1、1专题 03 直线与方程专题复习和测试一高考命题方向和趋势高考考查重点是能够正确写出直线方程，考查两直线平行和垂直的充要条件的应用，考查直线中的对称问题，注意和三角函数、线性规划等知识的交汇，考查使用数形结合思想、分类讨论思想等思想方法。考查直线方程与一次函数关系，考查直线方程与二次函数的交汇等。直线与方程一般出现在客观题中或者解答题某一部分出现。难度不大。二重难点归纳在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式与点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论
2、，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值的问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. 与已知直线垂直及平行的直线系的设法：与直线 2(0)AxByC 垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直： 0BxAym ；(2)平行： n .平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.转化思想是解决对称问题中的关键：对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法三典例剖析1.求直线方程例 1. 已知两点 A（0，1） ，B（4，3） ，
3、则线段 AB 的垂直平分线方程是 【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段 AB 的垂直平分线的方程，再化为一般式【答案】2x+y6=0【解析】两点 A（0，1） ，B（4，3） ，中点坐标为：（2，2） ，直线 AB 的斜率为： = ，AB 垂线的斜率为：2，线段 AB 的垂直平分线方程是：y2=2（x2） ，即：2x+y6=0，故答案为 2x+y6=0【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法2.两直线平行于垂直2例 2.直线 l1：2xy1=0 与直线 l2：mx+y+1=0 互相垂直的充要条件是（ ）Am=2 B
4、m= Cm= Dm=2【分析】由两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 垂直am+bn=0 解得即可【答案】C【解析】直线 l1：2xy1=0 与直线 l2：mx+y+1=02m1=0 m= 故选 C【点评】本题主要考查两直线垂直的条件，同时考查充要条件的含义 例 3 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，则直线 xsinA+ay+c=0 与直线 bxysinB+sinC=0的位置关系是（ ）A平行 B垂直 C重合 D相交但不垂直【分析】利用正弦定理和直线的斜率的关系判断两直线的位置关系【答案】B【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题
5、，注意正弦定理的合理运用例 4.已知直线 l1：axy+1=0，l 2：x+y+1=0，l 1l 2，则 a 的值为 ，直线 l1与 l2间的距离为 【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出【答案】1； 【解析】直线 l1：axy+1=0，l 2：x+y+1=0，分别化为：y=ax+1，y=x1，l 1l 2，a=1，11两条直线方程可得：x+y1=0，x+y+1=0直线 l1与 l2间的距离 d= = 故答案分别为：1； 【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3.直线的对称问题例 5 已知点 A（1，3） ，B（5，1） ，直线 L 关于 A
6、、B 对称，则 L 的方程是（ ）A3xy8=0 B3x+y+4=0 C3xy+6=0 D3x+y+2=0【分析】由题意，即求 AB 的垂直平分线方程【答案】B3【解析】由题意，即求 AB 的垂直平分线方程，AB 的中点坐标为（2，2） ，AB 的斜率为 = ，L 的方程是 y2=3（x+2） ，即 3x+y+4=0，故选：B【点评】本题考查直线方程，考查学生的计算能力，比较基础例 6 已知点 A（0，1） ，直线 l1：xy1=0，直线 l2：x2y+2=0，则点 A 关于直线 l1的对称点 B 的坐标为 ，直线 l2关于直线 l1的对称直线方程是 【分析】设点 A（0，1）关于直线 xy1
