1、陕西专升本（高等数学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 存在，则 a，b 的值依次是( )（A）3，3（B） 3，4（C） 4，3（D）4，42 根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是( )（A）（B）（C） 0sinxdx=0（D） 02sinxdx=03 若平面区域 D=(x，y)1 0x1，1ye x)，则二重积分 =( )（A）（B）（C） e （D）14 幂级数 的和函数是( )（A）（B）（C）（D）5 设 a=2，5 ，一 4，b=1 ，2，一 2)，则 a 与 b 的夹角是( )（A）0（B）（C）（D）二、填空题
2、6 =_.7 设 则 f(1)=_8 曲线 在点(1，1，1)处的切线方程为_9 函数 在点(1，2，3)处的全微分是_10 设函数 f(u)连续，而 D：x 2+y24，且_。三、综合题11 求极限12 设由参数方程 所确定的函数为 y=y(x)，求13 设函数 ，求 f(x)的单调区间和极值，并求曲线 y=f(x)的凹凸区间和拐点14 求不定积分15 求曲线 y=x3 与直线 x=2，y=0 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的立体体积16 设 ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求17 在曲线 x=t，y=t 2，z=t 3 上找点，使在该点处的切线平行于平面 x+2y+z=418 计算
3、曲线积分 L(exsiny-my)dx+(excosym)dy，其中 L 为从 A(a，0) O(0，0)的上半圆周，而圆的方程为 x2+y2=ax(a0) 19 将函数 f(x)=ln(1+x 一 2x2)展开为 x=0 的幂级数20 求微分方程 y+y一 2y=e-x 的通解四、证明题21 设函数 f(x)在a，b上为连续函数，且 f(x)0 求证(1)F(x)2；(2) 方程 F(x)=0 在(a，b) 内仅有一个实根22 求抛物线 y=一 x2+4x 一 3 及其在点(0，一 3)和(3 ，0)处的切线所围成的图形的面积陕西专升本（高等数学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题在每小题给
4、出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 A 和 B 中的两个积分相等(都等于 1)，C 中的积分等于 2，只有 D是正确的3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 7 【正确答案】 2【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 所给曲线的方程不是参数方程，曲线是空间两张曲面的交线令y=t，则可将曲线的方程化为参数方程 而点，所以，曲线在点 t=1 处的切向量为 T=s=2，1，5，故切线方程为 而法平面方程为 2.(x-1)
5、+1.(y-t)+5.(z-1)=0，即 2x+y+5z-8=09 【正确答案】 一 24dx+12dy+8ln2dz【试题解析】 10 【正确答案】 2A【试题解析】 首先，由二重积分的可加性，得三、综合题11 【正确答案】 用洛必达法，则12 【正确答案】 13 【正确答案】 列表讨论如下：14 【正确答案】 15 【正确答案】 平面图形如图所示，曲线 y=x3 与 x=2 的交点为(2，8)，故所求旋转体体积为16 【正确答案】 令 为第 1 变量， 为第 2 变量，则17 【正确答案】 因为 ,则曲线在对应参数 t 的点(x ，y，z)处切线的方向向量为1， 2t，3t 2，平面的法向
6、量为1，2，1因为直线与平面平行，则1 ，2t ，3t 2)1，2 ，1)=0 即 1+4t+3t2=0，解得 及 t=一 1 所以曲线上的点为 及(一 1，1，一 1)18 【正确答案】 这是一个对坐标的曲线积分，由被积函数的表达式可知，化为定积分计算很困难，而很简单于是我们想到了格林公式但积分路径 L 不封闭，又不能直接使用格林公式，那么添加直线段 ：y=0，x：0a ，如图所示19 【正确答案】 20 【正确答案】 此方程是二阶常系数线性非齐次方程，先求对应齐次方程的通解，再求非齐次方程的一个特解对应齐次方程 y+y一 2y=0 的特征方程 r2+r 一 2=0 的特征根为 r1=一 2，r 2=1，所以 y+y一 2y=0 的通解为 y=一 C1e-2x+C2ex 又因 f(x)一 e-x，设非齐次方程的一个特解为 y*=Ae-x 则 y *=一 Ae-x，y *=Ae-x 将其代入非齐次方程中，得 Ae-x+(一 Ae-x)一 2Ae-x=e-x 即 所以，原非齐次方程的通解为四、证明题21 【正确答案】 22 【正确答案】 y=一 2x+4曲线在(0，一 3)处切线方程为 y+34(x 一 0) 即y=4x 一 3
