1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f(x)= ，(x)=x+1，则复合函数 f(x)的定义域为 ( )（A）0 ，1（B） (3，1)（C） 3，0（D）3，12 函数 f(x)=arctan(sinx)在 xOy 平面上的图形 ( )（A）关于 x 轴对称（B）关于 y 轴对称（C）关于原点对称（D）关于直线 y=一 x 对称3 点 x=0 是函数 y= 的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点4 设函数 f(x)在点 x0 处连续，则下列结论正确的是 ( )（A） =0（B）
2、 存在（C）当 xx 0 时，f(x)f(x 0)为无穷小（D）当 xx 0 时，f(x) f(x0)不是无穷小5 设函数 f(x)= (x0)，则 f(ln3)= ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 f(x)是可导函数，且 =1，则曲线 y=f(x)在点(1，(f)处的切线斜率为 ( )（A） 1（B） 2（C） 0（D）17 若 f(t)= ，则 f(t)= ( )（A）e 2t(2t+1)（B） e2t（C） t+1（D）8 函数 f(x)=2x2lnx 单调增加的区间是 ( )9 函数 y=x2+px+q，当 x=1 时，有最小值 y=3，则 ( )（A）p=1，q=2（
3、B） p=2，q=2（C） p=2，q=4（D）p=1，q=410 曲线 y=ln(1+x2)的凹区间是 ( )（A）(2，2)（B） (1，0)（C） (1，1)（D）(0 ，1)11 设函数 y=y(x)由参数方程 ( )12 设 f(x)=arctanx2，则 0xtf(s2t 2)dt= ( )（A）xf(x 2)（B） xf(x 2)（C） 2xf(x2)（D） 2xf(x 2)13 下列关系式正确的是 ( )（A）df(x)dx=f(x)（B） f(x)dx=f(x)（C） f(x)dx=f(x)（D） f(x)dx=f(x)+C14 设 f(lnx)=1+x，则 f(x)= (
4、)（A）lnx+x 2+C（B） lnx+x+C（C） +ex+C（D）x+e x+C15 定积分 ( )16 广义积分 ( )17 a=1，b=5，a.b=3，则ab = ( )（A）4（B）（C） 5（D）1018 平面 x+ky2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k= ( )（A）1（B） 2（C）（D）19 设 z=z(x，y)由方程 2x2y 2+3xy+z3+z=1 确定，则 = ( )20 I= f(rcos，rsin)rdr 化为先对 y 积分后对 X 积分，则 I= ( )21 设区域 D 由直线 x+y=1，x=0 及 y=0 围成，估计 xydxdy 的值
5、I 为 ( )（A）0I（B） 0I8（C） 0I1（D）1I422 C 为平面区域 D 的正向边界，则曲线积 C(1x 2)ydx+x(1+y2)dy 化为二重积分为 ( )23 幂级数 的收敛半径为 ( )24 设曲线 y=f(x)满足 y=x，且过点(0 ，1)并与直线 y= +1 在该点相切，则曲线方程为 ( )25 函数 y=10x1 2 的反函数是 ( )（A）y=（B） y=logx2（C） y=（D）y=1+lg(x+2)26 已知 x0 时， 与 cosx1 是等价无穷小，则常数 a= ( )（A）（B）（C） 3（D） 327 函数 y= 的导数与下列函数的导数相同的是 (
6、 )（A）atctanex+1/sup（B） arctanex1（C） arctan(ex+1)（D）arctane x+128 设 a，b 均为非零向量，且 ab，则必有 ( )（A）a+b =a + b（B） ab=a b（C） a+b=ab（D）a+b=a b29 平面 x+2yx6=0 与直线 的位置关系是 ( )（A）平行（B）垂直（C）即不平行也不垂直（D）直线在平面内30 函数 f(x)= 在 x=1 处的泰勒级数展开式中项(x1) 3 的系数是 ( )（A）（B）（C） 1（D）1二、解答题解答时应写出推理、演算步骤。31 求极限32 设函数 y=y(x)由方程 y= 确定，求
7、 y33 求不定积分e x.ln(1+ex)dx34 计算定积分35 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f(u，v)可微，求36 计算 ，其中 D 是第一象限中由直线 y=x 和 y=x3 围成的封闭区域37 将函数 f(x)=lnx 展开成(x2)的幂级数，并指出收敛区间38 求解微分方程 2xy=y+2x2 满足 y x=1=1 的特解三、综合题39 求由曲线 xy=a(a0)及直线 x=a，x=2a ，y=0 所围图形的面积，该图形分别绕 x轴，y 轴旋转一周所生成的立体体积40 已知 3f(x) ，求 f(x)的极值四、证明题41 证明：当 x0 时，x ln(1+x)湖
8、北省专升本（高等数学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)= ，(x)=x+1，则 f(x)= ，4(x+1) 20，x+12，3x12 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=arctan(sinx)，f(x)=arctansin(x)=arctan(sinx)=arctan(sinx)=f(x)，f(x) 为奇函数，所以它的图形关于原点对称3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0 是 y= 的间断点，而 ，所以 x=0 是跳跃间断点4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)在 x=x0 连续，则
