1、1离散型随机变量的均值与方差、正态分布高考概览高 考 在 本 考 点 的 考 查 涉 及 各 种 题 型 ， 分 值 为 5分 、 12分 ， 中 等 难 度考纲研读1理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义一、基础小题1设随机变量 X N(1，5 2)，且 P(X0) P(X a2)，则实数 a 的值为( )A4 B6 C8 D10答案 A解析 x0 与 x a2 关于 x1 对称，则 a22， a4故选 A2抛掷两个骰子，至少有一个 4 点或 5 点出现时，就说这次试验成
2、功，则在 10 次试验中，成功次数 X 的期望是( )A B C D809 559 509 103答案 C解析 由题意，一次试验成功的概率为 1 ，10 次试验为 10 次独立重复试验，23 23 59则成功次数 X B ，所以 E(X) 故选 C(10，59) 5093某种种子每粒发芽的概率都为 09，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( )A100 B200 C300 D400答案 B解析 种子发芽率为 09，不发芽率为 01，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为 ，则 B(1000，01)， E( )
3、100001100，故需补种的期望为 E(X)2 E( )200故选 B4已知随机变量 X 8，若 X B(10，06)，则 E( )， D( )分别是( )2A6 和 24 B2 和 24 C2 和 56 D6 和 56答案 B解析 由已知随机变量 X 8，所以有 8 X因此，求得 E( )8 E(X)810062， D( )(1) 2D(X)10060424故选 B5现在有 10 张奖券，8 张 2 元的，2 张 5 元的，某人从中随机无放回地抽取 3 张奖券，则此人得奖金额的数学期望为( )A6 B C D9395 415答案 B解析 记此人得奖金额为随机变量 X，则 X 的可能取值有
4、6，9，12，且 P(X6) ， P(X9) ， P(X12) ，则 E(X)C38C310 715 C28C12C310 715 C18C310 1156 9 12 故选 B715 715 115 3956某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 服从正态分布 N(105，10 2)，已知P(95 105)032，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为( )A10 B9 C8 D7答案 B解析 因为 N(105，10 2)， P(95 105)032，所以 P(105115) 032018，所以此次数学考试成绩不低于 115 分的学生人数12为 500189故选 B7体育课的排球发球
5、项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止设学生一次发球成功的概率为 p(p0)，发球次数为 X，若 X 的数学期望 E(X)175，则 p 的取值范围是( )A0， B ，1 C0， D，1712 712 12 12答案 C解析 由已知条件可得 P(X1) p， P(X2)(1 p)p， P(X3)(1 p)2p(1 p)3(1 p)2，则 E(X) P(X1)2 P(X2)3 P(X3) p2(1 p)p3(1 p)2 p23 p3175，解得 p 或 pD( 2)CE( 1)E( 2)，D( 1)E( 2)，D( 1)D( 2)答案
6、A解析 由题意可知 i(i1，2)服从两点分布，E( 1)p 1，E( 2)p 2，D( 1)p 1(1p 1)，D( 2)p 2(1p 2)又0 1P(Y 2)P(X 1)，故 B 错误；对任意正数 t，由题中图象知 P(Xt)P(Yt)，故 C 正确， D 错误13(2017全国卷)一批产品的二等品率为 002，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_答案 196解析 由题意得 XB(100，002)，D(X)100002(1002)196三、模拟小题14(2018长春质监)已知随机变量 服从正态分布 N(1， 2)，若 P(2)015
7、，则 P(01)( )A085 B070 C035 D015答案 C解析 P(01)P(12)05P(2)035故选 C15(2018山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 X，且XN(800，50 2)则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为( )(参考数据：若 XN(， 2)，有 P(900) 00228，1 0.95442P(X900)10022809772故选 A16(2018西安质检)已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则 E()( )A3 B C D472 185答案 C解析 由题意知 的可能取值为 2
8、，3，4，P(2) ，P(3) 25 14 110 25 346 ，35 24 13 15P(4)1P(2)P(3)1 ，E()110 15 7102 3 4 故选 C110 15 710 18517(2018广东茂名一模)设 XN(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若 XN(， 2)，则 P(0)08，则P(X2)_答案 02解析 随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2)，正态曲线关于直线 x1 对称，P(x2)P(X0)1P(X0)02一、高考大题1(2018北京高考)电影公司随机收集
9、了电影的有关数据，经分类整理得到下表：7电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 04 02 015 025 02 01好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“ k1”表示第 k 类电影得到人们喜欢， “ k0”表示第 k 类电影没有得
10、到人们喜欢(k1，2，3，4，5，6)写出方差 D( 1)，D( 2)，D( 3)，D( 4)，D( 5)，D( 6)的大小关系解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102000，第四类电影中获得好评的电影部数是 20002550故所求概率是 0025502000(2)设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评” ，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 P(A B)P(A )P( B)B A B AP(A)(1P(B)(1P(A)P(B)由题意知，P(A)估计为 025，P(B)估计为 02故所求概率估计为 025080
11、7502035(3)由两点分布方差公式可知 D( k)p(1p)所以 D( 1)04(104)024，D( 2)02(102)016，D( 3)015(1015)01275，D( 4)025(1025)01875，D( 5)02(102)016，D( 6)01(101)009所以 D( 1)D( 4)D( 2)D( 5)D( 3)D( 6)2(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位： cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(， 2)(1)假设生产状态正常，记 X 表示
12、一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求 P(X1)及 X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这8条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：995 1012 996 996 1001 992 998 10041026 991 1013 1002 922 1004 1005 995经计算得 i997，s 0212，其中x11616i 1x 11616i 1xi x2 11616i 1x2i 16x2xi为抽取的第 i
13、 个零件的尺寸，i1，2，16用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值x 判断是否需对当天的生产过程进行检查剔除( 3 ， 3 )之外的数据，用剩下的 数据估计 和 (精确到 001)附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(， 2)，则 P(3141)P(12727) 1P(2x 1)1 表示 xx1的概率， 用来将非标准正态分布化x1 x1 为标准正态分布，即 XN(0，1)，从而利用标准正态分布表中 (x 0)，求 xx1时的概率13P(xx1)，这里 x0 相应于 x0的值 (x 0)是指总体取值小于 x0的概率，即 (x 0)x1 P(xx1)1x1 01 046，x1 10319.3即 054，x1 10319.3由 (07054)054，得07054x 1117，x1 10319.3故本次考试成绩达到升一本分数要求的理科数学成绩约为 117 分P(x107)1 1(02073)10583204168，107 10319.3故理科数学成绩为 107 分的学生大约排在 10000041684168(名)
