1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x) 的定义域为( )（A）(-，3)（B） (1，+)（C） (3，+)（D）(1 ，3)2 设极限 =e2，则 m=( )（A）-1 2（B） -2（C） 2（D）123 函数 f(x)= 的间断点情况应为( )（A）不存在间断点（B）仅存在间断点 x=1（C）仅存在间断点 x=-1（D）有两个间断点 x=14 极限 =( )（A）（B） 0（C） 2（D）不存在5 下列说法正确的是( )（A）无穷小的和为无穷小（B）无穷小的商为无穷小（C）两个无穷大的差为无穷小（D）
2、无限个无穷大的积为无穷大6 下列各组概念中正确的是( )（A）若函数 f(x)在点 x0 处间断，则 f(x)不存在（B）若函数 f(x)在a ，b上可积，则 f(x)在a ，b上连续（C）若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x)在 x0 点可导（D）若函数 f(x)在a，b上可导，则 f(x)在a ，b 上一定可积7 若点(x 0，f(x 0)为函数 f(x)的拐点，则( )（A）f“(x 0)=0（B） f“(x0)不存在（C） f“(x0)=0 或 f“(x0)不存在（D）以上说法都不对8 函数 f(x)=2x3+3x2-12x+1 在(-2，1)上是( )（A）增函数（B）减函
3、数（C）有增有减（D）常数9 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 dydx=( )（A）12t（B） 2t（C） 1（D）t10 不定积分 dx=( )11 若 f(x+1)=2x+1，则 f(x)=( )（A）x 2-3x（B） x2-x（C） x2-3x+C（D）x 2-x+C12 下列各式正确的为( ) 13 下列各组函数中，f(x)=g(x)的是( )14 方程 x2-y2+z2=1 表示( )（A）单叶旋转双曲面（B）双叶旋转双曲面（C）双曲柱面（D）锥面15 曲线 上任意一点处的切线( )（A）与 x 轴成定角（B）与 y 轴成定角（C）与 z 轴成定角（D）以上说法全不对1
4、6 二元函数 f(x，y)= 在点(0，0)处( )（A）连续，偏导存在（B）连续，偏导不存在（C）不连续，偏导存在（D）不连续，编导不存在17 交换积分顺序 I=04dx f(x，y)dy 后，I=( )18 下列各式中，表示区域 D 为 x2+y24 的面积的是 ( )（A） (x2+y2)dxdy（B） 4dxdy（C） 12 cxdy-ydx，其中曲线 C 为沿 x2+y2=4 正向一周（D） 02d04rdr19 设 P(x，y)，Q(x，y) 是连续函数，L 从点 A(0， 1)经点 B(1，1)到点 C(1，2) 的折线段，则曲线积分 L(P(x，y)+Q(x ，y)ds=( )
5、（A） 01P(x，1)dx+ 12Q(1，y)dy（B） 01P(1，y)dy+ 12Q(x，1)dx（C） 12P(1，y)dx+ 01Q(x，1)dy（D） 01P(x，1)+Q(x，1)dx+ 12P(1，y)+Q(1 ，y)dy20 设 C 为直线段 x=x0，0y32， C4dy=( )（A）4x 0（B） 4（C） 6x0（D）621 下列各选项正确的是( )22 下列数项级数中，不收敛的是( )23 幂级数 anxn 的收敛半径为 R，如果幂级数在 x0 处收敛，则必有( )（A）Rx 0（B） Rx0（C） R|x0|（D）R|x 0|24 已知函数 y 满足微分方程 xy=
6、yln ，且 x=1 时， y=e2，则当 x=-1 时，y=( )（A）-1（B） -2（C） 1（D）e -125 微分方程 y“-6y+9y=x2e3x 的特解应设为( )（A）y *=ax2e3x（B） y*=x2(ax2+bx+c)e3x（C） y*=x(ax2+bx+c)（D）y *=(ax2+bx+c)e3x26 求 =( )（A）2（B） 32（C） 4（D）127 求函数 z=x2y+y2 的全微分 dz=( )（A）(x 2+2y)dx+2xydy（B） 2xydx-(x2+2y)dy（C） -2xydy+(x2+2y)dx（D）2xydx+(x 2+2y)dy28 函数
7、f(x)在点 z。处可导是函数 f(x0)在点 x0 处连续的( )（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）既不是充分条件，也不是必要条件29 点(1 ，3) 为曲线 y=ax3+bx2 的拐点，则 a，b 的值分别为( )（A）a=1 ，6=-32（B） a=92，b=-32（C） a=-32，b=92（D）a=-32，b=130 估计定积分 I= x4dx 的值为( )（A）12I1（B） 132I12（C） 0I132（D）-1I0二、填空题31 设 f(x)为连续的奇函数且 f(2)=1，则 f(x)=_32 33 曲线 y=x+ex 在点(0，1)处的切线斜率 k=_34 函
