1、考研数学一（一元函数微分学）-试卷 6 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(0)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件3.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）A.2B.C.D.4.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)si
2、n2x在区间(一 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.05.曲线 y=(x 一 1) 2 (x 一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.37.极限 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 0D.等于 28.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0，f“(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时，恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b)C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)9.
3、设常数 k0，函数 f(x)=lnx 一 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.010.设 f(x)在(1，1+)内存在导数，f“(x)严格单调减少，且 f(1)=f“(1)=1，则( )（分数：2.00）A.在(1，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB.在(1，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)xD.在(1，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x11.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f“(a)0B.f(x)取得极大值C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在12.设 f(x)具有二阶连续导
4、数，且 f“(1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值C.(1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标13.可导函数 f(x)，对任意的 x，y 恒有 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f“(0)=1，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.x+cosxB.shxC.e x D.1 一 e x 14.设 f(x)在a，b可导，f(a)= （分数：2.00）A.f“ + (0)=0B.f“ + (a)0C.f“ + (a)0D.f“ + (a)0二、填空题(总题数
5、：9，分数：18.00)15.对数螺线 =e 在点(，)=( （分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_18.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_19.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_20.曲线 y=ln x 与盲线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项
6、 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：(1)存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；(2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f“(n)f“()=1（分数：2.00）_26.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：2.00）_27.(1)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(
7、x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)=f“()(ba) (2)证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且（分数：2.00）_28.求函数 f(x)= （分数：2.00）_29.求方程 karctanx 一 x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数（分数：2.00）_30.证明 （分数：2.00）_31.设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：(1)存在 (0，1)，使得 f“()=1(2)存在 (一 1，1)，使得 f“()+f“()=1（分数：2.00）_32.设函数 f(x)在(0，+)上
8、二阶可导，且 f“(x)0，记 u n =f(n)，n=1，2，又 u 1 u 2 ，证明 （分数：2.00）_33.设 a 为常数，讨论方程 e x =ax 2 的实根个数（分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）-试卷 6 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(0)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要
9、条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件解析：解析：因 (x)在 x=a 不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，需用定义求，F“(a)题设(x)以 x=a 为跳跃间断点，则存在 ，A + A 当 g(a)=0 时， 下面证明若 F“(a)存在，则 g(a)=0 反证法，若 g(a)0，(x)= 3.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）A.2B.C.D. 解析：解析：因为函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量y= =0，故由微分定义可知 dy= 此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得 ，两边积分，得 lny=arctanx+C 1
10、 ，即 y=Ce arctanx ，由 y(0)= 得 C=，于是 y(x)= arctanx 因此 y(1)=e arctanl = 4.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)sin2x在区间(一 （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：设 g(x)=x 2 +x 一 2，(x)=sin2x，显然 g(x)处处可导，(x)处处连续，有不可导点只须考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零 (x)=sin2x的图形如图 24 所示，在 ，其余均可导 因为 g(0)=一 20，g( )0，g(1)=0，所以 f(x)=g(x)(x)在 x=0， 5.曲线 y=(x 一 1) 2
11、(x 一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：对于曲线 y，有 y“=2(x 一 1)(x 一 3) 2 +2(x 一 1) 2 (x 一 3) =4(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)， y“=4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2) =8(x 一 1)(2x 一 5)， 令 y“=0，得 x 1 =1，x 2 = 又由 y“=8(2x 一 5)+16(x 一 1)，可得 y“(1)=一 240，y“( 6.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00
12、）A.0B.1C.2 D.3解析：解析： 7.极限 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 0 D.等于 2解析：解析：由于 0xyln(x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 )ln(x 2 +y 2 )(当 x 2 +y 2 1 时) 令 x 2 +y 2 =r，则 8.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0，f“(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时，恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b) C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)解析：解析： 令 g(x)=xf“(x)f(x)， 则 g(0)=0，g“(x
13、)=xf“(x)0(x0)， 因此 g(x)g(0)=0(x0)，9.设常数 k0，函数 f(x)=lnx 一 （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：因 f“(x)= ，令 f“(x)=0 得唯一驻点 x=e，且在 f(x)的定义域内无 f“(x)不存在的点，故 f(x)在区间(0，e)与(e，+)内都具有单调性又 f(e)=k0，而10.设 f(x)在(1，1+)内存在导数，f“(x)严格单调减少，且 f(1)=f“(1)=1，则( )（分数：2.00）A.在(1，1)和(1，1+)内均有 f(x)x B.在(1，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1，1)有 f(
