1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列极限求解正确的是( )。2 函数 的单调减少区间为( )。（A）(-，+)（B） (-，-1) (-1，+)（C） (0，+)（D）(-，0)3 定积分 02x-1 dx( )。（A）0（B） 2（C） -1（D）14 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线部分 Lxdy-2ydx 的值为( )。5 下列结论正确的是( ) 。6 设 ，则 f(x)=( )。（A）sinx 4（B） 2xsinx2（C） 2xcosx2（D）2xsinx 4二、填空题7 。
2、8 yy”-(y)2=0 的通解为。9 曲线 y=x2(x-3)的拐点坐标是。10 设 。11 的收敛区间是。12 设 y=C1e2x+C2e3x 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限 。14 求 。15 z=(x+y)exy，求 dz。16 求 。17 求 y(cosx)y=e sinx 满足 y(0)=1 的解。18 设 z=xf(x2，xy)，其中 f(u，v)的二阶偏导数存在，求 。19 求函数 y=x-ln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间。20 求幂级数 的收敛域。四、综合题21 证明函数 在 x=0 处
3、连续，在 x=0 处不可导。22 证明：当 x-1 时， 。五、证明题23 当 x0 时，证明 成立。24 设 F(x)是 f(x)的一个原函数， G(x)是 的一个原函数且 F(x)G(x)=-1，f(0)=1，证明：f(x)=e x 或 f(x)=e-x。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 y 0(x-1)故区间为(-，-1) (-1，+)，故选 B 项。3 【正确答案】 D【试题解析】 原式 01(1-x)dx+12(x-1)dx 1。4 【正确答案】
4、 B【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，可表示为5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 利用变上限积分求导法则，f(x)=sinx 4(x2)=2xsinx4。二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 。8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 (1，-2)【试题解析】 y=x 2(x-3)=x3-3x2 y=3x2-6x y”=6x-6 当 y”=6x-6=0 时 x=1，y=-2 。10 【正确答案】 1【试题解析】 11 【正确答案】 -1，1)【试题解析】 ，当 x=1 时， 发散，当x=-1 时， 条件收敛，所以其收敛域为
5、 -1，1)。12 【正确答案】 y”-5y+6y=0【试题解析】 由二阶常系数齐次线性微分方程通解 y=C1e2x+C2e3x，可知特征根为1=2， 2=3，对应特征方程为：(-2)(-3)=0，即 2-5+6=0，所以对应微分方程为y”-5y+6y=0。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 。14 【正确答案】 解：设 arctanx=t，x=tant，则：tantcoste tdt=etsintdtsintde t=etsint-etcostdt=etsint-costdet=etsint-costet-etsintdt=etsint-costet-I 则，所以原式。
6、15 【正确答案】 解：因为 =exy+(x+y)exyy=(1+xy+y2)exy =(1+xy+x2)exy 所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy。16 【正确答案】 解：17 【正确答案】 解：这是一阶线性非齐次微分方程，其中 P(x)=-cosx，Q(x)=esinx。于是方程的通解为：=esinx(esinxe-sinxdx+C)=esinx(x+C) 。由 y(0)=1，得 C=1，故所求解为：y=e sinx(x+1)。18 【正确答案】 解： =2xf2+x2(f”212x+f”22y)=2xf2+2x3f”21+x2yf”22， =2xf2+x
7、2(f”212x+f”22y)=2xf2+2x3f”21+x2yf”22。19 【正确答案】 解：函数的定义域为(-1 ，+)； y=1- ，令 y=0，得驻点 x=0。又 y” 0，x(-1，+) ，于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(-1， +)； 又-10，函数递增，故函数单调递减区间为：(-1，0)；递增区间为：(0 ，+)；且函数在 x=0 处取得一极小值 f(0)=0。20 【正确答案】 解：令 x-5=t，则原式 ，收敛半径为：，当 t=1 时，级数 发散；当 t=-1 时，级数收敛。所以级数 的收敛域为-1，1)，那么级数 的收敛域为4 ，6) 。四、综合题21 【正确
8、答案】 22 【正确答案】 证明：令 F(x)lnx ，显然，F(x) 在(0，+) 上连续。由于F(x) 0，故 F(x)在(0，+)上单调递增，于是，当 0 ，又(x 2-1)lnx(x-1)2，故(x 2-1)lnx(x-1)2；当 x1 时，F(x)F(1)=0，即 ，又 x2-10，故(x 2-1)lnx(x-1)2。综上所述，当 x0 时，总有(x 2-1)lnx(x-1)2。五、证明题23 【正确答案】 证：(1)变形：ln(1+ )=ln(1+x)-lnx，这是对数函数的增量形式令f(t)=lnt，tx，1+x。(2)f(t)=lnt 在x，1+x 应用拉格朗日中值定理：24 【正确答案】 证：(1)F(x)G(x)=-1，F(x)G(x)+F(x)G(x)=0F 2(x)=f2(x)。(2)讨论，(i)若 F(x)=f(x)，即 f(x)=f(x)， lnf(x)=x+C1，f(x)=Ce x 由 f(0)=1，得 C=1 故有 f(x)=ex(ii)若 F(x)=-f(x)，即 f(x)=-f(x)lnf(x)=-x+C 2，f(x)=Ce -x 由 f(0)=1，得 C=1。故有 f(x)=e-x 证毕。
