1、5 二次函数与一元二次方程,【基础梳理】 1.二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的关系,两个不等实数根,两个相等实数根,无实数根,2.一元二次方程的图象解法 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的 _就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的_.,横坐标,根,【自我诊断】 1.判断对错: (1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴一定有交点.( ) (2)如果抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点在x轴上,则相 对应的一元二次方程ax2+bx+c=0由两个相等的实数根.( ),2.二次函数y=x2-2x
2、+1与x轴的交点的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.方程x2-5x+4=0的根为x1=_,x2=_.二次函数y= x2-5x+4与x轴的交点是_.,B,1,4,(1,0)(4,0),知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 【示范题1】(2017天门中考)已知关于x的一元二次 方程x2-(m+1)x+ (m2+1)=0有实数根. (1)求m的值.,(2)先作y=x2-(m+1)x+ (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式. (3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(nm)与变化后的图象有公共点时
3、,求n2-4n的最大值和最小值.,【思路点拨】(1)由题意0,列出不等式,解不等式即可. (2)画出翻折、平移后的图象,根据顶点坐标即可写出函数的解析式. (3)首先确定n的取值范围,利用二次函数的性质即可解决问题.,【自主解答】(1)对于一元二次方程 x2-(m+1)x+ (m2+1)=0, =-(m+1)2-2(m2+1)=-m2+2m-1 =-(m-1)2, 方程有实数根, -(m-1)20,m=1.,(2)由(1)可知y=x2-2x+1=(x-1)2, 图象如图所示:平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.,(3)由 消去y得到x2+6x+n+2=0, 由题意0, 3
4、6-4n-80,n7, nm,m=1, 1n7,令y=n2-4n=(n-2)2-4, 当n=2时,y的值最小,最小值为-4, 当n=7时,y的值最大,最大值为21, n2-4n的最大值为21,最小值为-4.,【微点拨】 二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系 1.b2-4ac0抛物线与x轴有2个交点方程有两个不相等的实数根. 2.b2-4ac=0抛物线与x轴有1个交点方程有两个相等的实数根. 3.b2-4ac0抛物线与x轴没有交点方程没有实数根.,知识点二 利用二次函数求一元二次方程的近似根 【示范题2】(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象. (2)
5、根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点). (3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根.(精确到0.1),【思路点拨】(1)确定顶点坐标和与x轴,y轴交点,作出图形. (2)方程x2-2x=1的根就是二次函数y=x2-2x的函数值为1时的横坐标x的值. (3)观察图象可知图象交点的横坐标即为方程的根.,【自主解答】(1)如图,y=x2-2x=(x-1)2-1,作出顶点,作出与x轴的交点,图象光滑. (2)正确作出点M,N如图.,(3)方程的根为-0.4,2.4.,【备选例题】利用二次函数的图象求一元二次 方程9x2-6x-5=0的近似根.(精确到0.1),【自主解答】画出抛物线y=9x2-6x-5的图象:,由图象可知,方程有两个根,一个在-1和0之间,一个在1和2之间. 利用计算器探索:,所以方程的近似根是x1=-0.5,x2=1.1.,【微点拨】 求一元二次方程近似根的“四步法”,【纠错园】 已知关于x的函数y=(m+6)x2+(2m-1)x+m+1的图象与x轴有交点,求m的取值范围.,【错因】_ _,题意理解有错,忽略了“函数”的条件,应分,一次函数与二次函数两种情况讨论.,
