1、2014届北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，所以此函数定义域为 ，故 C正确。 考点：函数的定义域。 已知数列 满足 下面说法正确的是（ ） 当 时，数列 为递减数列； 当 时，数列 不一定有最大项； 当 时，数列 为递减数列； 当 为正整数时，数列 必有两项相等的最大项 . A B C D 答案： C 试题分析： ，因为 ，所以当 时， ，即；当 时， ，即 。 当 时， ， ， ，故数列 不是递减数列。故 不正确。 当 时， ，所以数列 先减后增，有最大值，故 不正确。 当 时， ，所以数列
2、 是递减数列，故 正确。 当 为正整数时，令 ，所以 。 时， ,数列 从第二项起递减，所以此时数列 有两项相等的最大值； 时，数列从第一项到第 项递增，从第 项起递减。，所以 ，所以 ，所以此时数列 有两项相等的最大值，故 正确。 考点：数列的增减性，作商法比较大小。 已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 的最小值为（ ） A B C D 1 答案： A 试题分析： ，所以 。，故 A正确。 考点： 1.平面向量的数量积运算； 2.模长公式； 3.基本不等式 已知正方形的四个顶点分别为 ， ， ， ，点 分别在线段 上运动，且 ，设 与 交于点 ，则点 的轨迹方程是（ ） A B C D
3、答案： A 试题分析：设 ，所以线段 AD方程为，线段 OE方程为 ，联立方程组（ 为参数）消去参数 得点 的轨迹方程为，故 A正确。 考点： 1 直线方程的求法； 2 直接法求轨迹方程； 3 参数方程和普通方程的互化。 执行如图所示的程序框图，输出结果是 若 ，则 所有可能的取值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据框图的循环结构，当 时，依次 ； ；，跳出循环，输出 ，符合题意。当 时，依次 ； ；，跳出循环，输出 ，不符合题意。当 时，依次 ； ；，跳出循环，输出 ，不符合题意。所以 取值为 1.故 B正确。 考点：算法、程序框图。 在 中， ， ， ，则 的面积等于（ ）
4、 A B C 或 D 或 答案： D 试题分析：由余弦定理 ，代入各值整理可得,解得 ,三角形面积 ,所以面积为 或 考点： 1.余弦定理； 2.三角形的面积公式。 命题 ： ；命题 ： ， ，则下列命题中为真命题的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以命题 是真命题；，所以，所以命题 是假命题。 真假判断法则为 “一假必假 ”， 真假的判断法则 “有真则真 ”，或根据真值表可知 B正确 . 考点： 1.一元二次不等式恒成立问题； 2.三角函数化一公式； 3.三角函数的值域；4.复合命题真假判断 . 如果点 在以点 为焦点的抛物线 上，则 （ ） A B C D 答案：
5、C 试题分析：根据抛物线的定义点 P到点 F的距离等于点 P到其准线 的距离 ，故 C正确 . 考点：抛物线的概念、准线。 填空题 所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数 如： ； ； 已经证明：若 是质数，则 是完全数， .请写出一个四位完全数 ；又 ，所以 的所有正约数之和可表示为 ； ，所以 的所有正约数之和可表示为 ； 按此规律， 的所有正约数之和可表示为 答案： ; 试题分析：（ 1）由若 是质数，则 是完全数可知， 是质数，所以 是完全数。（ 2）因为 ，所以 的所有正约数之和可表示为 考点：合情推理。 实数 满足 若 恒成立，则实数 的最大值是 答案：
6、试题分析：由线性约束条件画出可行域如图， 直线 过定点 B 。当 时， 表示的是直线右上方的区域，当 时，可行域内的点恒满足 。当 时， 表示的是直线 左上方的区域要使恒成立，所以 . 此时 。综上可得 ，所以实数 的最大值是 。 考点： 1.线性规划； 2.恒成立问题，数形结合。 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 答案： , 试题分析：三棱锥底面三角形边长为 6的边上的高为 ，所以底面面积为，三棱锥的高为 所以三棱锥的体积为，底面三角形另两个边相等都为 ，所以底面三角形为正三角形。由侧视图可知顶点在底面的射影是底面的中心，所以此三棱锥是正三棱锥，三个侧面全等。正对着
