1、12.1 数列的概念与简单表示法1数列的相关概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做_），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项所以，数列的一般形式可以写成 13,a 简记为 a 2数列的分类（1）根据数列项数的多少分有穷数列 项数_的数列，例如数列 1，2，3，4，5，6 是有穷数列无穷数列 项数_的数列，例如数列 1，2，3，4，5，6， 是无穷数列（2）根据数列项的大小分递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列
2、从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列 各项_的数列摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的通项公式如果数列 na的第 n 项 与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项4数列表示方法的优缺点通项公式法优点：便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究缺点：一些数列的通项公式表示比较困难列表法优点：内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项缺点：表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难_法 优点：能直观形象地表示出随着序 缺点：数列项数较多时用图象2号
3、的变化，相应项变化的趋势 表示比较困难递推公式法优点：可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系缺点：不容易了解数列的全貌，计算也不方便5递推公式的定义如果已知数列 na的第 1 项(或前几项)，且从第 2 项（或某一项）开始的任一项 na与它的前一项 1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的_注意：递推公式也是数列的一种表示方法K 知识参考答案：1首项 2有限 无限 相等 3通项公式 4图象 5递推公式K重点 数列的表示方法、通项公式及其应用，根据递推公式写出数列的前几项K难点 根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式K易错 对递推公式变形时注意 n 取
4、值的变化根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：（1）观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号特征、各项能否分拆、分式的分子与分母的特征、相邻项的变化规律等；（2）寻找各项与对应的项的序号之间的规律根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）1，3，5，7，9，；（2） ，4， 356，8， 910，；（3）0，2，0，2，0，2，；（4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，；（5）3，5，9，17，33，3【答案】见解析【解析】（1）数列的各项是连续的正奇数，它的一个通项公式为 an2 n1；（2）分子是连续的正偶数，分母为分子的平方
5、减去 1，它的一个通项公式为an 241；（3）将数列变形为123456(),(1),(),(1),()，易知它的一个通项公式为 ann；（4）将数列变形为 10，21，30，41，50，61，70，81，类似于（3）可得它的一个通项公式为 an n 2)(n；（5）将数列变形为12345,1,，可得它的一个通项公式为 an21n【名师点睛】寻找各项与对应的项的序号之间的规律的方法：（1）熟记一些特殊数列的通项公式，如2=,21,nnaa等；（2）将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；（3）当数列各项的符号出现“+”“ ”相间时
6、，可用 (1)n或1n来实现数列 1，579,824的一个通项公式是A*()()nnaNB1*23nC1*2()()nnaD1*2nN【答案】D【解析】A 中 132a，B 中 14，C 中 13a，D 中 1，因此排除 A、B、C，故选D4数列中项的判断与求解（1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项；（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出 n 的值若求出的 n 为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项已知数列 na的通项公式 (1)2nna，则（1） 2a_；（2） 310 _【答案】（1）2；（2）10【解析】（
7、1）因为 12,3,a所以 12a（2）观察可知 2490, 故 12310aa 10已知数列 na的通项公式是2=na，那么A30 是数列 的一项 B44 是数列 n的一项C66 是数列 n的一项 D90 是数列 a的一项【答案】C【解析】注意到 30，44，66，90 均比较小，可以写出这个数列的前几项，则问题就可以解决了.易得 1234567=61,28,91aaaa， ， 故选 C【名师点睛】若出现的数比较大，可以用解方程的方法加以解决（看求出的解是否为正整数） 根据数列的递推公式求 na由递推公式求通项公式的常用方法：（1）归纳法根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项
