1、考研数学二（二重积分）-试卷 8 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：8.00)1.设 D 是 Oxy 平面上以 A(1，1)，B(1，1)和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_2.设 D 为 y=x 3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_3.设 D：0x1，0y1，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_4.设 D 为圆域 x 2 +y 2 x，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：22，分数：44.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明
2、过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.设 D 是由曲线 =1(a0，b0)与 x 轴，y 轴围成的区域，求 I= （分数：2.00）_7.计算二重积分 I= （分数：2.00）_8.求 I= （分数：2.00）_9.求 I= （分数：2.00）_10.求 I= （分数：2.00）_11.比较下列积分值的大小： () I 1 = , 其中 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，则 I 1 ，I 2 ，I 3 之间的大小顺序为 (A)I 1 I 2 I 3 (B)I 3 I 2 I 1 (C)I 1 I 3 I 2 (D)I 3 I 1 I 2 () J i = （分数：2.00
3、）_12.将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：（分数：2.00）_13.将 （分数：2.00）_14.计算 （分数：2.00）_15.计算下列二重积分： () xyd,其中 D 是由曲线 r=sin2(0 )围成的区域； () xyd，其中 D 是由曲线 y= （分数：2.00）_16.设函数 f(x)在区间a，b上连续，且恒大于零，证明： （分数：2.00）_17.设 f(x)在区间0，1上连续，证明： 0 1 f(x)dx x 1 f(y)dy= （分数：2.00）_18.计算 I= （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_2
4、0.计算 （分数：2.00）_21.设 D=(x，y)x 2 +y 2 2x+2y，求 I= （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.设 f(u)可导，f(0)=0， （分数：2.00）_考研数学二（二重积分）-试卷 8 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：8.00)1.设 D 是 Oxy 平面上以 A(1，1)，B(1，1)和 C(1，1)为顶点的三角形区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：连 将区域
5、D 分成 D 1 (三角形 OAB)，D 2 (三角形 OBC)两个部分(见图 82)，它们分别关于 y 轴与 x 轴对称由于 对 x 与 y 均为奇函数，因此 又由于 D 的面积= =2，所以 2.设 D 为 y=x 3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：D 如图 81 所示添加辅助线 y=x 3 (x0)，将 D 分解成 D=D 1 D 2 ，其中 D 1 关于y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数= 3.设 D：0x1，0y1，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
6、答案：正确答案：*）解析：解析：D 关于直线 y=x 对称= 与原式相加=4.设 D 为圆域 x 2 +y 2 x，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 如图 83用极坐标变换，D 的极坐标表示：二、解答题(总题数：22，分数：44.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.设 D 是由曲线 =1(a0，b0)与 x 轴，y 轴围成的区域，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先对 x 积分区域 D 如图 86 所示 )解析：7.计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
7、：D 的图形如图 814 所示，虽然 D 的边界不是圆弧，但被积函数是 r= ，选用极坐标变换方便在极坐标变换下，D 的边界方程是 ，从而 )解析：8.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 的原函数不是初等函数，故 积不出来，因此选先 x 后 y 的顺序积分区域 D 如图 816，于是 )解析：9.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在积分区域 D 上被积函数分块表示为 因此要将 D 分块，用分块积分法又D 关于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数，记 D 1 =(x，y)(x，y)D，x0，yx 2 ，D 2 =(x，y)(x，y)D，x0，yx 2 ，
8、)解析：10.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域：(x1) 2 +(y1) 2 1，见图 819作平移变换 u=x1，v=y1，则 I= =0+=， 其中 D=(u，v)u 2 +v 2 1 )解析：11.比较下列积分值的大小： () I 1 = , 其中 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，则 I 1 ，I 2 ，I 3 之间的大小顺序为 (A)I 1 I 2 I 3 (B)I 3 I 2 I 1 (C)I 1 I 3 I 2 (D)I 3 I 1 I 2 () J i = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题()中，积分区域相同，被积函
9、数连续，可通过比较被积函数来判断；题()中被积函数相同，连续且是正的，可通过比较积分区域来判断积分值的大小 ()在区域 D 上， x+y1当 t1 时， lntsintt，从而有(x，y)D 时， 则 因此选(C) ()D 1 ，D 2 是以原点为圆心，半径分别为 R， 的圆，D 3 是正方形，显然有 )解析：12.将极坐标变换后的二重积分 f(rcos，rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r=2acos 是圆周 x 2 +y 2 =2ax，即(xa) 2 +y 2 =a 2 ，因此 D 的图形如图821 所示为了先 后 r 的积分顺序，将
10、 D 分成两块，如图 821 虚线所示，D=D 1 D 2 ， )解析：13.将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 的极坐标表示： ，0rsin，即 ，r 2 rsin，即 x 2 +y 2 y，x0，则 D 为左半圆域：x 2 +y 2 y，x0，即 x 2 + ，x0 先对 y 后对 x 积分，D： ，于是 原式= )解析：14.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于圆的方程为：(xa) 2 +(ya) 2 =a 2 ，区域 D 的边界所涉及的圆弧为y=a ，所以 )解析：15.计算下列二重积分： () xyd,其中 D 是由曲线 r=sin2(0 )围成的区域；
11、 () xyd，其中 D 是由曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分域 D 见图 825D 的极坐标表示是：0 ，0rsin2，于是 ()选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为 r=1 与 r=2sin，交点的极坐标为(1，)(见图 826)，于是积分域 D 的极坐标表示为 D=(r，) ，1r2sin，则 )解析：16.设函数 f(x)在区间a，b上连续，且恒大于零，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用积分变量的改变，可得 其中 D=(x，y)axb，ayb并且利用对称性(D 关于 y=x 对称)，可得 )解析：17.设 f(x)在区间0，1上连续
12、，证明： 0 1 f(x)dx x 1 f(y)dy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将累次积分表示成二重积分，则有 I= 0 1 f(x)dx x 1 f(y)dy= f(x)f(y)dxdy， 其中 D=(x，y)0x1，xy1，如图 828，它与 D=(x，y)0x1，0yx关于 y=x 对称于是 I= f(x)f(y)dxdy， 2I= = 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy = 0 1 f(x)dx 0 1 f(y)dy= 0 1 f(x)dx 2 ， 因此，I= 0 1 f(x)dx 2 )解析：18.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D
13、如图 85 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数 其中 D 1 =Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序 )解析：19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(分块积分法) D 如图 86-(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将 D 分成 D=D 1 D 2 ，以 yx= 为分界线(如图 86-(b) 在 D 1 上，yx2；在 D 2 上，0yx，则 在 D 2 上边界分段表示(如图 86-(c)，也要分块积分 )解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：极坐标变换 x=rcos，y=rsinD：0 于是 )解析：21.设 D=(x，y)x 2 +
14、y 2 2x+2y，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域：(x1) 2 +(y1) 2 2，也考虑到被积函数的情形，先作平移变换 u=x1v=y1 则 I= (2+u+2v+v 2 )dudv， 其中 D：u 2 +v 2 2于是由 D 的对称性及被积函数的奇偶性得 利用直角坐标系中的公式 其中 D 1 = 是 D 的第一象限部分 )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 811 所示 )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 813 所示当 x0，t 2 时， t(t0)，于是 )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 815 所示 )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：表成 D 的二重积分，确定 D，再交换积分次序 D 如图 817 )解析：26.设 f(u)可导，f(0)=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t0化二重积分为定积分作极坐标变换 )解析：