8、数 f(x)=x 在0，3上满足罗尔定理结论的 =_35 函数 f(x)=x+2cosx 在0 ， 2上的最大值为_ 36 曲线 y=x3-3x2+2x+1 的拐点为 _37 设 f(x)=sin +cos2x，则 f(27)()=_38 不定积分 dx=_39 122sin2xdx=_40 41 将 xOz 平面内的曲线 z2=5x 绕 x 轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为_42 由方程 ex+y+xyz=ez 确定的隐函数 z=z(x，y)的偏导数 =_43 幂级数 1+ 的收敛域为_44 级数 的和函数 S(x)=_45 以 y=C1ex+C2e-2x 为通解的二阶常系数线性齐次微分方
9、程为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 设函数 f(x)=xln2x，且 f(x0)=2，求 f(x0)48 求不定积分 dx49 计算定积分 12xln 2xdx50 设 z=x2exy，求51 计算 dxdy，其中 D 为曲线 y= ，y=1 及 x=0 围成的平面区域52 将函数 f(x)= 在 x=0 处展成幂级数，并指明收敛区间53 求微分方程 xy“-2y=x3+x 的通解四、综合题54 求由曲线 xy=a(a0)及直线 x=a，x=2a ，y=0 所围图形的面积，该图形分别绕 x轴，y 轴旋转一周所生成的立体体积55 已知 3f(x)-f(1x)=1x，求 f(x
10、)的极值五、证明题56 证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)2湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 要使函数有意义，须 ，求解得：1x32 【正确答案】 B【试题解析】 因 =e-m，于是 e-m=e2，故 m=-23 【正确答案】 B【试题解析】 当|x|1 时，f(x)= =1+x；当|x|1 时，f(x)= 0；而 x=-1，f(x)=0；x=1，f(x)=1，由此可以判断 x=1 为第一类不可去间断点4 【正确答案】 C【试题解析】 (x+1)=2选 C5 【正确答案】
11、D【试题解析】 无限多个(或有限多个)无穷大量的乘积仍是无穷大量6 【正确答案】 D【试题解析】 若 f(x)在a，b 上可导，则 f(x)在a，b上一定连续，连续函数都是可积的7 【正确答案】 C【试题解析】 f“(x 0)=0 或 f“(x0)不存在是曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处取得拐点的必要不充分条件8 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=6x 2+6x-12=6(x+2)(x-1)，所以当-2x1 时，f(x)0，f(x)在(-2，1)上为减函数9 【正确答案】 A【试题解析】 10 【正确答案】 D【试题解析】 11 【正确答案】 D【试题解析】 f(x+1)=
12、2x+1=2(x+1)-1，所以 f(x)=2x-1，所以，f(x)=x 2-x+C12 【正确答案】 D【试题解析】 广义积分 1+ dx 当 p1 时收敛，p1 时发散13 【正确答案】 B【试题解析】 axsintdt=sinx14 【正确答案】 A【试题解析】 其可以看做 xOy 平面内双曲线 x2-y2=a2 绕 y 轴旋转而成绕虚轴旋转为单叶旋转双曲面，绕实轴旋转为双叶旋转双曲面15 【正确答案】 C【试题解析】 因 所以曲线上任一点切线的方向向量为s=x(t)，y(t)，z(t) 而|s|=ae a 所以切线与 z成定角16 【正确答案】 C【试题解析】 因 不存在(若沿 x 轴
13、(0，0)时，极限为0，若沿直线 y=x(0，0)时，极限为 12，所以在 (0，0)点函数无极限)所以函数在(0 ，0) 点不连续而=0 偏导在(0，0)点存在17 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 为 如图所示：18 【正确答案】 C【试题解析】 利用公式，区域 D 的面积为 S=1 2Cxdy-ydx，其中 C 为区域 D 的边界线正向19 【正确答案】 D【试题解析】 L=AB+BC=01P(x，1)+Q(x，1)dx+ 12P(1，y)+Q(1，y)dy20 【正确答案】 D【试题解析】 C4dy= 4dy=621 【正确答案】 A【试题解析】 因|u nvn|12(u n
14、2+vn2)，由题所组条件知级数 (unvn)绝对收敛，所以 (un2+2unvn+vn2)收敛，即 (un+vn)2 收敛22 【正确答案】 D【试题解析】 23 【正确答案】 C【试题解析】 因幂级数在 x0 处收敛，则 x0 必位于收敛域内部，即有|x 0|R24 【正确答案】 A【试题解析】 y= =u，y=xu，所以 y=u+x则两边积分得 ln|lnu-1|=ln|x|+lnC，lnu=1+Cx，当 x=1，y=e 2 时 C=1，所以特解为 ln =1+x；当 x=-1 时，y=-125 【正确答案】 B【试题解析】 先求对应齐次方程 y“-6y+9y=0 的通解，因特征方程为
15、r2-6r+9=0，r=3 为重根，所以齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e3x，由非齐次项 f(x)=x2e3x 及齐次方程的通解，则原方程特解应设为 y*=(ax2+bx+c)x2e3x26 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x，y)= 是初等函数，它的定义域为 D=(x，y)|x0，y0 ，p 0(1，2)为 D 的内点，故存在 p0 的某一邻域，U(p 0) D，而任何邻域都是区域，所以 U(p0)是 f(x，y)的一个定义域区域，因此27 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =x2+2y，所以 dz=2xydx+(x2+2y)dy28 【正确答案】 B【试题解析】 由导数的
