1、2016 年 4 月全国自考高等数学（工本）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 直线 z=1+2t，y=一 1 一 t，z=2t 的方向向量是 ( )（A）2 ，一 1，2（B） 2，1，2（C） 一 1，1，0（D）1 ，一 1，02 设函数 f(x， y)=h(x)g(y)在点(x 0，y 0)的某邻域内有定义，且存在一阶偏导数，则fy(x0，y 0)= ( )3 设积分区域 D：x 2+y21，则二重积分 f( )dxdy= ( )（A）4 f(r)dr（B） 2 rf(r)dr（
2、C） 2 f(r2)dr（D）2 F(r)dr4 微分方程 +x2y=cosx 是 ( )（A）可分离变量的微分方程（B）齐次微分方程（C）一阶线性齐次微分方程（D）一阶线性非齐次微分方程5 设无穷级数 收敛，则在下列数值中 p 的取值为 ( )（A）（B）（C） 1（D）2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 点 P(3，2，0)到平面 3x-2y+ z+7=0 的距离为_ 7 已知函数 f(x，y)= ，则 f( )=_8 设积分区域 D：xa，ya，且二重积分 =4，则常数a=_9 微分方程 y“一 y=e-3x 的特解 y*=_10 已知无穷级数 ，则un=_
3、三、计算题11 求过点 C(一 1，2，一 4)并且垂直于平面 2x-3y+z-6=0 的直线方程12 求曲线 x=2t，y=t 2，z=1+t 3 在对应于 t=1 的点处的法平面方程13 求函数 z=e2x+3y 的全微分 dz14 求函数 f(x，y，z)=x 2+2y2+3z2+xy 一 3x+2y 一 6z 在点 P(1，1，1) 处的梯度gradf(1，1， 1)15 计算二重积分 ，其中 D 是由 y=x，x=1 及 y=0 所围成的区域16 计算三重积分 (1 一 x)dv，其中 是由曲面 z=x2+y2 和 z=1 所围成的区域17 计算对弧长的曲线积分 (2-2x2y+x)
4、ds，其中 C 是从点 A(一 1，一 1)到 B(-1，2)的直线段18 计算对坐标的曲线积分 (xy)dx+xydy，其中 C 为直线 y=x 从点 O(0，0)到点A(1，1)的线段19 求微分方程 的通解20 求微分方程 y“+y一 6y=0 的通解21 判断无穷级数 的敛散性22 已知 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在一 ，) 上的表达式为求 f(x)傅里叶级数 (ancosnx+bnsinnx)中系数 a4四、综合题23 某工厂生产的两种商品的产量 x 和 y 的利润函数为 L(x，y)=64x+32y+4xy 一 2x2一 4y2+36 求获得最大利润时两种商品的产量，并求
5、最大利润24 证明对坐标的曲线积分 (20sin3x+2y)dx+(2x 一 14cosy)dy 在整个 xOy 面内与路径无关25 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数2016 年 4 月全国自考高等数学（工本）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 直线 x=1+2t，y=-1-t，z=2t 可以转化为对称式方程，故直线的方向向量为2，一 1，22 【正确答案】 C3 【正确答案】 B4 【正确答案】 D5 【正确答案】 D【试题解析】 收敛，故 1，故本
6、题选 D二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 3【试题解析】 点 P 到平面 3x-2y+ z+7=0 的距离 d=37 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 19 【正确答案】 【试题解析】 已知微分方程 y“一 y=e-3x 为二阶常系数线性非齐次微分方程，m=0，=一 3，而对应齐次方程的特征方程为 r21=0，解得 r=1，故 不是该齐次方程的特征根，故可设原微分方程的特解为 y*=a0e-3x，则 y*=一 3a0e-3x，y *“=9a0e-3x，代入原微分方程可得 9a0e-3x 一 a0e-3x=e-3x，得 a0= ，故原微分方
7、程的特解为 y*= e-3x10 【正确答案】 三、计算题11 【正确答案】 因为直线方向向量 S=2，一 3，1，所以，所求直线方程为12 【正确答案】 对应于 t=1 的点为(2，1，2) ， 因为 x=2，y=2t，z=3t 2， 所以，对应于 t=1 的点处的法向量 n=2，2，3 ， 从而 所求法平面方程为 2(x 一 2)+2(y一 1)+3(z 一 2)=0， 即 2x+2y+3z 一 12=013 【正确答案】 因为 2e2x+3y， =3e2x+3y， 所以dz=2e2x+3ydx+3e2x+3ydy=e2x+3y(2dx+3dy)14 【正确答案】 因为 =2x+y-3，
8、=4y+x+2， =6z 一 6， 所以从而 gradf(1，1，1)=0，7，0 15 【正确答案】 16 【正确答案】 由对称性得 xdv=0， 所以17 【正确答案】 直线段 C 的方程为 x=一 1(一 1y2)，ds= dy=dy， 所以 (22x2y+x)ds= (12y)dy=(y-y2) =018 【正确答案】 C 的方程 y=x，x 从 0 变到 1，所以19 【正确答案】 分离变量后得 e2ydy=exdx， 两边积分得 ， 从而通解为 e2y=ex+C20 【正确答案】 特征方程为 r 2+r 一 6=0， 特征根为 r1=2，r 2=一 3， 所以通解为y=C1e2x+C2e-3x21 【正确答案】 令 ，则 ， 并且收敛22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 令 解得 x=40，y=24，驻点唯一 并且 L(40，24)=1700， 故两种商品的产量分别为 40 和 24 时，获得最大利润为 170024 【正确答案】 令 P(x，y)=20sin3x+2y，Q(x，y)=2x 一 14cosy， 因为 =2，=2，且 ， 所以，在整个 xOy 面内曲线积分与路径无关25 【正确答案】