7、=0 的对称点 B 的坐标为（a，b） ，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出 a、b 的值，可得答案；利用到角公式可求得直线 l 的斜率，再求得直线 l2 与 L1 的交点（直线 l 过该点） ，利用直线的点斜式即可求得 l 的方程。【答案】 （2，1） ，2xy5=0【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，考查直线关于直线对称直线的求法，属于中档题4.直线的综合问题直线与直线相交问题也是高考考查热点，相交问题涉及到交点、长度、面积计算问题等，这类问题处理按照常规思路处理外，而常常需要一定策略求解（如整体思想、数形结合思想、设而不求思想、对称思想）。例 7.将直线 1:0
8、lxy、 2:0lnxy、 3:0lxny（ *N， 2n）围成的三角形面积记为 nS，则 =_-。【答案】 2(1)4【解析】由 0nyx得 2l、 3交点 P（ 1,n） ，点 p 到直线 1l的距离【点评】：本题考查了直线与直线的位置关系、直线的交点求法以及点到直线的距离公式等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力。本题还可以利用数形结合方法求解如下：由三条直线所围成的三角形所表示的阴影部分如右图所示, 其面积 111()222n nS,这种做法要比上面解法容易些，但是需要把图像化准确。 例 8（2017新罗区）如图，平行四边形 ABCD（A，B，C，D 按逆时针顺序排列） ，AB，AD
9、 边所在直线的方程分别是 x+4y7=0，3x+2y11=0，且对角线 AC 和 BD 的交点为 M（2，0）（1）求点 A 的坐标（2）求 CD 边所在直线的方程【分析】 （1）联立直线方程，解方程组可得交点 A；（2）解法一：求出 C（1，1） ，由平行关系可得直线 CD 的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；解法二：C（1，1） ，设 CD 边所在的直线方程为：x+4y+m=0，代点求 m 即可；解法三：设 P（x，y）为 CD 边所在的直线上的任一点，P 关于点 M 的对称点为P（x 0，y 0） ，代入法消参数可得5【解析】 （1）由题意联立直线方程 ，解方程组可得 ，A（3，1）
10、（2）解法一：A 关于 M 的对称点为 C，C（1，1） ，又 ，CD 边所在的直线方程为 ，化为一般式可得：x+4y+3=0解法二：A 关于 M 的对称点为 C，C（1，1） ，设 CD 边所在的直线方程为：x+4y+m=0，1+4（1）+m=0，解得 m=3，CD 边所在的直线方程为 x+4y+3=0解法三：设 P（x，y）为 CD 边所在的直线上的任一点，P 关于点 M 的对称点为 P（x 0，y 0） ，则 ，解得 ，又 P在直线 AB 上，（4x）+4（y）7=0，x+4y+3=0【点评】本题考查直线的方程，直线与直线的位置关系，点线对称关系等基础知识，属基础题四数学文化为了绿化城市
11、，准备在如图所示的区域 ABCDE 内修建一个矩形 PQRD 的草坪，其中AED=EDC=DCB=90，点 Q 在 AB 上，且 PQCD，QRCD，经测量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m 问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2） 6即 ，设 ，则矩形 PQRD 的面积为 （0x30）化简，得 （0x30）配方， （0x30）易得当 x=5，y= 时，S 最大，其最大值为 Smax6017m 2【点评】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想 五考题预测1 若直线 2
12、mx+y+6=0 与直线（m3）xy+7=0 平行，则 m 的值为（ ）A1 B1 C1 或1 D3【答案】B【解析】因为两条直线平行，所以： ，解得 m=1，故选 B2.ABC 中，已知 C（2，5） ，边 BC 上的中线 AD 所在的直线方程是 11x14y+3=0，BC 边上高线 AH 所在的直线方程是 y=2x1，试求直线 AB、BC、CA 的方程3 如图，直线 OA，OB 方程分别为 y=x 和 y= x，过点 P（2，0）作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在与直线 2x+y+m=0， （mR）垂直且过原点的直线上时，求直线 AB 的方程
13、7六创新测试题一选择题（共 17 小题）1 （2018西城区模拟）点（1，1）到直线 x+y1=0 的距离是（ ）A B C D【答案】D【解析】点（1，1）到直线 x+y1=0 的距离：d= = 故选：B2 （2018宜宾模拟）过点 P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）A2x3y=0 B3x2y=0 或 x+y5=0Cx+y5=0 D2x3y=0 或 x+y5=0【答案】B【解析】当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+y=a，把（2，3）代入所设的方程得：a=5，则所求直线的方程为 x+y=5 即 x+y5=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为 0
