1、陕西专升本（高等数学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 x=0 是函数 的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）振荡间断点（D）连续点2 设函数 f(x)=0x(t 一 1)dt，则 f(x)有( ).（A）极大值（B）极大值（C）极小值（D）极小值3 设函数 f(x)的导函数为 sinx，则 f(x)有一个原函数为 ( )（A）1 一 sinx（B） 1+sinx（C） 1 一 cisx（D）1+cosx4 不定积分 =( )（A）（B）（C）（D）5 无穷级数 ( )（A）当 时，为条件收敛（B）当 时，为绝对收敛（C）当 时，
2、为绝对收敛（D）当 时，为发散的二、填空题6 极限 =_7 设 =_8 设 f(x)=(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)(x 一 50)，则 f(2)=_9 若级数 绝对收敛，则 P 需满足_10 微分方程 的通解为_三、综合题11 求极限12 设函数 y=y(x)是由参数方程13 求函数 y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点14 设 其中 f 与 g 具有二阶连续偏导数，求15 设 且 f(x)在 x=0 点连续求 k 的值及 f(x)16 计算：17 求二重积分 其中 D 为第一象限内圆 x2+y2=2x 及 y=0 所围成的平面区域18 计算曲线积分 I=L(2xy-x3)dx+
3、(x2+x-y3)dy，其中 L 是从点 A(1，0)沿上半圆周x2+y2=1 到点 B(-1，0)的部分19 求幂级数 的收敛区间及和函数，并求 的值20 设函数 f(x)有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，求 f(x)表达式四、证明题21 设函数 f(x)在0，a连续，在(0，a) 可导，且 f(0)=0 f(x)0，当 0ta 时，把右图中阴影部分的面积记为 S(t)，当 t 为何值时，S(t) 最小?22 设函数 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=2 证明：在(0，1)内至少存
4、在一点 ，使得 2f()+f()=0陕西专升本（高等数学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 即在 x=0 处左右极限存在但不相等，故 x=0 为跳跃间断点,所以选 C.2 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)=x 一 1令 f(x)=0 得 x=1 又 f(x)=10 故在 x=1 处有极小值f(1)，极小值 所以选 D.3 【正确答案】 A【试题解析】 由题知 f(x)=sinxdx= 一 cosx+c.要求 f(x)的一个原函数，故令 c=0，得 f(x)=一 cosx，则 f(x)原函数为：f(x)dx
5、=一cosxdx 一一 sinx+c 令 c=1 得 f(x)的一个原函数为 1 一 sinx，所以选 A.4 【正确答案】 A【试题解析】 所以选择 A.5 【正确答案】 B【试题解析】 当 5p1 时，即 ，原函数绝对收敛故选 B.二、填空题6 【正确答案】 e -x【试题解析】 7 【正确答案】 3e【试题解析】 8 【正确答案】 48!【试题解析】 f(x)是 50 个一次因式的乘积，在 x=2 处 f(x)=0因此，对这种类型函数求零点处的导数，应利用其特点有三个常用方法，分别叙述如下： 解:用乘法求导法则，有 f(x)=(x 一 2)(x 一 3)(x 一 50)+(x 一 1)(
6、x 一 3)(x 一 50)+(x 一 1)(x 一 2)(x 一 50)+(x 一 1)(x 一 2)(x 一 49)上式中共有 50 项，仅第二项不含(x 一 2)，其余 49 项均有这项因式故可得 f(2)=(21)(23)(250)=(一 1)4848!=48!9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 该方程是可分离变量的微分方程，先分离变量，得三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 y=ln(1 4-x2) 函数的定义域为( 一，+)令 y=0 解得 x=一 1，x=1 将 x=一 1，x=1两点分割定义域得知下表由表可知函数的凹
7、区间为一 1，1 ，凸区间为(一,-1)U(1，+)，拐点为( 1，ln2) 和(1，ln2)14 【正确答案】 令 xy 为第 1 变量， 为第 2 变量15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 画积分区域 D 得：18 【正确答案】 画 L 图19 【正确答案】 20 【正确答案】 四、证明题21 【正确答案】 当 0ta 时，22 【正确答案】 对 f(x)在0 ，1上应用罗尔定理，知至少存在一点 (0，1)使 f()=0 令 F(x)=x2f(x)则 F(0)=F()=0 对 F(x)在0，上应用罗尔定理，知至少存在一点(0， )c(0，1)使 F()=2f()+2f()=0 因为 0，所以有 2f()+f()=0
