1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 13 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 y= 的定义域是（A）(2，3（B） 3，3（C） (2，1)和( 1，3（D）(3，2) 和(2， 3)2 （A）1（B） （C） 1（D）03 设 f(x)为可导函数，且 =1，则 f(x 0)=（A）1（B） 0（C） 2（D）1/24 曲线 y=xe-x 的拐点是（A）(1 ，e -1)（B） (2，2e -2)（C） (3，3e -3)（D）(4 ，4e -4)5 设某商品的市场需求函数为 Q=1 ，p 为
2、商品价格，则需求弹性函数为6 微分方程(xlnx)y =y 的通解是（A）y=Clnx（B） y=Cln（C） y=Cln(x+1)（D）y=Cln7 定积分 x1dx 的值是（A）2/5（B） 1/3（C） 5/2（D）38 =（A）2（B） 3（C） 1/3（D）1/29 设 z= ，则（A）2xysin(2xy 2)（B） 2xysin(2xy2)（C） 2xy2sin(2xy2)（D）2xy 2sin(2xy2)10 设积分区域 D 是 2x2+y24，则 dxdy=（A）8（B） 4（C） 2（D） 二、计算题（一）11 求极限 的值12 设 y= (arctanx)2xarctan
3、x+ ln(1+x2)，求 dy13 求极限 的值14 求定积分 的值15 设由方程 x2+y2+2x2yz=e x 确定的 z=z(x，y)，求三、计算题（二）16 设 y= ，x17 设函数 y=y(x)由方程 yxe y=1 所确定，求 的值18 已知 y=f(x)过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线 2x+y3=0，若 f(x)=3ax2+b，且 f(x)在 x=1 处取得极值，试确定 a、b 的值，并求出 y=f(x)的表达式.19 求 的值20 设 f(xy, )=x2y 2，求 f(x，y).四、应用题21 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内有二阶导数，且有 f
4、(a)=f(b)=0，f(c)0(a2 时，y0，曲线是凹的， 当 x-x 的拐点是(2，2e -2)5 【正确答案】 C【试题解析】 因为需求弹性函数为 ，又因为 Q=1 ，Q(p)= 则所求为6 【正确答案】 A【试题解析】 该方程可变形为 两边积分得 lny=ln(1nx)+C1，所以y=Clnx7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D9 【正确答案】 A【试题解析】 ?(sin 2xy2)y= ?sinxy2?(sinxy2)y= ?sinxy2?cosxy2?(xy2)y=sin(2xy 2) ?2xy=2xysin(2xy 2)10 【正确答案】 C【试题解析】 当被积函数是 l
5、时，二重积分的值是被积区域的面积；即dxdy=22 (2)2=2二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 y=x(arctanx) 2+ ?2?arctanx? arctanx=x(arctanx) 2,所以 dy=x(arctanx)2dx13 【正确答案】 =314 【正确答案】 设 =t，则 dx=2tdt，当 x=0 时， t=1；当 x=2 时，t=3则原式15 【正确答案】 设 F(x，y，z)=x 2+y2+2x2yz ez，则F x=2x+2，F y=2y2z，F z=2ye z所以三、计算题（二）16 【正确答案】 y= 1n(1x)ln(1+x)17 【正确答
6、案】 将 x=0 代入原方程得：y(0)=1，对原方程求导得：ye yxe yy=0，对上式求导并将 x=0、y=1 代入，解得： =2e218 【正确答案】 在原点处的切线平行于直线 2x+y3=0 即 =2，即b=2又由 f(x)在 x=1 处取得极值，得 f(1)=0，即 3a+b=0，得 a= ，故f(x)=2x 22，两边积分得 f(x)= x32x+C，又因曲线 y=f(x)过原点，所以 C=0，所以 y=f(x)= x32x19 【正确答案】 令 x2=u 3，则有 dx=2udu20 【正确答案】 令 ,得 代入方程得 f(t，s)= 故 f(x，y)=四、应用题21 【正确答
7、案】 f(x)在a，c、c ，b上连续，在(a，c)、(c，b)内可导，由拉格朗日中值定理，分别至少有点 1(a，c) 、 2(c，b)，使得 f( 2)= 0，f( 1)= 0；又 f(x) 在 1， 2上连续，在( 1， 2)内可导，从而至少有点 (1， 2)，使得 f()= 022 【正确答案】 设 f(x)=ax 2+bx+c(a0) ，由 f(0)=0c=0由 f(2)=04a+2b=0b=2a 所以 f(x)=ax 22ax，令 f(x)=0 驻点 x1=0，x 2=2又f(x)=2ax2a ，因为 f (0)=2a0，所以 x=0 为极小值点，且 f(0)=2因为f(2)=2a 由 所以 f(x)=x 3+3x2+223 【正确答案】 y=2x+4，则抛物线在点(0, 3)和(3 ，0)处的切线斜率分别为4，2.所以切线方程分别为 y=4x3 和 y=2x+6 其交点坐标是( ，3)，所以 S=(4x 3)dx+ (2x+6)dx (x 2+4x3)dx=24 【正确答案】 ,dz=
