1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知f(x)dx=e 2x+C，则f(一 x)dx=( )。（A）2e 2x+C（B） e2x+C（C）一 2e2x+C（D） e2x+C2 在下列极限求解中，正确的是( )。（A）（B）（C）（D）3 下列级数中条件收敛的是( )。（A）（B）（C）（D）4 曲线 y=x3 一 3x 在开区间(0，1) 内为( )。（A）单调上升，且上凹（B）单调下降，且下凹（C）单调上升，且下凹（D）单调下降，且上凹5 若直线 l 与 Ox 平行，且与曲线 y=xex 相切，则切点坐标为( )
2、。（A）(1 ，1)（B） (一 1，1)（C） (0，一 1)（D）(0 ，1)6 f(x)= 且 f(x)在 x=0 处连续，则 a 的值为( ) 。（A）1（B） 0（C）（D）二、填空题7 设 y=y(x)满足 exy+sin(x2y)=y3，则 y(0)=_。8 设函数 y=2x2+ax+3 在 x 一 1 处取得极小值，则 a=_。9 z=ln ，则 =_。10 微分方程 fcosxysinx=1 的通解为_。11 设|a|=1 ， ab，则 a.(a+b)=_。12 曲线 y=2x 与 y=log2x 关于_对称。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求 。14 求xln(
3、1+2x)dx。15 将函数 f(x)=xln(1+x)展开为 x 的幂函数( 要求指出收敛区间)。16 设 z= ，其中 f(u)可导，求 + 。17 求函数 f(x)= 的间断点并判断其类型。18 求 f(x)= 在e，e 2上的最大值。19 求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于 2x+y，并且曲线通过原点。20 求微分方程 y= 满足初始条件 =2， = 一 1 的特解。四、综合题21 设 f(x)在闭区间0，1上连续，在 (0，1)内大于 0，并满足 xf(x)=f(x)+3x2。若曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围成的图形 S 的面积为 2，求 y=f(x)。22 设
4、 g(t)= ，其中 Dt 是由 x=t、y=t 以及坐标轴围成的正方形区域，函数 f(x)连续。23 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入 z(万元)与电台广告费用 z(万元)及报纸广告费用 y(万元)之间有如下关系：五、证明题24 证明：当 x0 时 成立。25 设 F(x)是 f(x)的一个原函数， G(x)是 的一个原函数且 F(x)G(x)= 一 1，f(0)=1，证明： f(x)=ex 或 f(x)=e 一 x。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 67 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题
5、解析】 原式两边分别求导得，f(x)=2e 2x，再两边求导，得 f(x)=4e2x，则f(x)=4e2x,f(x)dx=4e2xdx= 2e2xd(2x)= 2e2x+C，故选 C 项。2 【正确答案】 D【试题解析】 = 1 =0，而 sin(x2+1)有界，所以sin(x2+1)=0， =23 【正确答案】 C【试题解析】 ，而 收敛，所以 绝对收敛，因为 ， ， 收敛故绝对收敛， 为交错级数，且其通项的绝对值 趋于0，据莱布尼兹准则知，它是收敛级数。另外 ，由于 ，而调和级数 发散，据第一比较准则知 发散，故此级数条件收敛。= =发散。4 【正确答案】 D【试题解析】 当 0x1 时，
6、y=3x 2 一 30，y=6x0。曲线单调下降，且上凹，故选 D 项。5 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意得：y=1 一 ex=0 x=0，代入得 y= 一 1。6 【正确答案】 C【试题解析】 使用洛必达法则可知： ，根据 f(x)在 x=0 处连续，可知 a= 。二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 x=0，y=1 ，e xy(y+xy)+cos(x2y)(2xy+x2y)=3y2y代入得 1+0=3y(0)，所以 y(0)= 。8 【正确答案】 一 4【试题解析】 由极值存在的必要条件知： ，即 4+a=0，故 a=一 4。9 【正确答案】 【试题解析】 = = ， = 。1
