1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 50 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 y=f(x)与 y=sinx 在原点相切，求2 设 f(x)在( 一，+)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=a，求 f(x)3 设 f(x)可导，y=f(cos 2x)，当 x= 处取增量x=一 02 时， y 的线性部分为02，求4 设 y=xsin2x，求 y5 设6 设 y=x(sinx)cosx，求 dy7 设函数 y=y(x)由 2xy=x+y 确定，求 dy|x=08 设函数 y=y(x)由 x+y=tany 确定，求 dy9 设 y=y(x)由 l
2、n(x2+y)=x3y+sinx 确定，求10 求 2y 一 x=(xy)ln(xy)确定的函数 y=y(x)的微分 dy11 设由 sinxy+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 y(0)12 设由 e-y+x(yx)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0)13 设 y=y(x)由 确定，求14 设 siny+xey=0，当 y=0 时，求15 设 y=y(x)由 (x0)所确定，求16 设 x=x(t)由 sinttx(t)(u)du=0 确定，(0)=(0)=1 且 (u)0 为可导函数，求 x”(0)17 证明：曲线 上任一点的切线的横截距与纵截距之和为 218 设函数
3、y=y(x)由方程组19 设20 求 对应 r=1+cos 上点处的切线21 设 y=y(x)由22 设 f(x)= 其中 g(x)=0cosx(1+sin2t)dt，求23 设 y=exsinx，求 y(n)24 25 26 f(x)=x4ln(1 一 x)，当 n4 时，求 f(n)(0)27 设 y=x2ln(1+2x)，求 y(6)28 设 f(x)= 求(0，2)内使得 f(2)-f(0)=2f()成立的 29 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在 (0，3)，使得 f()=030 设 f(x)在a，b上连续
4、，在(a，b) 内可导(a0)且 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得31 解方程(3x 2+2)y“=6xy，已知其解与 ex 一 1(x0)为等价无穷小考研数学二（高等数学）模拟试卷 50 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 由题意得 f(0)=0，f(0)=cosx| x=0=1，【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 令 x=0，y=0 得 f(0)=0f(x)=x2+ax+C，由 f(0)=0 得 C=0，故 f(x)=x2+ax【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【知识模块】 高等数学5 【
5、正确答案】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 lny=lnx+coslnsinx，两边微分得【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 2 xy=x+y 两边关于 x 求导得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 x+y=tany 两边关于 x 求导得【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 x=0 代入得 y=1，ln(x 2+y)=x3y+sinx 两边关于 x 求导得=3x2y+x3y+cosx，将 x=0，y=1 代入得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2yx=(xy)ln(x y)关于 x 求导得【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 x=0 时，y
6、=1 ，sinxy+ln(yx)=x 两边对 x 求导得将 x=0，y=1 代入得 即 y(0)=1【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 x=0 时，y=0 e -y+x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得 一 e-yy+y 一x+x(y一 1)=1，则 y(0)=一 1； 一 e-yy+yx+x(y一 1)=1 两边关于 x 求导得 e -y(y)2 一 e-yy“+2(y一 1)+xy“=0，代入得 y”(0)=一 3【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 x=0 时，y=1 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 y=0 时，x=0 siny+xe y=0 两边关于 x 求导得
7、【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 t=0 时， x(0)=0 sint tx(t)(u)du=0 两边关于 t 求导得 cost 一x(t)x(t)+(t)=0，取 t=0 得 x(0)=2； 两边再关于 t 求导可得一 sint 一 x(t)x(t)2 一 x(t)x“(t)+(t)=0， 取 t=0 得 x”(0)=一 3【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 t=0 时， x=0，y=一 1，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 y= 0tsin(ts)2ds=一 0tsin(ts)2d(t
8、 一 s)=0tsinu2du，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 曲线 r=1+cos 的参数方程为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 A(2x 一1)+B(x+1)=33x 得 解得 A=一 2B=1【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 y (5)=C50x2ln(1+2x)(5)+C512xln(1+2x)(4)+C522ln(1+2x)(3)，【知识模块】 高
9、等数学28 【正确答案】 当 x(0，1)时，f(x)=-x ，当 01 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得一 1=一 2，解得 当 1 2 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得一 1=【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以 f(x)在0，3上取到最小值 m 和最大值 M 3mf(0)+f(1)+f(2)3M ，即 m1M， 由介值定理，存在 c0，3 ，使得f(c)=1 因为 f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得 f()=0【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 令 (x)=(b 一 x)af(x)， 因为 (a)=(b)=0，所以存在 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=一 a(b 一 x)a-1f(x)+(b 一 x)af(x)，故 f()=【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 从而 y=C1(3x2+2)，解得 y=C1x3+2C1x+C2，因为 C1x3+2C1x+C2e x 一 1x，所以 C 2=0，【知识模块】 高等数学
