1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 227 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.无间断点B.有间断点 x=1C.有间断点 x=一 1D.有间断点 x=03.设函数 f(x)在x 内有定义且f(x)x 2 ，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f (0)=0D.可微但 f (0)04.设 f(x)二阶连续可导，f (0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x
2、)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点5.设 f(x)= F(x)= 0 x f(t)dt(x0，2)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f 二阶可导，且 z= （分数：2.00）填空项 1:_9.曲面 z=1 一 x 2 一 y 2 上与平面 x+yz+3=0 平行的切平面为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.级数 （分数
3、：2.00）填空项 1:_11.设 y 一 3y +ay=一 5e x 的特解形式为 Axe x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设当 x0 时，f(x)= 0 x2 ln(1+t)dfg(x)=x a (e bx 一 1)，求 a，b 的值（分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.证明曲线 （分数：2.00）_16.设 PQ 为抛物线 y= （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.求 1 1 (2+si
4、nx) （分数：2.00）_20.求直线 L： （分数：2.00）_21.(1)求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值 (2)求函数 f(x，y)=(x 2 +2x+y)e y 的极值（分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.设 f(x)= S 0 = 0 2 f(x)e x dx，S 1 = 2 4 f(x2)e x dx，S n = 2n 2n2 f(x2n)e x dx，求 （分数：2.00）_若正项级数 （分数：4.00）(1).； （分数：2.00）_(2). （分数：2.0
5、0）_26.(1)验证 y=x+ 满足微分方程(1 一 x)y +y=1+x； (2)求级数 y=x+ （分数：2.00）_27.求 y 一 2y 一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=1 的特解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 227 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.无间断点B.有间断点 x=1 C.有间断点 x=一 1D.有间断点 x=0解析：解析：当x1 时，f
6、(x)=1+x；当x1 时，f(x)=0；当 x=一 1 时，f(x)=0；当 x=1 时，f(x)=1，于是 f(x)=3.设函数 f(x)在x 内有定义且f(x)x 2 ，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f (0)=0 D.可微但 f (0)0解析：解析：显然 f(0)=0，且 =0，所以 f(x)在 x=0 处连续 又由f(x)x 2 得 0 x，根据夹逼定理得 4.设 f(x)二阶连续可导，f (0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点 B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐
7、点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：因为 =一 10，所以由极限保号性，存在 0，当 0x 时， 0， 注意到 x 3 =(x)，所以当 0x 时，f (x)0， 从而 f (x)在(一 ，)内单调递减， 再由 f (0)=0 得 5.设 f(x)= F(x)= 0 x f(t)dt(x0，2)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 0x1 时，F(x)= 0 x t 2 dt= ；当 1x2 时，F(x)= 0 x f(t)dt= 0 1 t 2 dt+ 1 x (2t)dt= 二、填空题(总题数：6，分数：12.
8、00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*C）解析：解析：8.设 f 二阶可导，且 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9.曲面 z=1 一 x 2 一 y 2 上与平面 x+yz+3=0 平行的切平面为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+2y 一 2z+3=0）解析：解析：设切点坐标为(x 0 ，y 0 ，1 一 x 0 2 y 0 2 )，则 n=2x 0 ，2y 0 ，11，1，一 1，
9、解得切点坐标为 ，切平面方程为 ： 10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2)；S(x)= ）解析：解析：由 ，得收敛半径为 R=2，当 x=一 2 时级数收敛，当 x=2 时级数发散，故级数 的收敛域为一 2，2)，令 S(x)= ，则 S(x)=11.设 y 一 3y +ay=一 5e x 的特解形式为 Axe x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 4x +xe x ）解析：解析：因为方程有特解 Axe x ，所以一 1 为特征值，即(一 1) 2 一 3(一 1)+a=0 a=4，所
10、以特征方程为 2 一 3 一 4=0 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设当 x0 时，f(x)= 0 x2 ln(1+t)dfg(x)=x a (e bx 一 1)，求 a，b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0x1 时，0 ln n (1+x)x n ， 积分得 ， 由夹逼定理得 )解析：15.证明曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边关于 x 求导得 ， 切线方程为 Yy=一 (Xx)， 令 Y=0 得X=x ， 则
11、X+Y=x+ )解析：16.设 PQ 为抛物线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 关于 y 轴对称，不妨设 a0 y (a)= ，过 P 点的法线方程为y 一 (xa)， 设 Q(b， )，因为 Q 在法线上，所以 PQ 的长度的平方为 L(a)=(b 一a) 2 ， 由 L (a)= 为唯一驻点，从而为最小点， 故 PQ 的最小距离为 )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 1 1 (2+sinx) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求直
12、线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过直线 L 的平面束为 L ：xy+z2+(x+yz)=0， 即 L ：(+1)x+(1)y+(1)z2=0， 由+1，1，11，一 1，一 1=0 得 =一 1， 投影直线为 L 0 ： )解析：21.(1)求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值 (2)求函数 f(x，y)=(x 2 +2x+y)e y 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)y0， 因为 ACB 2 0且 A0，所以 为 f(x，y)的极小值点，极小值为 (2) )解析：22.计算
13、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)1x2， yx，D 2 =(x，y)2x4， y2， D 1 +D 2 =D=(x，y)1y2，yxy 2 ， )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面在 xOy 平面上的投影区域为 D：x 2 y 2 1，z x =2x，z y =2y，则 )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由两类曲面积分之间的关系得 (x 3 cos+y 3 cos+z 2 cos)dS= x 3 dydz+y 3 dzdx+z 3 dxdy， 而 x 3 dydz+y 3 dzdx+z 3 dxdy=
14、 (x 2 +y 2 +z 2 )d =3 0 2 d 0 d 0 R r 4 sindr= 所以 (x 3 cosx+y 3 cos+z 3 cos)dS= )解析：25.设 f(x)= S 0 = 0 2 f(x)e x dx，S 1 = 2 4 f(x2)e x dx，S n = 2n 2n2 f(x2n)e x dx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 0 = 0 2 f(x)e x dx= 0 1 xe x dx+ 1 2 (2 一 x)e x dx=(1 一 ) 2 ， 令 t=x 一 2，则 S 1 =e 2 0 2 f(t)e t dt=e 2 S 0 ， 令 t
15、=x 一 2n 则 S n =e 2n 0 2 f(t)e t dt=e 2n S 0 ， S= )解析：若正项级数 （分数：4.00）(1).； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 )解析：26.(1)验证 y=x+ 满足微分方程(1 一 x)y +y=1+x； (2)求级数 y=x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然级数 y=x+ 的收敛域为一 1，1 即级数 y=x+ 满足微分方程(1 一 x)y +y=1+x(一 1x1) (2)由(1 一 x)y +y=1+x 得 ，解得 ln(
16、1 一 x)+C，或 y=2+(1 一 x)ln(1 一 x)+C(1 一 x)，由 y(0)=0 得 C=一 2，故 y=2x+(1 一 x)ln(1x)(一1x1) )解析：27.求 y 一 2y 一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化为 y 一 2y =e 2x ，特征方程为 2 一 2=0，特征值为 1 =0， 2 =2，y 一 2y =0 的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x ，设方程 y 一 2y =e 2x 的特解为 y 0 =Axe 2x ，代入原方程得 A= ，从而原方程的通解为 y=C 1 +(C 2 + )e 2x 由 y(0)=1，y (0)=1得 ， 故所求的特解为 y= )解析：