7、的侧面三角形底边上的高为，其面积为 ，所以三个侧面积的和为 ，所以表面积为三个侧面积和一个底面积的和为 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的表面积、体积的计算 . 直线 与圆 相交于 , 两点，若 ，则实数 的值是 _ 答案： 试题分析：由圆的方程可知圆心 ，半径 ，圆心 B到直线 的距离为 ，根据圆心和弦 OA中点的连线垂直平分弦可得 ，解得 。 考点： 1.直线和圆的位置关系； 2.点到线的距离公式； 3.勾股定理。 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，因为数列 是等比数列，所以 考点： 1.对数的运算； 2.等比数列的性质。 某校为了解高一
8、学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了 100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这 100名学生中阅读时间在 小时内的人数为 _ 答案： 试题分析：频率分布直方图中每个小矩形的面积就是每个区间的频率，再根据计算。所以这 100名学生中阅读时间在 小时内的人数为考点：频率分布直方图。 解答题 已知函数 （ ）求函数 的最小值； （ ）若 ，求 的值 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）将 用同角三角函数关系式转化为 ，此函数及转化为关于 的二次函数，将三角函数最值问题转化为二次函数配方法求最值问题。根据正弦函数范围为 ，即可求出 的最小值。（ ）当时，可计算求得 或
9、，因为 ，所以舍掉，将 代入余弦二倍角公式 ，即可求得 的值。 试题：解：（ ）因为 ， 又 ，所以当 时，函数 的最小值为 . 6 分 （ ）由（ ）得 ， 所以 于是 （舍）或 又 13分 考点： 1三角函数同角三角函数关系式，二倍角公式； 2正弦函数值域； 3二次函数最值问题。 甲、乙两名同学参加 “汉字听写大赛 ”选拔测试，在相同测试条件下，两人 5次测试的成绩（单位：分）如下表： （ ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图 . 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （ ）若从甲、乙两人 5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩 中， 90分以上的个数为 ，求随机变量
10、的分布列和期望 答案：（ ）选派乙参赛更好（ ） 试题分析：（ ）茎表示得分的十位数，放在中间的列，叶表示得分的个位数，放在两侧。从茎叶图可观察出甲的得分比较分散，乙得分比较集中即波动小、相对稳定，所以应选派乙参赛更好。（ ）本题容易将基本事件总数记为 ，应注意审题，要求是从两人 5次的成绩中各随机抽取一个成绩，强调一个 “各 ”字，所以基本事件总数为 。抽到的两个成绩中 90分以上的事件包含的基本事件总数也应各自抽取，然后根据古典概型概率公式求其概率。根据各自概率绘制 随机变量 的分布列，再根据期望公式 求期望。 试题： 解：（ ）茎叶图如上图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且
11、乙的方差小于甲的方差，因此应 6分 （ ）随机变量 的所有可能取值为 ， ， ， 随机变量 的分布列是： 13分 考点： 1.茎叶图； 2.离散型随机变量及其分布列 如图，在三棱锥 中， 平面 ， . （ ）求证： ； （ ）设 分别为 的中点，点 为 内一点，且满足， 求证： 面 ； （ ）若 ， ，求二面角 的余弦值 答案：（ ）详见；（ ）详见；（ ） 试题分析：（ ）因为 AC和 PB是异面直线，所以可以采用线面垂直得线线垂直的方法证 ，即先 平面 。要证 平面 需证面内的两条相交线 PA和 AB都和 AC垂直。 为已知条件证 PA和 AC垂直依据是线面垂直得线线垂直。（ ）（法一空间
12、向量法）由题意可以点 A为坐标原点，以 AC,AB,AP 所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系。分别设出 AB,AC,AP的三边长，故可得点 A,点 B点 C点 P的坐标，因为点 D为 PA中点，即可得到点 D的坐标，根据 得到点 G的坐标，即可求出 坐标和平面 PBC的一个法向量 的坐标，用向量数量积公式可求得 ，即 ，因为 平面 ，所以 平面 （法二一般方法）由 可知， G为三角形重心。设 AB中点为 E，所以 G在 OE上，根据中位线可得 ，连结 并延长交 于 ，连 。因为 ，且 E为 AB中点，所以 G为 AF中点，所以 ，内线外线平行所以得线面平行。问题得证。（ ）