8、公式；（2）迭代法、累加法或累乘法已知 12a， 1na，写出前 5 项，并猜想 na【答案】前五项分别为 ,486,32，猜想 2n5【解析】由题可得 12345,816,32aaa故前五项分别为 2,4816,3由 12a， ，2，观察，猜想na【解题技巧】（1）本题若是求 na，则由 a n+1=2an可得 an=2a n1 ，即21n，依次向下写，一直到第一项，然后将它们相乘，有321nn21，所以an=a12n1 =2n这种方法通常叫叠乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项公式的问题中是比较常用的方法，对应的还有叠加法（2）应注意的是：数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定
9、的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的已知 12a， 1na，则数列 n的通项公式 naA2nB21C2nD2n【答案】C【解析】由 12na可得12na，当 时，212121 nnn ，经检验， 12a也符合上述通项公式故选 C数列的单调性数列单调性的判断方法和应用思路：（1）比较数列 na中任意相邻两项 +1na和 的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法；（2）利用数列的单调性：数列 n递增 +1na，数列 n递减 +1na对于通项较复杂的数列问题，常采用“特值探路”的策略，并结合数列的单调性求解已知数列 na的通项公式为2()n*N，判断数列 n的单调性6【答案
10、】数列 na是递增数列【解析】方法 1：221,()(1),nan则1()()na20，即 +1n*N，故数列 n是递增数列方法 2：221,()(1),nna则21()(1)2nan，又 0， 故 +1，即数列 na是递增数列方法 3：令2yx，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为12x，则函数 在 1)， 上单调递增，故数列 na是递增数列【名师点睛】方法 3 借助于数列对应的函数，运用我们熟知的函数的单调性进行求解，更加简捷数列的最大（小）项的求法数列的最大（小）项问题有如下两种求法：（1）利用数列的单调性确定数列的最大（小）项当数列不单调时，还需解不等式 +10na（或+1na，
11、此时应注意 na的符号）；（2）通过解不等式组来确定设第 (1)k*N，项是数列的最大（小）项，则1ka1()ka，求出k 的正整数值即得最大（小）项，这样就不必再判断数列的单调性了已知数列 na的通项公式4()5nna)*N，试问数列 na是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由【答案】数列 n有最大项为 4或 5a，且544102=67【解析】方法 1：作差比较 +1na与 的大小，判断 na的单调性+144=()()55nna，当 4时， +10na，即；当 4时， +10na，即 +1na；当 时， +1na，即 +1n故 12345678a ，所以数列 n有最大项为 4a或
12、 5，且54402=6a方法 2：作商比较 +1na与 的大小，判断 na的单调性，1+14()5=.nna令+1na，解得 4；令+1n，解得 4；令+1n，解得 4故 1235678,aa所以数列 n有最大项为 4或 5，且544102=6方法 3：假设 na中有最大项，且最大项为第 n 项，则1na，即144()(55nn，即54，故数列 na有最大项为 4a或 5，且544102=6a对递推公式变形时忽略 n的取值已知数列 na满足3123=()na*N，则数列 na的通项公式na_8【错解】由3123=na，可得31231()na，两式相除可得3=(1)na【错因分析】 1() 仅适
13、用于 *N且 2时的情况，故不能就此断定3()na就是数列 na的通项公式【正解】当 1时， ；当 2n时，由323=na，可得31231()n，上述两式相除可得3()n，故3,()na*N【名师点睛】在对递推公式变形时，常常会改变 n 的取值，因此求出的 na不一定适用于n*N1数列 ,24816,3 的一个通项公式是A naB12naC D n2不能作为数列 2，0，2，0，的通项公式的是A1()nnaB (1)nnaC D cos3数列 n中，nn)1(，则 54aA 7 B 8C 9 D 1094在数列 na中， 1，21()na，则 12345aaA BC 0 D5 6是数列 12，
14、 3， 4， 5，的A第 项 B第 24项C第 项 D第 30项6数列 na的前 n 项和23Sn，则 na的通项公式为A 45 B 4nC 23 D 217数列 nx中，若 1，1nx，则 2018xA B 2C12D 18如图，给出的 3 个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前 3 项，则这个数列的一个通项公式是A 21n B 3n C D29已知数列 na的通项公式为 1()nna，则 2018a_10数列 中，276，那么满足 n的有_项11数列 n中，已知 ()nn（ a为常数） ，且 1423a，则1010a_12如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，
