1、6.3 等比数列及其前n项和,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比 ,公比通常用字母q(q0) 表示.数学语言表达式:,q为常数. (2)等比中项 如果a,G,b 成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2=ab .,-4-,知识梳理,双击自测,2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列an的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;可推广为an=amqn
2、-m . (2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1; 当q1时,-5-,知识梳理,双击自测,3.等比数列及其前n项和的性质 (1)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman . 特别地,若2m=p+q,则 2 =apaq(p,q,m,nN*). (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm . (3)当q-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn . (4)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),-6-,知识梳理,双击自测,4.等比数列
3、与函数的关系 (1)an=a1qn-1可变形为an=Aqn,其中A= ; 点(n,an)是曲线 上一群孤立的点. (2)Sn可变形成Sn=Bqn-B(q1),其中B= ,(n,Sn)是曲线 上一群孤立的点.,(3)对于一个确定的等比数列,在通项公式an=a1qn-1中,an是n的函数,这个函数由正比例函数 u和指数函数u=qn(nN*)复合而成. 当a10,q1 或a10,01 时,等比数列an是递减数列; 当q=1 时,它是一个常数列; 当q0 时,它是一个摆动数列.,-7-,知识梳理,双击自测,1.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a
4、3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,2.(2018浙江诸暨高三期末)若等比数列an中,a10,则“a1a4”是“a3a5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,3.(2018浙江湖州三模)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=1,S3=a6,且a3,a6,ak成等比数列,则Sn= ,k= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,4.(2018浙江杭州二模)设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S4=
5、80,S2=8,则公比q= ,a5= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,5.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为 .,答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值. 2.由an+1=qan,q0,并不能立即判断an为等比数列,还要验证a10. 3.在运用等比数列的前n项和公式时,如果不能确定q与1的关系,必须分q=1和q1两种情况讨论.,-13-,考点一,考点二,考点三,等比数列的基本量求解(考点难度) 【例1】 (1)(2017
6、课标高考)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,(2)已知Sn是各项为正数的等比数列an的前n项和,a2a4=16,S3=7,则a8=( ) A.32 B.64 C.128 D.256,答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解. 2.解决此类问题,有时需要运用整体代换思想来简化运算过程. 3.应用等比数列的前n项和公式时,必须注意对公比q=1与q1的情况进行分类讨论.,-16-,考点一,考点二,考点三,对点训练(20
7、17江苏高考)等比数列an的各项均为实数,其前n项的和为Sn.已知S3= ,则a8= .,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,等比数列的判定与证明(考点难度) 【例2】 已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式;,由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an, 即an+1(-1)=an.,-18-,考点一,考点二,考点三,方法总结证明数列an是等比数列常用的方法:一是定义法,证明 =q(n2,q为常数);二是等比中项法,证明 2 =an-1an+1.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可
8、.,-19-,考点一,考点二,考点三,对点训练数列an的前n项和为Sn,且首项a13,an+1=Sn+3n(nN*). (1)求证:Sn-3n是等比数列; (2)若an为递增数列,求a1的取值范围.,(1)证明:an+1=Sn+3n(nN*). Sn+1=2Sn+3n,Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),数列Sn-3n是公比为2,首项为a1-3的等比数列.,-20-,考点一,考点二,考点三,(2)解:由(1)得Sn-3n=(a1-3)2n-1, Sn=(a1-3)2n-1+3n, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1, an为递增数列, 当n2时,(a1-3)2n
9、-1+23n(a1-3)2n-2+23n-1,-21-,考点一,考点二,考点三,等比数列性质的应用(考点难度) 考情分析等比数列的性质是高考的热点之一,很多题目利用等比数列的基础知识也能解决,但计算量比利用等比数列的性质解决偏大,主要类型有考查等比数列项的性质和考查等比数列和的性质.,-22-,考点一,考点二,考点三,类型一 等比数列项的性质的应用 【例3】 在正项等比数列an中,a1 008a1 009= ,则lg a1+lg a2+lg a2 016=( ) A.2 015 B.2 016 C.-2 015 D.-2 016,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,类型二 等比数列和
10、的性质的应用 【例4】 设等比数列an的前n项和为Sn,若S4=8,S8=12,则a13+a14+a15+a16= .,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,类型三 等比数列的综合性质 【例5】 (2018浙江金华十校调研)已知等比数列an的前n项和为Sn,则下列结论一定成立的是( ) A.若a50,则a2 0170,则a2 0180,则S2 0170 D.若a60,则S2 0180,答案,解析,-25-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.等比数列项的性质主要有: (1)通项公式的推广:an=amqn-m; (2)等比中项的推广与变形: =am-nam+n(mn)及akal=aman
11、(k+l=m+n);等比数列和的性质主要是Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列. 2.利用等比数列的性质可以减少运算量,提高解题速度.解题时,根据题目条件,分析具体的变化特征,即可找到解决问题的突破口.,-26-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2015浙江高考,理3)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( ) A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40,答案,解析,-27-,考点一,考点二,考点三,(2)(2018浙江五校联考)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,若-1,S5,S10成等差数列,则S10-2S5= ,S15
12、-S10的最小值为 .,答案,解析,-28-,思想方法分类讨论思想在等比数列中的应用 每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究.分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有: 已知Sn与an的关系,要分n=1,n2两种情况. 等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q1讨论. 项数的奇、偶数讨论. 等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.,-29-,【典例】 设数列an为等比数列,数列bn满足bn=na1+(n-1)a2+2an-1+an,nN*,已
13、知b1=m,b2= ,其中m0. (1)求数列an的通项公式(用m表示); (2)设Sn为数列an的前n项和,若对于任意的正整数n,都有Sn1,3,求实数m的取值范围.,-30-,故所求实数m的取值范围是m|2m3. 答题指导遇到等比数列问题,要注意公比q是否为1;当q0时,要注意对n的奇偶性进行讨论.,-31-,高分策略1.判定等比数列的方法 (1)定义法: =q(q是不为零的常数,nN*)an是等比数列. (2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列. (3)等比中项法: an是等比数列. 2.求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想:如求等比数列中的基本量; (2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论. 3.求解等比数列的问题,要注意等比数列性质的应用,以减少运算量.,