7、0 【正确答案】 【试题解析】 (ycosx)=1 ycosx=x+C y= 。11 【正确答案】 1【试题解析】 a.(a+b)=a.a+a.b，又 ab a.b=0，a.a=|a 2|=1，所以 a.(a+ b)=1+0=1。12 【正确答案】 直线 y=x【试题解析】 因为函数 y=22 与 y=log2x 互为反函数，故关于直线 y=x 对称。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式= =e2。14 【正确答案】 x1n(1+2x)dx= ln(1+2x)dx2= x2ln(1+2x)一dx= x2ln(1+2x) dx= x2ln(1+2x)dx= x2ln(1
8、+2x) +C15 【正确答案】 利用幂级数展开式 ，|x| ，|x| = (一 1)nxn，|x| (一 1)ntndt= ，一 1，一 116 【正确答案】 =yf(u)+xyf(u)( )=yf(u)一 f(u)， =xf(u)+xyf(u). =xf(u)+yf(u)，所以 x. +y. =2xyf(u)=2x。17 【正确答案】 因为 =1， = 1， 故 x=1 是函数 f(x)= 的间断点，且是第一类跳跃间断点。18 【正确答案】 0，x1 ，所以，f(x) 在e ，e 2上的最大值为：fmax= = =ln(e+1) 。19 【正确答案】 因为曲线在任一点的切线斜率等于 2x+
9、y，所以 y=2x+y，即 P=一 1，q=2x ， 则Pdx=-dx= 一 x，qe pdxdx=2xe-xdx= 2xd(ex)= 2xe-x2e-x， 其通解为 y=e-p(x)dx(qepdxdx+C)=ex(2xe-x2e-x+C)=2x2+Cex， 又因为曲线通过原点 y(0)=0，所以一 2+C=0，即 C=2，所以 y=2ex+2x 一 220 【正确答案】 所求方程属于 y=f(y，y)型，不包含 x，令 y=P，两边对 x 求导，有 y= ，原方程化为 或 两边积分得ln(1+P2)=lny+lnC1 所以 1+P2=C1y，由初始条件 y(0)=2，y(0)= 一 1 确
10、定 C1=1，于是有 1+P2=y 或 P= ，再注意 y(0)= 一 1，可知 P= ，即 = dx.积分即得通解 = 一 x+C2，由初始条件 y(0)=2，得 C2=2，因此所求特解为 +x=2。四、综合题21 【正确答案】 由 xf(x)=f(x)+3x2，可得 f(x)一 f(x)=3x，所以 p= ，q=3x，那么p(x)dx= 一 lnx，q(x)e p(x)dx=3x. dx=3x，所以 f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx。由题意可得：S= 10(3x2+Cx)dx=(x3+ )|10=1+ =2，所以 C=2。所以 f(x)=3x2+2x。22 【正确答案】 如图，画出积
11、分区域，则 f(x)dxdy=t0dxt0f(x)dy=t0tf(x)dx 即 g(t)= (1)根据函数连续定义，满足 =t0f(x)dx=0=g(0)=a，所以 a=0。(2)当 t0 时，g(t)=f(t)t=0 时，g(0)=f(0)所以， g(t)=f(t)。23 【正确答案】 广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x， y)=R(x，y)一 C(x，y)=15+14x+32y 一 8xy 一 2x2 一 10y2 一(x+y)=15+13x+31y 一 8xy 一 2x2 一 10y2 于是 令得驻点 又 Lxx(x，y)= 一 4，L xy(x，y)=
12、 一 8，L yy(x，y)= 一 20，故 B2AC=64 一(4)(一 20)= 一 16五、证明题24 【正确答案】 证，(1)变形： =ln(1+x)一 lnx，这是对数函数的增量形式令 f(t)=Int，t x，1+x。(2)f(t)=Int 在x，1+x应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)一 lnx= (3)故有 证毕！25 【正确答案】 证：(1)F(x).G(x)=一 1，F(x)G(x)+F(x)G(x)=0 f(x)G(x)+F(x)=0。 f(x) +F(x) =0。 F2(x)=f2(x)。(2)讨论，(i)若 F(x)=f(x)，即f(x)=f(x)， =1lnf(x)=x+C1，f(x)=Ce x 由 f(0)=1，得 C=1 故有 f(x)=ex(ii)若 F(x)= 一 f(x)，即 f(x)=一 f(x) lnf(x)=一 x+C2，f(x)=Ce x 由 f(0)=1，得 C=1。故有f(x)=ex 证毕。