15、根据图中的数构成的规律，推测第 6行的第 3 个数字为_ 13数列2n中的最大项是_14已知数列 a，其通项公式为2*3()naN，判断数列 na的单调性15已知数列 na的通项公式为 53na（1）求 9的值；（2）试判断 80是否为数列 n中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由1116不能作为数列 ,10的一个通项公式的是A|sin|2aB(1)|cos|2naC(1)nD1()nn17在数列 na中，112()nna，若 145a，则 10的值为A 53BC2D1518传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前 570 年公元前 500 年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学
16、问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律，第 n 个图形中有_个正方形19若数列 na满足2,18ann，则 1_20已知各项都为正数的数列 满足 ，211()20nna，则23_21若无穷数列 na满足：只要 (,)pqa*N，必有 1pq，则称 na具有性质 P若 具有性质 P，且 24532a， 678a2，则123a_22已知 n是递增数列，且对任意的自然数 n(n1)，都有2na恒成立，则实数 的取值范围为_23已知数列 na的通项公式278na（1）数列中有多少项为负数?（2）数列 an是否有最小项?若有，求出其最小项24数列 na中，
17、)2(,11nan，求 5432,a，并归纳出 na1325已知数列 na中， 1，*1()(nnaN，求数列 na的通项公式26 （2017 新课标全国文节选）设数列 na满足 123(1)2naa ，求na的通项公式.141 【答案】B【解析】观察数列的前 6 项知，每一项与项数 n的关系为12na，故选 B2【答案】C【解析】验证易知，只有 C 选项中的式子不能作为已知数列的通项公式故选 C3 【答案】C【解析】因为nna)1(，所以44(1)5,a5(1)4,a所以459.故选 C5 【答案】B【解析】由数列 12， 3， 4， 5，可得通项公式为 (1)na，令()60n，求解得 n
18、，故选 B6【答案】A【解析】因为23nS，所以当 2时，21)(3(1nSn，两式相减可得 na145，又当 n时， a，满足上式，故选 A7 【答案】B【解析】将 1x代入1nx，得 21x，再将 2x代入1nx，得 3，所以数列周期为 2，所以 2018，故选 B8 【答案】D【解析】由 1na，再根据累加法得151211( 3(4)5)n naaa 3，故选 D9 【答案】 2【解析】因为 1()nna，所以20182018()a10 【答案】 4【解析】由二次函数知识可知，该数列为二次函数276yx图象上的整数点，当 2,35n时满足 0na，故满足 0na的有 4项11 【答案】
19、97【解析】由 (1)nn可得 1234,aa，因为1423a，所以 43()aa，解得 ，所以 (1)3nn，所以 09712 【答案】 5【解析】由题图可知，从第 3 行开始，每个数字都等于其“肩上”的两数之和，那么第 6行的数字为 1,620,51，故第 3 个数字为 1514 【答案】数列 na是递增数列【解析】方法 1：2*3()nN，2*+13()(1),nanN则21()160,n即 )a，16故数列 na是递增数列.方法 2：2*3()N，2*+13()(1),nanN则12()na.即数列 na是递增数列 （注：这里要确定 na的符号，否则无法判断 +1n与 的大小）方法 3
20、：令2yx，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为16x，则函数2在1(,)6上单调递增，故数列 na是递增数列15 【答案】 （1） 3；（2）见解析【解析】 （1）因为数列 na的通项公式为 53n，所以 9532（2） 80是数列 中的项理由如下：假设 是数列 n中的项，则 8053，解得 *25N，所以 是数列 a中的项，且为第 2项16 【答案】C【解析】因为数列 ,10的前几项为摆动数列，因此通过验证可知 A，B，D 都适合，C 选项不适合故选 C18【答案】(1)2n【解析】设数列为 ，由图知， 1a， 2， 312a，1741234a，所以由此猜想： (1)1232nna
21、19 【答案】【解析】由已知得 1nna， 82a，所以7812a，671a，5612a，45，34，23，1220 【答案】34【解析】由211()20nnaa，令 n，解得 21a，同理可得 314a，所以 23421 【答案】 16【解析】因为 52a，所以 63a， 74a， 852a，于是 6783，又 821，所以 3622【答案】( -3， +)【解析】由 an为递增数列，得 an+1-an=(n+1)2+ (n+1)-n2- n=2n+1+ 0 恒成立，即 -2n-1 在 n1 时恒成立，令 f(n)=-2n-1， n *N，则 f(n)max=-3只需 f(n)max=-3
22、即可.故实数 的取值范围为( -3， +) 23【答案】（1） 7；（2）当 或 4时，数列 na有最小项，且最小项340a1824 【答案】 5432,a的值分别为21,35， 12na【解析】 )(,11nn，3212a，234，534a，45216，由,32可以归纳出 12na25 【答案】 na【解析】方法 1(累乘法)：*1()nnaN，即1na，21，32，43， 1(2)n以上各式两边分别相乘，得 1243na又 1a， ()n，19 1a也适合上式， na方法 2(迭代法)：由 1na知，21a，32，43a，则31241 2 122nn nn 26 【答案】 an【思路分析】先由题意得 2n时， )1(2)32(3121 nana ，再作差得 12na，同时应验证 时是否也满足上式【解析】因为 23(1)2naa ，故当 时， 13 两式相减得 ()n，所以21na又由题设可得 ，从而 na的通项公式为21na