16、定义即可得到29 【正确答案】 C【试题解析】 因为函数 y=ax3+bx2 在(-，+) 内连续，则 y(x)=3ax2+2bx，y“=6ax+2b，所以 y“=0，即 6ax+2b=0，又因为点(1，3)是 y=ax3+bx2的拐点，所以 6a+2b=0； 由题意可得 a+b=3 联立 、解之得：“a=-32，b=9230 【正确答案】 B【试题解析】 定积分 x4dx 的被积函数 f(x)=x4 在积分区间12，1上是单调增加的，于是有最小值 m=(12) 4=116，最大值 M=14=1，由定积分侨值性质得二、填空题31 【正确答案】 -1【试题解析】 因 f(x)为奇函数，有 f(-
17、2)=-f(2)=-1；又 f(x)连续，故 f(x)=f(-2)=-1故填-1 32 【正确答案】 e 3【试题解析】 =e3故填 e333 【正确答案】 2【试题解析】 卤 y=1+e，故由导数的几何意义知，点(0，1)处的切线斜率 k=f(0)=2，故填 234 【正确答案】 2【试题解析】 因 f(x)=x ，x 0，3，故罗尔定理的结论为： f()=+=0，于是，求解，得：=2，=-3( 舍去)，故填 235 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x)=1-2sinx，令 f(x)=0，得驻点： x=6；又 f36 【正确答案】 (1，1)【试题解析】 因 y=3x2-6x+2，y“=
18、6x-6，令 y“=0 得：x=1 ，又x1，y“0；x1 时，y“0，故曲线的拐点为(1，1)37 【正确答案】 0【试题解析】 因 f(x)=sin +cos2x，38 【正确答案】 【试题解析】 39 【正确答案】 0【试题解析】 因 12sin2xdx 是定积分，是一常数，故 12sin2xdx=040 【正确答案】 0【试题解析】 41 【正确答案】 y 2+z2=5x【试题解析】 由旋转曲面的方程特征知，所求曲面的方程为：y 2+z2=5x42 【正确答案】 【试题解析】 方程可化为：e x+y+xyz-ez=0，于是，令 F(x，y，z)=e x+y+xyz-ez，有：43 【正
19、确答案】 -1，1【试题解析】 因 an=(-1)n =1，故幂级数的收敛半径 R=1，进而知收敛区间为：(-1，1)；又 x=1 时，幂级数皆收敛，故幂级数的收敛区域为-1，144 【正确答案】 【试题解析】 因|x|245 【正确答案】 y“+十 y-2y=0【试题解析】 因方程的通解为 y=C1ex+C2e-2x 所以，方程有特征根 r1=1，r 2=2 于是特征方程为：r 2+r-2=0 故，相应的微分方程为：y“+y-2y=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 f(x)=xln2x，f(x)=ln2x+1，所以 f(x0)=ln2x0+1=2
20、 得 x0=e2，则f(x0)=f(e2)=48 【正确答案】 对于计算不定积分 dx，常规的方法是：令 x=2sect，由于该积分的具体情况，我们也可令 =t，x 2=t2+449 【正确答案】 50 【正确答案】 因 z=x2exy，所以 =2xexy+x2yexy=(2x+x2y)e xy 于是，=x2exy+(2x+x2y)e xyx=(3x 2+x3y)exy51 【正确答案】 首先画出积分区域 D，计算出曲线 y= 与直线 y=1 的交点(1，1)，该题应把 D 看做 Y 型，否则不便计算52 【正确答案】 53 【正确答案】 微分方程 xy“-2y=x3+x 属 y“=f(x，y
21、)型令 p=y“，方程可整理为p- p=x2+1利用公式法解此一阶线性微分方程y=p= dx+C1=x3-x+C1x2 则 y= x2+C1x2+C2四、综合题54 【正确答案】 先作图，当 x=a 时，y=1；x=2a，y=12，由曲线及直线所围图形的面积为：S= a2a dx=alnx|a2a=aln2(平方单位)该图形绕 x 轴旋转所成的体积为：该图形绕 y 轴旋转所成的体积为：55 【正确答案】 五、证明题56 【正确答案】 令 f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，f(1)=0f(x)=2lnx-x- +2，f(1)=0f“(x)=2lnx+ +1，f“(1)=20 当 0x1 时，f“(x)0f“(x)，f“(x)f“(1)=20 得 f(x) ，f(x) f(1)=0，f(x) 于是 f(x)f(1)=0，即(x 2-1)lnx(x-1) 2 当 1x+时，f“(x)0，f“(x) ，f“(x)f“(1)=20 得 f(x) ，f(x)f(1)=0，f(x) 于是 f(x)f(1)=0，即(x 2-1)lnx(x-1) 2 当 x=1 时，(x 2-1)lnx=(x-1)2综上所述，当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)2