9、 =f(x0)，所以 A 错，B 即 f(x0)存在，这和“连续不一定可导”矛盾，所以 B 错，由于 (f(x)一 f(x0)=0，所以 C 正确5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= =ex 所以 f(ln3)=eln3=36 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 f(t)= ，所以 f(t)=(e2t.t)=2e2t.t+e2t=e2t(2t+1)8 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=2x 2lnx，f(x)= ，令 f(x)=0得驻点(舍去) ，x=0 为不可导点9 【正确答案】 C【试题解析】 y=x 2+px+q，y=2x+p ，y(1)=0得
10、p=2，又 y(1)=3，得 p+q=2，有 q=410 【正确答案】 C【试题解析】 y=ln(1+x 2)，y= 令 y=0，x=1，当x1 时，y0；当 1x1 时，y0；当 1x+时，y0，所以曲线的凹区间为(1，1) 11 【正确答案】 B【试题解析】 12 【正确答案】 A【试题解析】 13 【正确答案】 C【试题解析】 由于f(x)dx=F(x)+C，所以 f(x)dx=f(x)14 【正确答案】 D【试题解析】 f(lnx)=1+x，令 x 取值 ex，则 f(x)=1+ex，于是，f(x)=(1+e x)dx=x+ex+C15 【正确答案】 B【试题解析】 16 【正确答案】
11、 B【试题解析】 17 【正确答案】 A【试题解析】 18 【正确答案】 A【试题解析】 平面 x+ky2x=0 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则它们的法向量垂直，于是它的点积为 0，1，k，2.2，4，3)=2+4k60 得 k=119 【正确答案】 C【试题解析】 令 F=2x2x 3+3xy+z3+z1 则 Fx=4x+3y，F z=3z2+1，所以20 【正确答案】 C【试题解析】 由 I= f(rcos，rsin)rdr 知 r=2acos，r 2=2arcos，化为直角坐标为 x2+y2=2ax 此为一圆，又由 ，可画出积分区域图 D，由题意把D 看做 X 型，于是 I=21
12、 【正确答案】 A【试题解析】 令 z=xy，z x=y=0，z y=x=0，驻点(0，0)不在 D 内，z 在 D 的两直角边上的值都为 0，我们看在 D 的斜边 x+y=1 上，z=xy 的最大值，最小值，变条件极值为无条件极值z=x(1x)=xx 2，z x=12x， 令 zx=0，得 x= 代入直线方程，而 z 在斜边两端点处的值都为 0故 0z 所以0=0.SDI22 【正确答案】 B【试题解析】 =(1+y2)(1x 2)=x2+y2，所以 C(1x 2)ydx+x(1+y2)dy= (x2+y2)d23 【正确答案】 D【试题解析】 因为题给级数属于缺项类型，所以求收敛半径用以下
13、方法24 【正确答案】 A【试题解析】 y=f(x) 满足方程 y=x，y= +C， y= +C1x+C2，又 y(0)=1，得C2=1，又 y(0)= 得25 【正确答案】 D【试题解析】 y=10 x1 2，解出 x=lg(y+2)+1，所求即 y=1+lg(x+2)26 【正确答案】 B【试题解析】 27 【正确答案】 D【试题解析】 y=由此结果，可以看出 D 的导数也是这样28 【正确答案】 C【试题解析】 由 ab，可知以 a，b 为邻边可构成一个长方形，其中两条对角线应等长，由向量加减法可知a+b= ab29 【正确答案】 D【试题解析】 直线的方向向量 s=2，1，0，平面的法
14、向量n= 1，2，1，因 n.s=0 可知直线与平面平行，而进一步取直线上一点(2，0， 4)，可验证它在平面上，故直线在平面内30 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)= 在 x=1 处泰勒展开式为二、解答题解答时应写出推理、演算步骤。31 【正确答案】 注：该题首先将分子有理化，有助于用洛必达法则求极限，否则直接应用洛必达法则会十分复杂32 【正确答案】 33 【正确答案】 利用分部积分法积分 原式=ln(1+e x)d(ex+1)=(1+ex).ln(1+ex)=(1+ex).ln(1+ex) x+C34 【正确答案】 方法一：凑微分法方法二：第二换元法35 【正确答案】 因 z=f(
15、exsiny，x 2+y2)，f(u，v)可微；所以，=f1(exsiny，x 2+y2).exsiny+f2(exsiny，x 2+y2).2x =exsiny.f1(exsiny，x 2+y2)+2x.f2(exsiny，x 2+y2) 同理， =(excosf1(exsiny，x 2+y2)+2yf2(exsiny，x 2+y2)36 【正确答案】 积分区域如图：因二重积分的被积函数 f(x，y)= ，它适宜于“先对 y 积分，后对 x 积分” ，故。可用不等式表示为：37 【正确答案】 f(x)=lnx=ln2+(x 2)=38 【正确答案】 因原方程可化为 y= +x，此为一阶线性微
16、分方程 P(x)= ， Q(x)=x由通解公式可得 通解为：将初始条件 y x=1=1 代入通解中，得 C= ，故所求特解为： 三、综合题39 【正确答案】 先作图，当 x=a 时，y=1；x=2a，y= ，由曲线及直线所围图形的面积为： 该图形绕 x 轴旋转所成的体积为： 该图形绕 y 轴旋转所成的体积为：40 【正确答案】 令 =t，则有 3 f(t)=t，或写成 3 f(x)=x，四、证明题41 【正确答案】 令 f(x)=ln(1+x)x+ x2，于是， f(x)=0， (x0 时)即函数 f(x)在 x0 时单调递增，又 f(0)=0，从而 x0 时，f(x)f(0) 即 ln(1+x)x+ x20，也即x x2ln(1+x)，命题成立
