1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 方程 y一 4y一 5y=e-x 一+sin5x 的待定特解形式可设为( )（A）y=A 1e-x+B1sin5x （B） y=A1e-x+B1cos5x+B2sin5x（C） y=A1ex+B1cos5x （D）y=A 1xe-x+B1cos5x+B2sin5x2 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 =( )3 则 k 的值为( )4 下列无穷积分收敛的是( )5 设 y=f(x)为a ，b 上的连续函数，则曲线 y=f(x)， x=a，x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形面
2、积为( ) （A） abf(x)dx（B） |abf(x)dx|（C） ab|f(x)|dx（D）一 abf(x)dx6 （A）一个（B）两个（C）三个（D）0 个二、填空题7 8 设 在 x=0 处连续，则 a=_9 的水平渐近线是_10 ，则 k 的值为_11 设曲线 y=x2+x+2 上点 M 处的斜率为一 3，则点 M 的坐标是_12 设向量 a， b，令|a+b|=|a 一 b|，a=3，一 5，8，b=一 1，1，z则z=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限14 求xln(1+2x)dx15 将函数 f(x)=xln(1+x)展开为 x 的幂函数( 要求指出收敛区间
3、)16 设 其中 f(u)可导，求17 求函数 的间断点并判断其类型18 求 f(x)= 在e，e 2上的最大值19 求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于 2x+y，并且曲线通过原点20 求微分方程 的特解四、综合题21 设 z=f(yex，xy 2)，其中 f 具有二阶连续导数，求 .22 求曲线 的凹凸区间与拐点23 求由方程 所确定的隐函数 z=z(x，y)的全微分五、证明题24 设 f(x)在1，2上具有二阶导数 f“(x)，且 f(2)=f(1)=0，如果 F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点 (1，2)，使 F“()=0江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 24 答
4、案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程对应的齐次方程为 y一 4y一 5y=0 它的特征方程为 r2 一 4r 一5=0，特征值为 r1=5，r 2=一 1 因此方程 y一 4y一 5ye-x+sin5x 的通解为y=C1e5x+C2e-x+y10+y20 其中 y10 是 y一 4y一 5y=e-x 的特解，且形式为 y10=A1xe-x；y 20 是 y一 4y一 5ysin5x 的特解，且形式为 y20=B1cos5x+B2sin5x 所以，原方程的特解形式为 y10+y20 一 A1xe+B1cos5x+B2sin5x，
5、故选 D.2 【正确答案】 B【试题解析】 故答案为 B 项3 【正确答案】 B【试题解析】 根据结论：4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 对于在a，b上函数 f(x)有时取正值，有时取负值，所以求面积时f(x)要带上绝对值6 【正确答案】 B【试题解析】 其定义域为 x3，间断点为 x=4,x=5二、填空题7 【正确答案】 e 6【试题解析】 8 【正确答案】 一 1【试题解析】 9 【正确答案】 y=1【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 y=2x+1=一 3 得 x=一 2，代入到原方程得 y=41
6、2 【正确答案】 1【试题解析】 因为 a+b=2，一 4，8+z ，a 一 b=4，一 6，8 一 z，由|a+b|=|a 一b|有三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 利用幂级数展开式= |x|1，f(x)=ln(1+x)，f(0)=0 16 【正确答案】 17 【正确答案】 故 x=1 是函数的间断点，且是第一类跳跃间断点18 【正确答案】 x1，所以，f(x)在e，e 2上的最大值为：19 【正确答案】 因为曲线在任一点的切线斜率等于 2x+y，所以 y=2x+y，即 p=一 1,q=2x 则pdx=一 dx=-x,qepdx
7、dx=2xe-x=-2xd(e-x)=一 2xe-x 一 2e-x， 其通解为y=e-p(x)dxqepdxdx+C)=ex(一 2xe-x 一 2e-x+C)=2x 一 2+Cex， 又因为曲线通过原点y(0)=0，所以一 2+C=0，即 C=2，所以 y=2ex+2x-220 【正确答案】 所求方程属于 y“=f(y，y) 型，不包含 x令 y=p，两边对 x 求导，有 原方程化为 两边积分得 ln(1+p2)=lny+lnC1 所以 1+p2=C1y由初始条件 y(0)=2，y(0)= 一 1 确定 C1=1，由初始条件 y(0)=2，得 C2=2，四、综合题21 【正确答案】 令 ye
8、x 为第 1 变量，xy 2 为第 2 变量22 【正确答案】 由上表可见，在区间(一，一 1)和(0，1)内，曲线上凹，在区间(一 1，0)和(1，+)内，曲线下凹，点(0，0) 为拐点23 【正确答案】 五、证明题24 【正确答案】 设 G(x)=F(x)-(x-2)f(1)，则 G(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，而 G(1)=f(1)，G(2)=f(2)， 于是由 f(2)=f(1)=0 知 G(1)=G(2) 由罗尔定理知在(1，2)内至少有一点 1 使 G(1)=0，即 F(1)=f(1) 又由 F(x)=f(x)+(x 一 1)f(x)知F(1)=f(1) 显然 F(x)=f(x)+(x 一 1)f(x)在1， 1上满足罗尔定理条件 于是在(1， 1)内至少有一点 使 F“()=0， 即在(1，2)内至少有一点 使 F“()=0
