S(x)五、证明题26 设 f(x)为0，1上的连续函数，试证 (eex2)f(x)dx四川省专升本（高等数学）模拟试卷 1
6、2 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 =1故选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)可导， =2f(x)f(x)3 【正确答案】 C【试题解析】 y= ，由 y0 得 x0，所以函数 y=ln(1+x2)在(0，+) 上单调递增4 【正确答案】 B【试题解析】 用二元函数求偏导公式计算即可 (x2y+x+1)=2xy+15 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分的凑微分法 d(3x 一 1)= ln3x 一 1+C6 【正确答案】 D【试题解析】 因为在平面直角坐标系中，1= 表示的平面图形为椭
7、圆，所以在空间直角坐标系中，方程 1= 所表示的图形为以 xOy 平面上椭圆 =1为准线，母线为平行 z 轴的直线所形成的椭圆柱面，故 D 项正确7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为级数的性质由级数的性质：若 vn收敛，则 (un+vn)必定收敛利用反证法可知，若(un+vn)必定发散可知应选 B通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用8 【正确答案】 C【试题解析】 向量 1， 2， 3 线性相关，它们构成的行列式的值为 0，即=2a2+2 一(1+a)(a 2+1)=(a2+1)(1 一 a)=0，故 a=19 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为二阶常系数线
8、性微分方程特解 y*的取法由于相应齐次方程为 y+3y=0， 其特征方程为 r2+3r=0， 特征根为 r1=0，r 2=3， 而x2，=0 为单一特征根，因此应设 y *=x(Ax2+Bx+C)， 故应选 D10 【正确答案】 C【试题解析】 设 A 变为 B 的初等矩阵为 E12，则B=E12A，B=E 12A=A B1 =A1 =A1 E12，A B 1 =AA 1 E12 B B 1 =A*E12，即B *=A*E12二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 两边对 x 求导 y+xy一 ex+ey.y=0，12 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 原式= lnx+C 13 【正确
9、答案】 一 1【试题解析】 因为直线 的方向向量 s1=(2k，k+2，5)，直线= 的方向向量 s2=(3，1，k+2) ，又两条直线垂直，所以6k+k+2+5(k+2)=0，解得 k=114 【正确答案】 f(3b)一 f(3a)【试题解析】 15 【正确答案】 【试题解析】 化简矩阵方程得(AI)X=A 2 一 I，由 A2 一 I=(AI)(A+I)，且 AI=10 知 AI 可逆，所以(AI) 1 (AI)X=(AI)1 (AI)(A+I)，又因为(A1) 1 (AI)=I，故矩阵方程化为 X=A+I，即 X=A+I=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 将方程两
10、端关于 x 求导，得 2yy+cosx2=0，y= 【试题解析】 本题考查隐函数的求导，对方程两端关于 x 求导即可17 【正确答案】 【试题解析】 本题考查分段函数的积分，利用积分区间可加性即可求解18 【正确答案】 令 F(x，y，z)=yz+x 2+z，则 F x=2x，F y=z，F z=y+1，当 y+10 时， 为连续函数，有【试题解析】 为了求全微分 dz，可以先求 ，如果两个偏导数都是连续函数，那么由全微分的充分条件可知 dz= dy由于所给函数为隐函数形式，可利用隐函数求偏导数的公式19 【正确答案】 x(1+x 2)2dx= (1+x2)2d(1+x2)= (1+x2)3+
11、C20 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，那么 D 对应于区域 D1=(r，)，0r2acos， 故【试题解析】 本题考查重积分的计算利用二重积分的变量代换求解即可21 【正确答案】 该微分方程所对应齐次线性方程 y一 3y+2y=0的特征方程为r23r+2=0，特征根为 r1=1，r 2=2，所以齐次方程的通解为 =C1ex+C2e2x因为 =1是单特征根，而 =1，所以，设特解形式为 y*=x(a+bx)ex将 y*=x(a+bx)ex 代入原微分方程，并求解得 y*=x(1+ x)ex 故原微分方程的通解为y=C1ex+C2e2xx(1+ x)ex【试题解析】 本题考查的知
12、识点为求解二阶线性微分方程22 【正确答案】 而 (一 1)nxn，且 R1=1，且 R2=2，故 f(x)= xn，则R=minR1，R 2=1，所以收敛区间为 (一 1，1)【试题解析】 将题给分式分解成两个分式和的形式，分别转化成 的形式，再借用 的已知展开式展开即可23 【正确答案】 本题考查齐次线性方程组解的情况，先对系数矩阵化简，再进行讨论求解解 因为系数矩阵所以当 =5 时，方程组有非零解，且此时通解为【试题解析】 本题考查齐次线性方程组解的情况，先对系数矩阵化简，再进行讨论求解四、综合题24 【正确答案】 设 S 为材料费用函数，则 S=2rh+r2+3r2，且满足条件r2h=
13、32所以 因 令 S(r)=0，得驻点r=2因 S(2)=240，且驻点唯一，所以 r=2 为 S(r)的最小值点，此时所以 r=2 厘米，h=8 厘米时，材料费用最少【试题解析】 本题为利用导数求最值问题求最大值与最小值的一般方法是： (1)求出 f(x)在(a，b)内的所有 (可能的极值点)驻点、导数不存在的点：x 1，x k (2)求出上述各点及区间两个端点 x=a，x=b 处的函数值： f(x1)，f(x k)，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为 y=f(x)在a ，b 上的最大值，相应的 x 的取值即为 f(x)在a，b上的最大值点，而其中最小的数值即为 f(x)在a，b上
14、的最小值，相应的 x 的取值即为 f(x)在a ，b 上的最小值点25 【正确答案】 在(一 1，1)内有 记 f(x)= x2n(x(一 1，1)，则 f(0)=0，且所以，对x(一 1，0) (0，1)有 从而因此，【试题解析】 幂级数求和函数一般采用逐项求导，逐项积分或凑的方法，转化为几何级数或常用函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的本题利用初等函数和 ln(1+x)的麦克劳林展开式即可五、证明题26 【正确答案】 由于二重积分区域 D 可以表示为 0y1，0x ，其图形如图阴影部分所示 如果换为先对 y 积分，作平行于 y 轴的直线与区域 D 相交，沿 y 轴正向看，入口曲线为 y=x2，出口曲线为 y=1，因此 x2y1，在区域 D 中 0x1因此原等式成立【试题解析】 本题实际上是一道交换积分次序的题，对左式可先根据 x 的积分限画出积分区域 D 的草图，再由草图所示转化为先对 y 积分，求出后即得右式