14、x)x，在(1，1+)内均有 f(x)xD.在(1，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x解析：解析：f“(x)在(1 一 ，1+)严格单调减少，则 f(x)在(1 一 ，1+)是凸的，因此在此区间上，y=f(x)在点(1，1)处的切线 y 一 1=f“(1)(x 一 1)，即 y=x 在此曲线的上方(除切点外)因此 f(x)x(x(1 一 ，1+)，x1)11.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f“(a)0B.f(x)取得极大值 C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在解析：解析：利用赋值法求解取 f(x)一 f(a)=一(x 一 a) 2 ，显然满足题设
15、条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B12.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值 C.(1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标解析：解析：选取特殊函数 f(x)，其满足，f“(x)= 13.可导函数 f(x)，对任意的 x，y 恒有 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f“(0)=1，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.x+cosxB.shxC.e x D.1 一
16、e x 解析：解析：在等式 f(x+y)=f(x)f(y)两端对 y 求导，得 f“(x+y)=f(x)f“(y)，令 y=0 得，f“(x)=f(x)由此可得 f(x)=Ce x 由 f“(0)=1 知，C=1，即 f(x)=e x 14.设 f(x)在a，b可导，f(a)= （分数：2.00）A.f“ + (0)=0B.f“ + (a)0C.f“ + (a)0D.f“ + (a)0 解析：解析：考查 f“ + (a)= 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)15.对数螺线 =e 在点(，)=( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+y=*）解析：解析：16.曲线
17、y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设所求斜渐近线方程为 y=ax+b因为17.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：对 f(x)求导，令 f“(x)= .2x=0，得 x=0 而且，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=018.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 x+*）解析：解析：19.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+25y：0 与
18、x+y=0）解析：解析：显然原点(0，0)不在曲线上，首先需求出切点坐标20.曲线 y=ln x 与盲线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x 一 1）解析：解析：由题干可知，所求切线的斜率为 1 由 y“=(lnx)“=21.曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 一 2) 2 +(y 一 2) 2 =2）解析：解析：由题干可知， 22.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.设 y=y(x)由参数方程 （分数：2
19、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知三、解答题(总题数：10，分数：20.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：(1)存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；(2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f“(n)f“()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)=f(x)一 1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一 10，F(1)=10，于是由介值定理知，存在 (0，1)，使得 F(
20、)=0，即 f()=1 一 (2)在0，和，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 (0，)，(，1)，使得)解析：26.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F(a)=F(b)=0又 f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在 x 1 x 2 ，x 1 ，x 2 (a，b)使得 f(x 1 )=M= ， 若 x 1 =x
21、2 ，令 c=x 1 ，则 F(c)=0 若 x 1 x 2 ，因 F(x 1 )=f(x 1 )一 g(x 1 )0，F(x 2 )=f(x 2 )一 g(x 2 )0， 从而存在 Cx 1 ，x 2 (a，b)，使 F(c)=0 在区间a，c，c，b上分别利用罗尔定理知，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 F“( 1 )=F“( 2 )=0， 再对 F“(x)在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理，知存在 ( 1 ， 3 ) )解析：27.(1)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)=f“()(ba) (2
22、)证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)作辅助函数 (x)=f(x)一 f(a)一 (x 一 a)，易验证 (x)满足： (a)=(b)；(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点 ，使 “()=0，即 所以 f(b)f(a)=f“()(b 一 a) (2)任取 x 0 (0，)，则函数 f(x)满足在闭区间0，x 0 上连续，开区间(0，x 0 )内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 (0，)，使得 )解析：28.求函数 f(x)= （分数：2.00）_
23、正确答案：(正确答案： 因此，f(x)的单调增加区间为(一 1，0)及(1，+)，单调减少区间为(一，一 1)及(0，1)；极小值 f(1)=f(一 1)=0，极大值为 f(0)= )解析：29.求方程 karctanx 一 x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=k arctanx 一 x，则 f(0)=0，且 当 k1 时，f“(x)0，f(x)在(一，+)单调递减，故此时 f(x)的图像与 x 轴只有一，一交点，也即方程 k arctanx 一 x=0 只有一个实根 当 k=1 时，在(一，0)和(0，+)上都有 f“(x)0，所以
24、 f(x)在(一，0)和(0，+是严格的单调递减，又 f(0)=0，故 f(x)的图像在(一，0)和(0，+)与 x 轴均无交点 )解析：30.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：(1)存在 (0，1)，使得 f“()=1(2)存在 (一 1，1)，使得 f“()+f“()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)=f(x)一 x，F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一 1=0， 由罗尔定理知，存在(0，1)使得 F“()=0，即 f“()=1 (2)令 G(x)=e
25、x f“(x)一 1，由(1)知，存在 (0，1)，使G()=0，又因为 f(x)为奇函数，故 f“(x)为偶函数，知 G(一 )=0，则存在 (一 ，) )解析：32.设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f“(x)0，记 u n =f(n)，n=1，2，又 u 1 u 2 ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 f(x)分别在区间k，k+1(k=1，2，n，)，上使用拉格朗日中值定理 u 1 一 u 2 =f(2)一 f(1)=f“()0，1 1 2， u n1 一 u n2 =f(n 一 1)一 f(n 一 2)=f“( n2 )，n 一 2 n2 n 一 1，
26、u n 一 u n1 =f(n)f(n 一 1)=f“( n1 )，n 一 1 n1 n 因 f“(x)0，故 f“(x)严格单调增加，即有 f“( n1 )f“( n2 )f“( 2 )f“( 1 )=u 3 一 u 1 ， 则 u n =(u n 一 u n1 )+(u n1 u n2 )+(u 2 一 u 1 )+u 1 =f“( n1 )+f“( n2 )+f“( 1 )+u 1 f“( 1 )+f“( 1 )+f“( 1 )+u 1 =(n 一 1)(u 2 一 u 1 )+u 1 ， 于是有 )解析：33.设 a 为常数，讨论方程 e x =ax 2 的实根个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a0 时，显然无实根显然，由题意知 x=0 不是原方程的根，以下讨论当a0 时的情形，设 当 x0 时，f“(x)0；当 0x2 时，f“(x)0；当 x2 时，f“(x)0 且所以当 a0 时，f(x)在区间(一，0)上有唯一实零点 又在区间(0，+)上， )解析：