13、采用空间向量法，由（ ）可知是面 PAB的一个法向量。先求两个法向量所成的角。两个法向量所成的角与二面角相等或互补。由观察可知此二面角为锐二面角，所以余弦值为正值。 试题：证明：（ ）因 为 平面 ， 平面 ， 所以 又因为 ，且 ， 所以 平面 又因为 平面 ， 所以 4分 （ ） 解法 1:因为 平面 ，所以 ， 又因为 ， 所以建立如图所示的空间直角坐标系 设 ， ， ， 则 ， ， ， ， 又因为 ， 所以 于是 ， ， 设平面 的一个法向量 ，则有 即 不妨设 相关试题 2014届北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷（带） 已知函数 ， （ ）当 时，求函数 的极小值； （ ）
14、若函数 在 上为增函数，求 的取值范围 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）先求导数，及其零点，判断导数符号变化，即可得原函数增减变化，可得其极值。（ ）函数 在 是增函数，转化为 ，对 恒成立问题。即 的最小值大于等于 0.将问题最终转化为求的最小值问题。仍用导数求单调性，用单调性求最值的方法求 的最小值。所以需设函数 ，对函数 重新求导，求极值。判断导数符号变化，得 的增减区间，的最小值。 试题：解：（ ）定义域 当 时， ， 令 ，得 当 时， ， 为减函数； 当 时， ， 为增函数 . 所以函数 的极小值是 5分 （ ）由已知得 因为函数 在 是增函数，所以 ，对 恒成立 由 得
15、，即 对 恒成立 设 ，要使 “ 对 恒成立 ”，只要 因为 ，令 得 当 时， ， 为减函数； 当 时， ， 为增函数 . 所以 在 上的最小值是 故函数 在 是增函数时，实数 的取值范围是 13分 考点： 1函数的概念和性质； 2导数和利用导数研究函数性质。 已知椭圆 两焦点坐标分别为 , ，且经过点 （ ）求椭圆 的标准方程； （ ）已知点 ，直线 与椭圆 交于两点 若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线 的方程 答案：（ ） （ ） 或 或 . 试题分析：（ ）由椭圆的定义可求得 和 ，再根据 ，可求得 。即可求出椭圆方程。（ ）由点斜式设出直线方程，然后联立，消掉 （或 ）得
16、到关于 的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于 0，再根据韦达定理得出根与系数的关系。根据题意可知 且 。用这两个条件可列出两个方程。如用直线垂直来解需讨论斜率存在与否，为了省去讨论可转化为向量垂直问题用数量积公式求解， 注意讨论根的取舍。 试题：解：（ ）设椭圆标准方程为 依题意 ，所以 又 ，所以 于是椭圆 的标准方程为 5分 （ ）依题意，显然直线 斜率存在 .设直线 的方程为 ，则 由 得 因为 ,得 设 ，线段 中点为 ，则 于是 因为 ，线段 中点为 ，所以 （ 1）当 ，即 且 时， ，整理得 因为 ， ， 所以 ， 整理得 ，解得 或 当 时，由 不合题意舍去 . 由 知
17、， 时， （ 2）当 时， （ ）若 时，直线 的方程为 ，代入椭圆方程中得 . 设 ， ,依题意，若 为等腰直角三角形，则 .即 ，解得 或 . 不合题意舍去， 即此时直线 的方程为 . （ ）若 且 时，即直线 过原点 .依椭圆的对称性有 ,则依题意不能有 ,即此时不满足 为等腰直角三角形 . 综上，直线 的方程为 或 或 已知 是正数， ， ， （ ）若 成等差数列，比较 与 的大小； （ ）若 ，则 三个数中，哪个数最大，请说明理由； （ ）若 ， ， （ ），且 ， ， 的整数部分分别是求所有 的值 答案：（ ） ；（ ） 最大；（ ） 试题分析：（ ）用作差法比较大小，用对数的运算
18、法则化简后与 0作比较。此时只需对数的真数与 1作比较即可，根据单调性比得出对数和 0的大小，从而得出 与 的大小。（ ）运用对数的运算法则将不等式化简，再根据对数的单调性得真数的不等式，即关于 a,b,c的不等式通过整理即可比较出三者中谁最大。（ ）由已知可得 ，根据对数的运算法则可得的范围，得到其整数部分，根据已知其整数部分可列式求得 的可能取值。然后分情况讨论，解对数不等式可求得 的值。 试题：解：（ ）由已知得 = 因为 成等差数列，所以 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 ， 则 ，即 ，当且仅当 时等号成立 4分 （ ）解法 1：令 ， ， ， 依题意， 且 ，所以 故 ，即 ；且 ，即 所以 且 故 三个数中， 最大 解法 2：依题意 ，即 因为 ，所以 ， ， 于是， ， ， ， 所以 ， 因为 在 上为增函数，所以 且 故 三个数中， 最大 8分 （ ）依题意， ， ， 的整数部分分别是 ，则， 所以 又 ，则 的整数部分是 或 当 时， ； 当 时， 当 时， ， ， 相关试题 2014届北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷（带）