14、时，设该直线的方程为 y=kx，8把（2，3）代入所求的方程得：k= ，则所求直线的方程为 y= x 即 3x2y=0综上，所求直线的方程为：3x2y=0 或 x+y5=0故选：B3 （2018日照一模）已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x+2y3=0 垂直，则 sin2 的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】直线 l 与直线 x+2y3=0 垂直，k l= =2tan=2 sin2=2sincos= = = 故选：B4 （2018西城区模拟）已知过点 A（2，m） ，B（m，4）的直线与直线 2x+y1=0 平行，则 m 的值为（ ）A0 B2 C8 D10【答案】C5 （2018凯里
15、市校级二模）点（4，2）到直线 的距离是（ ）A1 B2 C D6【答案】B【解析】直线 化为一般形式是：3x4y10=0，则点（4，2）到该直线的距离为：d= =29故选：B6 （2018青岛二模）已知直线经过两条直线 l1：x+y=2，l 2：2xy=1 的交点，且直线 l 的一个方向向量=（3，2） ，则直线 l 的方程是（ ）A3x+2y+1=0 B3x2y+1=0 C2x+3y5=0 D2x3y+1=0【答案】C7 （2018四川模拟）直线 y=ax+1 与曲线 x2+y2+bxy=1 交于两点，且这两个点关于直线 x+y=0 对称，则a+b=（ ）A5 B4 C3 D2【答案】D【
16、解析】直线 y=ax+1 与曲线 x2+y2+bxy=1 交于两点，且这两个点关于直线 x+y=0 对称，可得圆的圆心（ ， ）在直线 x+y=0 上，可得 b=1，又 a=1，可得 a+b=2，故选：D8 （2018西城区模拟）过点（0，1）并且与直线 y=2x+3 垂直的直线方程是（ ）A2xy1=0 Bx2y+2=0 C2xy+1=0 Dx2y2=0【答案】B10【解析】过点（0，1）并且与直线 y=2x+3 垂直的直线方程的斜率 k= ，过点（0，1）并且与直线 y=2x+3 垂直的直线方程是：y1= ，整理得：x2y+2=0故选：B 9 （2018浦东新区三模）在平面直角坐标系 xO
17、y 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数 图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 a 的所有值为（ ）A B1 C D不存在【答案】C10 （2018呼和浩特一模）设直线 l1：x2y+1=0 与直线 l2：mx+y+3=0 的交点为 A；P，Q 分别为 l1，l 2上任意两点，点 M 为 PQ 的中点，若 ，则 m 的值为（ ）A2 B2 C3 D3【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示；直线 l1：x2y+1=0 与直线 l2：mx+y+3=0 的交点为 A；M 为 PQ 的中点，若 ，则 PAQA，即 l1l 2，1m+（2）1=0，11解得 m=2故选
18、：A11 （2018静安区一模）已知点 A（2，3）到直线 ax+（a1）y+3=0 的距离不小于 3，则实数 a 的取值范围是 （，3 【答案】 （，312 （2018郑州一模）如果直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（a1）y=a7 平行，则 a= 3 【答案】3【解析】直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（a1）y=a7 平行， ，解得 a=3故答案为：313（2018朝阳一模）若点 P 是曲线 y=x2lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x2 的最小距离为 【答案】 12【解析】点 P 是曲线 y=x2lnx 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y=x2 平行时，点 P 到直线 y=x2 的距离最小直线 y=x2 的斜率等于 1，令 y=x2lnx 的导数 y=2x =1，x=1，或 x= （舍去） ，故曲线 y=x2lnx 上和直线 y=x2 平行的切线经过的切点坐标（1，1） ，点（1，1）到直线 y=x2 的距离等于 ，故点 P 到直线 y=x2 的最小距离为 ，故答案为 14 （2018张掖模拟）过点 P（3，0）作直线（a+2b）x（a+b）y3a4b=0（a，b 不同时为零）的垂线，垂足为 M，已知点 N（2，3） ，则|MN|的取值范围是 【答案】
